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Philippe Mercier

 

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30 juin 2006 5 30 /06 /juin /2006 12:45
Pour beaucoup, et pas seulement des profs de maths ou des scientifiques, le langage, la syntaxe et les fioritures complexes de la communication entravent le travail et parasitent la production de l'élève.

C'est ce qui conduit certains à aller "à l'essentiel" (voir "au plus pressé")
(Le pire étant l'apprentissage de la démonstration en passant par la mémorisation "de déductogrammes"
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/deductogramme.jpg
note : Il ne s'agit pas de condamner l'approche proposée par l'exemple en lien, mais sa systématisation, lorsque celle ci remplace totalement l'écrit fluide de la démonstration en phrases.
http://accel5.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/deductogramme2.jpg
Voir dernier chapitre de l'ouvrage cité à la fin de cet article.)

Il me semble que c'est une erreur fondamentale,
et c'est même l'erreur qui est en grande partie responsable de la baisse du niveau de réponse des élèves dans un certain nombre de matière.
Baisse qui est souvent confondue avec la baisse du "niveau", et que l'on résout, dans les familles aisées, en donnant des cours
("de conversation avec un adulte permettant d'enrichir le niveau d'expression de l'élève et son aisance vis-à-vis d'un énoncé donné ou implicite" cours souvent pris, à tort, par toutes les parties du contrat - parents, profs, élèves, comme des cours) de maths (sourire)².

C'est voir les choses à l'envers que de croire que l'expression de la pensée est au service des mathématiques (par exemple)
Les mathématiques sont l'un des outils au service du développement des capacités intellectuelles de l'enfant (au moins jusqu'au collège) et réduire le niveau d'expression, par exemple en réduisant les exigences d'énonciation, c'est condamner toutes ces connaissances à la stérilité par défaut de lieu d'expression.

Les meilleurs de mes élèves de sixièmes sont ceux qui ont fait le plus d'erreurs dans ce travail,
et de même les meilleurs de mes élèves de troisièmes sont souvent ceux qui rechignent le plus à l'ouverture vers des activités non directement liées à des savoirs faire ... en boite.

Voir, à propos de l'utilité de rédiger des démonstrations.

La démonstration : écrire des mathématiques au collège et au lycée")

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30 juin 2006 5 30 /06 /juin /2006 09:56

La question est simple :

Démontrer que E2 C  =  E3 C

Si possible sans utiliser l'artillerie lourde (sourire)

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9 avril 2006 7 09 /04 /avril /2006 19:09

Voici un petit problème d'une grande simplicité d'énoncé
mais qui donne du fil à retordre à des matheux de bon niveau.

Il s'inscrit dans l'espace de l'horloge.

Non pas bien évidemment celle, dont le sens est entièrement codée
et chez laquelle toute analogie entre la mesure et la chose
(c'est à dire le temps que nous connaissons et vivons comme cyclique)
a disparu

Celle dans laquelle tournent (au moins) deux aiguilles
la plus petite, affectée d'une grande lenteur, indiquant les heures
et l'autre, la grande, bien plus rapide ... très exactement soixante fois.

On pourra évoquer une prochaine fois ce qui semble ne pas aller de soi même pour des professeurs de mathématiques, à savoir pourquoi ce choix de "soixante" comme multiple au lieu de 10, 100 ou une autre puissance de 10.

A noter qu'une tentative d'heure décimale a été faite au lendemain de la révolution ... avec le succès que l'on sait -sourire-

Décret de la Convention nationale, concernant l'ère des Français
Du 5 octobre 1793, l'an second de la République française, une et indivisible.

XI. Le jour, de minuit à minuit, est divisé en dix parties ou heures, chaque partie en dix autres, ainsi de suite jusqu'a la plus petite portion commensurable de la durée. La centième partie de l'heure est appelée minute décimale; la centième partie de la minute est appelée seconde décimale. Cet article ne sera de rigueur pour les actes publics, qu'à compter du 1er Vendémaire, l'an trois de la République.


Conservons donc notre heure à soixante minutes
Ici il sera question des instants de rencontre.



 "Quand les deux aiguilles sont elles l'une sur l'autre ?"

Seconde question

"Combien de temps (quelle durée) sépare deux de leur rencontres ?"

Christopher qui a planché sur ce sujet (je choisis son travail parce que c'est un bon point de départ) peut vous aider un peu à placer vos pensées.


