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Philippe Mercier

 

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22 février 2009 7 22 /02 /février /2009 00:09
Pour une explication à propos du nombre et de la suite c'est ici




Cliquer pour agrandir




La suite la plus longue obtenue
mais ici aussi elle finit en boucle
et la somme des éléments de la boucle est 60
(contre 69 pour toutes les autres vues)

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20 février 2009 5 20 /02 /février /2009 12:51
Pour une explication à propos du nombre et de la suite c'est ici





Cliquer pour agrandir

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19 février 2009 4 19 /02 /février /2009 00:34
Le nombre associé au jour d'aujourd'hui est



La décomposition de ce nombre en un produit de nombres premier est



En effet le nombre de ce jour est un nombre premier.
Il n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui même.

Cela va allonger un peu la suite qu'il engendre (même principe générateur que dans
Nombre du jour : 18022009) comme on le voit ici :



Ici encore, nous finissons par obtenir une "boucle" qui est même plus courte que celle obtenue hier, puisqu'elle ne comporte que trois termes avant de revenir à son premier nombre qui est 12.

 





Je m'arrête à cette valeur car elle a déjà été obtenue.

La boucle est ici constituée des nombres :


(Si tu as compris la loi générant les nombres de cette suite, tu peux me le déposer en commentaire.)


...

____________
Remarque en marge :
La somme des nombres de la boucle est égale à   69
ici la somme de tous les nombres différents obtenus n'est pas un nombre premier    
   ( tu peux vérifier par toi même, il s'agit de  361 836 925 023 743   )









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18 février 2009 3 18 /02 /février /2009 13:55
Le nombre associé au jour d'aujourd'hui est



Ce n'est pas un nombre premier puisqu'il est égal à


Je donne ici les nombres qu'il génère dans cette suite particulière que j'ai évoqué dans un précédent article et qui tient un peu de la suite de Syracuse (avec l'exemple donné certains devraient pouvoir découvrir comment cette suite est définie)





Je m'arrête à cette valeur car elle a déjà été obtenue.

Cette suite boucle sur elle même à partir de 6, la boucle étant constituée des nombres :


(Si tu as compris la loi générant les nombres de cette suite, tu peux me le déposer en commentaire.)


...

____________
Remarque en marge :
La somme des nombres de la boucle est égale à 60
et la somme de tous les nombres différents obtenus est 1427 (nombre premier)








*

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16 février 2009 1 16 /02 /février /2009 20:04
Parmi les nombres premiers remarquables (?)
il y a 149  qui est écrit avec les carrés des trois premiers nombres entiers ordre croissant

Le nombre écrit avec les carrés des trois premiers entiers dans l'ordre décroissant, 941 est aussi un nombre premier.

Y-a-t-il d'autres nombres premiers qui font partie de cette suite de nombre
(la suite 1, 14, 149 , 14916, 1491625, 149162536 ... qui est répertoriée ici
A019521 )

ou dans la suite de ces nombres écrits à l'envers ?

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2 février 2009 1 02 /02 /février /2009 12:10



Nombre premier
(outil de vérification)

Le nombre suivant construit sur le même principe
l'est-il aussi ?



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1 janvier 2009 4 01 /01 /janvier /2009 23:02
http://farm4.static.flickr.com/3197/3154199258_58881095cf_o.gif
Bonne année 2008 en langage calliphone

plus harmonieux en version fixe (cliquer dessus pour l'obtenir)





Au premier regard, le nombre de l'année qui vient de s'achever était immédiatement exclu du club sélect des nombres premiers.


 2008  

est en effet divisible par 2 puisqu'il se termine par un chiffre pair.

Il est même divisible par 4 puisque le nombre constitué par ses deux derniers (08) chiffres est divisible par 4.

En effet, comme tous les nombres qui se terminent par deux zéros sont multiples de 4 et de 25 (donc de 5)  puisque multiple de 4 x 25 (= 100)

Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il suffit de voir si le reste dans la division par 100 est aussi divisible par 4.
Or ce reste est le nombre constitué des deux derniers chiffres.
2000 est divisible par 4,
(0)8 est divisible par 4
donc la somme 2008 (et aussi la différence comme nous l'avons vu ici  comme justification du calcul du PGCD par la méthode des différences successives)
est divisible par 4.
 
