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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

14 avril 2018 6 14 /04 /avril /2018 18:47

Il s'agit dans ce petit défi
de diviser un triangle (aléatoire) 
en trois triangles 
tels que l'aire de chacun soit une fraction donnée (aléatoire)
du grand triangle initial.

Cela, en modifiant la position d'un point (G)

Les fractions sont simplifiées 
il est donc parfois nécessaire de les mettre au même dénominateur.

On peut définir le niveau de tolérance du résultat 
(une répartition absolument juste est le plus souvent impossible)

On peut aussi voir l'erreur relative à chaque position
(c'est alors un jeu guidé puisqu'on peut voir lorsqu'on s'approche ou s'éloigne du résultat recherché)

Le curseur "Pour vérifier" permet de voir si la répartition est juste

Si c'est le cas, les trois aires se mettent en couleur.

 

L'air de rien
on propose ici de mettre en oeuvre des stratégies de recherche
qui varient en fonction des répartitions 
(voir par exemple la position du point G dans le cas où l'une des aires est nulle ... )

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Pour jouer

 

Le lien vers l'application (en cas de problème pour réinitialiser la figure)*

c'est ici

 

* Si l'icone correspondante n'apparaît pas en haut à droite.

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10 avril 2018 2 10 /04 /avril /2018 22:14

Tout ce qu'il faut savoir sur les triangles
(et en particulier sur le triangle rectangle)

De nombreux exercices de géométrie s'appuient sur la plus simple des figures géométrique :
Le triangle.

Triangle quelconque :

Existence : Si on donne trois longueurs, elles ne correspondent aux  trois côtés d'un triangle constructible que si la plus grande des longueurs est inférieure à la somme des deux autres.

Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, alors les trois sommets du triangle sont alignés (c'est un "triangle aplati

Construction : Pour construire un triangle à partir de trois longueurs données.
Exemple ABC tel que AB = 10 cm, BC = 7 cm et AC = 5,5 cm

  • On trace un des côtés (par exemple le plus grand AB = 10 cm)
  • On trace le cercle de centre un des deux points tracé (par exemple A) et de rayon sa distance au troisième point (ici AC = 5,5 cm)
  • On trace le cercle de centre l'autre point tracé (ici B) et de rayon sa distance au troisième point (ici BC = 7 cm)
  • Le troisième point (ici C) se trouve à l'intersection des deux cercles (deux possibilités)

Propriétés :

  • La somme de ses trois angles est égale à un angle plat.
  • Le centre du cercle circonscrit à un triangle (cercle passant par ses trois sommets) est le point de concours de ses médiatrices.

Triangle isocèle :

Définition: C'est un triangle qui a deux côtés égaux.

Propriété :

Il possède un axe de symétrie. C'est la médiatrice du côté de longueur unique. Elle est aussi médiane et hauteur.

Triangle équilatéral:

Définition: C'est un triangle qui ses trois côtés égaux.

Propriété : Il possède donc trois axes de symétries. Ce sont ses trois médiatrice . Elles sont aussi médianes, bissectrices et hauteurs.

Triangle Rectangle :

Définition: C'est un triangle qui a un angle droit.

Propriétés :

  • La somme de ses deux angles aigus est égale à un angle droit
  • D'après le théorème de Pythagore (valable pour les triangles rectangles
    La somme des aires des carrés construits sur ses petits côtés (ceux de l'angle droit)
    est égale à l'aire du carré construit sur son grand côté (l'hypoténuse)
    et réciproquement : 
    si la somme des aires des carrés construits sur les petits côtés d'un triangle est égale à l'aire du carré construit sur son grand côté, alors il est rectangle.  
  • Il est inscrit dans un cercle dont un de ses diamètres est l'hypoténuse du triangle.
    et réciproquement : 
    Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un de ses diamètres est un côté du triangle
    alors ce triangle est rectangle.

    Sur le dessin ci-dessous, le point A est mobile.

  • Le triangle ABC est inscrit dans le cercle

  • le côté [BC] du triangle ABC est le diamètre du cercle.

    On en déduit que ABC est rectangle.

Le fichier geogebra correspondant 

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4 avril 2018 3 04 /04 /avril /2018 08:15

Un petit jeu qui permet de réviser le vocabulaire en rapport avec la famille des triangles.

Quelques mots à connaître en anglais pour la première partie

Obtuse : qui possède un angle obtus (supérieur à 90°)

Acute : qui ne possède pas d'angle obtus

Right : qui possède un angle droit

 

Exemple de question 

 

 

 

Quelques mots à connaître en anglais pour la seconde partie

Équilatéral: qui a ses trois côtés égaux (c'est le même mot qu'en français)

Isosceles : qui a deux côtés égaux (c'est presque le même mot qu'en français)

Scalene : qui n'a aucun côté égal à un autre (le même mot existe en français, mais n'est pas utilisé. On lui préfère "quelconque".(!)

