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4 novembre 2016 5 04 /11 /novembre /2016 23:11

Un algorithme assez facile, celui qui donne la suite dite de Syracuse
 

(Pour plus d'informations)

En français cet algorithme consiste à suivre les étapes suivantes :

  • On choisit un nombre de départ.
  • Si ce nombre est pair, on en calcule la moitié,
  • sinon, on calcule le triple du nombre plus un.
  • Si le résultat vaut 1, on arrête,
  • sinon on prend le résultat comme nouveau nombre de départ.

(Cette dernière étape caractérise "l'algorithme". Puisqu'on reproduit à l'identique une série d'actions conditionnées par des tests (égal à 1 ou non, pair, impair)

Sous la forme d'un diagramme cela donne

On voit ici que "tant que le résultat n'est pas 1" l'algorithme continue à "produire de nouvelles valeurs"

Avec Geogebra, la représentation des résultats

(Ici un travail de Noël Lambert)

Ce que donne comme résultats n (départ) = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les valeurs successives sont  3 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 et 1 

On dira que
le temps de vol est 7 (pour atteindre le sol : le 1)
l'altitude maximale est (valeur la plus élevée) 16

 

On peut utiliser le fichier de Noël Lambert (ci-dessous)

Dézoomer avec la molette de la souris
ou déplacer le graphique 

 

Avec Scratch

Une représentation plus imagée (ludique ... comme doit l'être l'enseignement ... sans pour cela qu'on s'amuse ! (sourire)² ) utilisant le quasi-langage de programmation/codage "scratch"
donne par exemple :

 

 

Avec n = 3
Avec n = 3
Avec n = 3

Avec n = 3

Avec n = 27 (faire défiler en utilisant les "poignées" sur le côté de l'image)
Avec n = 27 (faire défiler en utilisant les "poignées" sur le côté de l'image)
Avec n = 27 (faire défiler en utilisant les "poignées" sur le côté de l'image)
Avec n = 27 (faire défiler en utilisant les "poignées" sur le côté de l'image)

Avec n = 27 (faire défiler en utilisant les "poignées" sur le côté de l'image)

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Le fichier scratch

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Autre proposition sous scratch
qui énumère les différentes étapes (lentement)

https://scratch.mit.edu/projects/128886913/

 

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Une proposition plus rustique
sous forme de liste 
mais à affichage quasi immédiat
et donnant la valeur de départ.

Avec conservation des essais précédents (C pour tout effacer)

-----------

 

En application avec la classe, on peut assez facilement obtenir les résultats de la suite en utilisant :

un tableur (très facile), geogebra (facile), ou un outil tel que scratch (d'autres préférerons Python)

...

Le caractère tout-à-fait imprévisible des résultats peut susciter une certaine curiosité et des recherches chez certains élèves.
En effet 26 par exemple donne 11 étapes (durée de vol);  27 -> 115 ; 28 ->22 et 29 également 22.

...

il n'est pas inutile de préciser que, à l'heure actuelle, on ne sait pas encore démontrer que la suite finit toujours par aboutir à 1.

Si des esprits curieux sont intéressé par une suite cousine de celle-ci, quasiment aussi simple, mais qui donne pour la valeur 283 une altitude 10 fois plus importante avec un temps de vol trois fois supérieur à la suite originelle, il suffit de me faire la demande en commentaire, je fournirai la suite et le tableau de calcul qui la produit.

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PS : pour une initiation simple aux déplacements mais qui permet un bon travail sur l'espace, les angles, ... http://tortue-logo.fr/fr/tortue-logo

[Qui permet aussi, d'ailleurs, pour peu qu'on code un peu les transformations, une représentation des valeurs de cette fameuse suite]

 

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