Il est aussi divisible par 8 puisque le nombre constitué par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.

La démonstration est similaire.
Tous les nombres qui se terminent par trois zéros sont multiples de
8 et de 125 (donc de 5)  puisque multiple de 8 x 125 (= 1000)

Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il suffit de voir si le reste dans la division par 1000 est aussi divisible par 8.
Or ce reste est le nombre constitué des trois derniers chiffres.
2000 est divisible par 4,
(00)8 est divisible par 8
donc la somme 2008 (et aussi la différence comme nous l'avons vu ici  comme justification du calcul du PGCD par la méthode des différences successives)
est divisible par 8.

Si on divise 2008 par 8, on obtient 251 qui est lui un nombre premier.

Qu'en est-il du nouveau nombre qui est collé à notre calendrier pour une année entière ?

2009 ressemble à un nombre premier, à vu d'oeil il est difficile de lui trouver un diviseur.

Mais il n'est pas premier, en effet il est divisible par 7
(il y a un critère qui permet de reconnaître les multiples de 7, mais il n'est pas aussi simple que ceux que tu as pu apprendre*)
et cela, plusieurs fois.
En effet :
2009 = 7 x 7 x 41

La somme des nombres premiers dont il est le produit est donc 55

A l'aide de l'outil que je t"ai déjà évoqué, http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM
tu peux également connaître le nombre et la somme de ses diviseurs
et un nombre, le totient dont on ne te parlera probablement jamais**

Donc pas grand chose avec cette année
sauf une petite propriété que tu as peut-être remarquée.
et qui a un rapport avec le mot palindrome.



Sinon, dans notre quête des nombres premiers, pour avoir une "année première" il va encore falloir attendre 
...
Combien de temps ?

Quel était le dernier ?






* Ici Gérard Villemin t'en dit tout : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi7.htm

Avec une remarque amusante :

Tous les procédés connus à ce jour qui permettent de dire

si un nombre est divisible par 7 ont un point commun:

leurs calculs sont plus longs que la division par 7


** Gérard Villemin, encore lui, te dit tout sur ce nombre ici : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/TotEuler.htm

Ici encore il y a une conjecture qui résiste depuis des années.

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15 novembre 2008 6 15 /11 /novembre /2008 22:46

Sur une idée d'Alexandre Carré, prolongée par Benjamin Clerc, je te propose une addition mystérieuse.

Chaque petit signe représente un chiffre (de 9 à 0)
tu dois essayer de retrouver quel signe correspond à quel chiffre.

Première addition




Deuxième addition




Troisième addition

(Non ce n'est pas la même opération trois fois ... si tu le crois, regarde bien)








Pour obtenir la correction, cliquer sur le numéro de l'addition

  
1 2 3  
         



Pour générer ce type d'addition, voici le fichier openoffice qui le permet
le travail de base est celui de Sébastien.

cliquer sur l'addition pour charger ce fichier.

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18 décembre 2007 2 18 /12 /décembre /2007 20:56
J'ai reçu une lettre sympathique d'un ancien élève dont j'extrais une petite partie ici.

Bonsoir,

 (...)

Je viens de rentrer de Fabert  (Lycée où K. est en maths sup et fait des étincelles notamment en maths. Je n'y suis pas pour grand chose, il était déjà très fort quand je l'ai eu en quatrième et troisième) et on a eu avec ma soeur et mon père, une discussion mathématique (sourire).

Et malgré tous mes efforts, impossible de leur faire comprendre un certain résultat. Je me rends compte à quel point c'est difficile d'expliquer simplement une notion que l'on a assimilé depuis longtemps !

Je voulais avoir des conseil à ce niveau, et j'en profite pour donner un peu de nouvelles.

 

J'ai voulu leur "prouver" intuitivement que la série 1/k² converge.
Donc je leur ai proposé le problème :
"Imaginez un tonneau vide, le premier jour vous y versez 1/4 de litre, le deuxième jour 1/9, le troisième 1/25 et ceci pendant des années.
Pensez-vous qu'un jour le tonneau débordera ?
".