 

(Les mots but et not sont des mots courants de la langue anglaise que tu dois connaître) (?)

 

Exemple de question 

 

L'adresse du jeu c'est ici https://www.mathgames.com/skill/4.5-types-of-triangles

 

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Un fichier pdf qui permet de proposer ce travail en exercice papier
 

 

Le même travail en trois pages (avec place pour la correction sur une quatrième feuille)

 

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6 décembre 2017 3 06 /12 /décembre /2017 19:05

Un test avec son corrigé sur le thème de la contrainte qui lie les longueurs des côtés d'un triangle.

Contraintes que l'on résume par l'inégalité triangulaire qui lie ces trois longueurs

(Manuel Sésamath)

 Dans le premier exercice du test on propose des longueurs pour les trois côtés du triangle et on demande de dire si le triangle est constructible ou non.

 Dans le second exercice on donne deux longueurs et on demande un encadrement de la troisième longueur.

La correction (à découper) est dans la partie droite de la feuille.

 

Le fichier au format pdf

 

Voir aussi ici

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6 décembre 2017 3 06 /12 /décembre /2017 01:12

Courte vidéo qui propose une justification physique (sans prétention) de la méthode de construction utilisant des arcs de cercles.
En situation de classe certains élèves ont eu "l'insight"  (eureka) en voyant cette méthode (en statique au tableau)

 

(A mettre en rapport avec "Conditions sur les trois côtés d'un triangle")

 

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4 décembre 2017 1 04 /12 /décembre /2017 20:51

Un fichier geogebra qui montre comment les médiatrices d'un triangle permettent de tracer le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle.

 

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3 décembre 2017 7 03 /12 /décembre /2017 22:48

Pour commencer, un petit exercice 

(cliquer ici pour agrandir)

 

Si on choisit trois nombres au hasard (par exemple entre 1 et 1000),
peut-on tracer un triangle qui aura ces mesures (par exemple en mm)

Approche de la question au moyen d'un dessin dynamique

 

Ces figures illustrent trois cas possibles.

Elles sont résumées par l'inégalité triangulaire

Si trois longueurs a, b et c sont telles que l'une est égale à la somme des deux autres,
alors

Un triangle tracé avec ces longueurs aura trois sommets alignés 
(certains diront ce n'est plus un triangle, d'autres que c'est un triangle limite)

Si ces trois longueurs a, b et c sont telles que l'une est supérieur à la somme des deux autres, alors

On ne peut tracer un triangle dont les côtés ont ces trois longueurs

Si ces trois longueurs a, b et c sont telles que chacune d'entre elle est inférieure à la somme des deux autres, alors

On  peut tracer un triangle dont les côtés ont ces trois longueurs (et qui n'a pas ses sommets alignés)

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30 novembre 2017 4 30 /11 /novembre /2017 17:06

L'image dynamique en dessous permet de voir 

Les trois médiatrices en bleu 
qui coupent un côté perpendiculairement en son milieu

Les trois médianes en orange
qui passent par un sommet et coupent le côté opposé en son milieu

Les trois hauteurs en vert
qui passent par un sommet et coupent le côté opposé perpendiculairement

Les trois bissectrices en rouge
qui coupent un angle en deux angles égaux.

Ici toutes les droites sont tracées et ce n'est donc pas très lisible.

Je conseille de n'afficher qu'une catégorie à la fois pour mieux voir les positions respectives

puis de modifier la position des sommets.

 

Le fichier original (en cas de problème d'affichage) est ici 

On peut aussi voir ce fichier qui donne des précisions sur les égalités de côtés (qui concernent la médiane et la médiatrice) et d'angles (pour la bissectrice)

Un petit questionnaire d'évaluation

 

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9 février 2017 4 09 /02 /février /2017 00:15

La médiatrice d'un segment est la droite qui contient tous les points situés à la même distance des deux extrémités de ce segment.

C'est la droite qui est perpendiculaire au segment concerné et qui passe par son milieu.

 

 

Ici on voit le tracé de la médiatrice en utilisant le compas.

 

L'écartement est le même pour les deux cercles (même rayon) donc leurs points d'intersection sont équidistants (à la même distance) des deux extrémités du segment.

 

La médiatrice passe donc par ces deux points.

 

(Elle est l'axe de symétrie du segment (cours de 6ème)

 

 

 

 

Dans la vidéo qui suit on démontre une propriété des trois médiatrices d'un triangle

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Seconde propriété des médiatrices d'un triangle : 

Leur point d'intersection est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

On nomme ce cercle le cercle circonscrit au triangle.

 

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15 décembre 2016 4 15 /12 /décembre /2016 19:17

Tout ce qu'on peut vouloir savoir sur le triangle en sixième
et même un peu plus.

 

A triangle is :  A 3-sided polygon (a flat shape with straight sides).

 

 

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