Je leur ai bien fait comprendre que bien qu'on ajoute chaque jour une certaine quantité (pour illustrer la croissance de la série) celle-ci est de plus en plus infime, ils étaient bien d'accord là dessus.
Mais leur argument était  :
"Oui mais à force de remplir un moment ça déborbe forcément non ?"
Et en insistant sur la quantité toujours plus petite qu'on ajoute ils ont rétorqués :
"Si on fait ça pendant des millards et des milliards d'années, un jour le tonneau sera plein !".
Et là je suis un peu pris au dépourvu, car si je commence à sortir une des démonstrations de la convergence ça risque d'être encore plus flou (à ce propos le sujet d'analyse du capes de l'an dernier est génial, il propose diverses méthodes de résolutions).
Bref, comment avoir le dernier mot face à un public qui n'a pas de notion de mathématiques ?
Car ils restent focalisés sur la croissance de la série !
En plus j'ai eu le malheur de leur parler de la série harmonique qui elle aussi croît très lentement mais diverge...

(...)

Bonne soirée,

K.

PS : Ma soeur est prête à me donner 15 euros si j'arrive à la convaincre que le tonneau ne débordera jamais (sourire)²

 

Beau challenge que d'expliquer la notion de limite d'une somme de termes en nombre infini.

J'ai eu envie, après lui avoir envoyé mes propositions, de les déposer ici, parce qu'il me semble qu'elles disent "des choses" des quantités et éclaircissent un certain nombre de notions très élémentaires étudiées par ailleurs.


Un grand nombre de problèmes que l'on se pose ont une illustration simple qui s'appuie sur la notion, fondamentale en maths, de nombre et en particulier sur l'écriture décimale que nos mathématiques ont (majoritairement) choisis.

C'est le sens de la première proposition :

"Tu  peux attaquer avec un moyen très simple et très puissant : les nombres décimaux

si un récipient fait un litre
- que tu ajoutes 9 dixièmes (rang de la première décimale)
de litres le premier jour

- que tu ajoutes ensuite 9 centièmes (rang de la deuxième décimale)
de litres le second jour

- que tu ajoutes 9 millièmes (rang de la troisième décimale) de litres le troisième jour
...
- ... 9 au rang de la milliardième décimale le milliardième jour

Le seau ne sera jamais rempli !


Tout simplement parce que on ne peut pas faire des dixièmes avec moins de dix centièmes
et ainsi de suite
(mais cela se voit bien mieux en écrivant le nombre)

On peut même dire ce qu'il manquera le milliardième jour
à savoir cette milliardième décimale.
 

Ici nous avons la base d'une des erreurs les plus fréquentes chez les élèves de sixièmes, lorsqu'ils comparent des nombres décimaux.

Certains considèrent que 0,35 est plus petit que 0,349
parce qu'ils entendent
 "trente cinq" et "trois cent quarante neuf"

Or, quelque soit les décimales que l'on ajoute après le chiffre des dizaines, elles ne permettent pas de rattraper un retard qui se trouve à ce niveau
ainsi
0,35 est plus grand que 0,34
et donc
tout nombre qui s'écrit 0,34...
(les pointillés mis à la place du reste de l'écriture décimale)
est nécessairement plus petit que 0,35

On peut donc ajouter à un nombre une infinité d'autres nombres sans jamais que le résultat ne dépasse une certaine quantité.

Ce qui est le cas pour
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,000 9 + ... + 0,000 000 000 000 ... ... ... 9
qui, quelque soit le nombre de terme que l'on ajoute
est toujours inférieur à 1
(on peut même dire "ce qu'il lui manque pour aller à 1")



Cet exemple suffit à démontrer ce que dont K. voulait persuader son père et sa soeur.

Tout de même, je voulais m'approcher un peu plus de son exemple en donnant également une somme de fraction en très grand nombre, qui ne dépasse jamais une certaine valeur.

L'occasion de revisiter la notion de moyen et de s'appuyer sur la compréhension que chacun de nous en a.

Et en particulier le fait que

"si toutes les notes sont inférieures ou égale à une note donnée, la moyenne est inférieure ou égale à cette note"

et
que

"si au moins l'une d'entre elle est inférieure à cette note (et les autres égales), alors la moyenne est strictement inférieure à cette note."


"Il y a un autre moyen de montrer que quelque chose peut augmenter tout le temps et pourtant être limité.

Jean a 9 en maths (sourire)² a son premier contrôle
au second il a dix
chacun sera d'accord avec le fait que sa moyenne augmente (d'un demi point)
au troisième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un quart de point ... à vérifier...)
au quatrième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un huitième de point)
...
au 1000ième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un sur 2^1000 point
un divisé par deux,  mille fois ou ce qui revient au même, divisé par le produit de mille deux)

Nous savons sans calcul que sa moyenne ne sera jamais supérieure à 10
puisqu'aucune note ne permet de la dépasser
et même qu'elle sera toujours inférieure
puisque toutes ses notes sont identiques sauf une qui est inférieure.


Cet exemple suffit lui aussi à démontrer ce que dont K. voulait mettre en évidence.

Et la notion de moyenne étant assez bien intégrée en général (y compris par les adultes ayant laissé leurs maths loin derrière eux) cette "démonstration" devrait être assez bien acceptée
(ma femme a refait discrètement un calcul sur le coin de la table de la cuisine ... puis m'a dit "c'est vrai ..." à propos de l'évolution de l'écart.)


Incorrigible j'avais aussi envie d'utiliser un moyen qui s'inspire de la forme spécifique du problème de K.
où l'on trouve ce qui peut avoir le sens de l'aire d'un carré (ce 1/4 qui est l'aire d'un carré de côté une demie unité, puis 1/9 aire d'un carré de côté un tiers d'unité ...)

Je me suis alors rappelé le Devoir Maison que j'ai donné à mes cinquièmes ce jour même, et où l'on trouve quelque chose qui se rapproche de cela.

Voir ci-dessous les dessins qui correspondent (cahier d'élève) à la transformation A de leur devoir, et à la Transformation B sur laquelle je vais m'appuyer par la suite.

Transformation A - 1

Transformation A étapes 2 à 5
D'où l'on déduit une transformation qui concerne les aires et qui se nomme Transformation B dans leur devoir

Transformation B
D'où le dernier moyen proposé à K. pour persuader son père et sa soeur.




Dernière  proposition
trace un segment [AB] de longueur 1 et un des carrés qui est construit dessus.
Nommons le ABCD
(c'est drôle, c'est le devoir maison que j'ai donné aux cinquièmes aujourd'hui (sourire)² )

Trace maintenant (la perpendiculaire) [A2D2] (au segment [AB] ) tel(le) que A2 est le milieu de [AB] et D2 est l'intersection des diagonales du carré.
Construit le carré A2BC2D2 (vois le schéma)

En reproduisant le procédé, autant de fois que l'on veut,
on obtient une série de carrés, dont la somme des surfaces n'occupera jamais le premier carré.
...

on peut faire la même chose avec ta série 1/n²

J'espère que l'une de ces preuves (plus que démonstrations) te permettra de convaincre ton père et ta sœur

A plus tard peut-être (j'aurais peut-être d'autres arguments (sourire)²)

Sinon, ai-je ton accord pour évoquer cet échange sur la liste de maths
à propos des dialogues avec des profanes
et de la difficulté des démonstrations ?

Bonne soirée.
(...)



K. m'a donné son accord, je publie donc (partiellement) cet échange

En espérant susciter d'autres propositions permettant d'atteindre l'objectif qu'il s'était fixé (merci d'avance)
et qui est celui de tout humain quand il veut convaincre quelqu'un d'autre ( le mieux étant de démontrer la véracité de ce que l'on dit)
et des professeurs de mathématiques en particulier (sourire)²

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27 novembre 2005 7 27 /11 /novembre /2005 17:53

La mémoire s'appuie sur deux paramètres (en particulier)

  • - l'expérience sensible (les rencontres)
  • - l'effort de mémorisation de ce qui ne "tient pas encore à l'esprit" (ce qui n'y adhère pas spontanément)

L'un et l'autre se complêtent,
l'un sans l'autre épuise celui qui cherche à se souvenir

 


 

N est un nombre de 6 chiffres qui comporte un 0, un 4 et un 7

Il est divisible par 4, 5, 7, 11, et 13

Quel est ce nombre ?

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