 Il y a assurément, matière à discuter
ce qui devrait vous rapprocher de la solution,
élémentaire dans son extrème simplicité, tant de raisonnement que de conclusion.

Question subsidiaire qui a l'air naïve ... et qui l'est -sourire- 
"Combien de temps dure leur coincidence exacte?"

Conséquence naturelle de ce petit exercice, la réponse à la question
"Combien de tours sur elle-même (de révolutions) la Terre fait-elle en un an (valeur arrondie à l'unité) ?"

Aide coincidence

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5 mars 2006 7 05 /03 /mars /2006 00:00

(pour une figure un peu plus ancienne, cliquer sur celle-ci)

Le cercle a pour diamètre
[AB] / [AD] / [OA] / [OD]

Le côté de l’hexagone régulier ABCDEF est égal
au
rayon / au diamètre  du cercle
Le périmètre de l’hexagone vaut donc exactement  
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7   rayons
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres

Le côté du carré UVWX est égal
au
rayon/ au diamètre du cercle

Le périmètre du carré vaut donc exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8  rayons
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8 diamètres

Si on compare le périmètre du cercle à celui du carré et de l’hexagone
on peut conclure que


périmètre du carré <
> périmètre du cercle <>
périmètre de l’hexagone

et donc que le périmètre du cercle est
supérieur à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7  diamètres
et
inférieur  à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres

Ce nombre
qui permet d'obtenir le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre
nombre situé entre 3 et 4 est précisément le nombre

...



En regardant attentivement les figures on pourra "deviner" que ce nombre est beaucoup plus près de
3  que de  4 
une approximation (quelques centaines de décimales) est donnée ci-dessus.

 

pour quelques dollars décimales de plus cliquer ici : p 

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19 janvier 2006 4 19 /01 /janvier /2006 10:26

Une piste :

En un tour, (c'est à dire en 12 heures) contrairement à ce que l'on pourrait penser, il n'y a que 11 coincidences et non 12

Cela permet de calculer l'intervalle entre deux instants où les deux aiguilles sont exactement l'une sur l'autre ...

(fermer la fenêtre pour revenir au problème)

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5 novembre 2005 6 05 /11 /novembre /2005 00:00

Ci-dessous un exemple de travail qui explore l'endroit où se nicherait la confusion qui figure sur des milliers de copies d'élèves.

 


 

 a) Placer les points A, B et C tels que AB + BC = AC

b) Que peut-on dire du triangle ABC ?

c) Dans un triangle la somme des angles fait ...

d) Est-ce le cas du triangle ABC ?

e) Donner la mesure en degré de ses angles

f) Complétez le dessin pour obtenir le triangle ADC rectangle en D

g) Complétez

  1. AD + DC   ... AC
  2. AD² + DC²  ... AC²   (justification ) ...
  3. (AD + DC)²  ... AC²  (grace au résultat de la question ...)

h) Développer directement  ( r + s )²

i) Donner les trois identités remarquables en utilisant les lettres m et p

 


 

C'est l'absence de lien entre les acquis des différentes classes qui est la cause de certaines erreurs "canoniques" *

Parfois même on n'ose pas proposer ces liens "pour ne pas déstabiliser les élèves et ne pas introduire de confusion dans leur esprit"

Sauf que les acquis des élèves voyagent dans leur conscience et se rencontrent.

Lorsque le travail de lien (que nous n'avons pratiquement plus le temps de "faire après"  vu la réduction des horaires de maths en collège) n'est pas proposé, les liens se font tous seuls

Et c'est ainsi que l'égalité fausse surgit naturellement et résiste à toute séance de travail systématique sur les identités remarquables.

On remarquera que la somme des angles d'un triangle qui est un acquis isolé ne subit aucune dégradation et fait partie des connaissances les mieux intégrées des élèves, y compris en grande difficulté.

Je suis intéressé par les retours de collègues qui proposeraient un travail identique ou similiaire.

* Ici 

  1. égalité triangulaire (5ème)
  2. théorème de Pythagore (4ème)
  3. développement de (a + b)² (3ème)
  4. vecteurs (3ème)   (pour cette "confusion qui revient par la fenêtre" AB + BC = AC puisqu'il se trouve qu'elle mime la relation de Chasles

Une activité plus étendue pourrait englober ce point 4)

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18 octobre 2005 2 18 /10 /octobre /2005 23:00

Alice (nom modifié) a bientôt dix-huit ans, elle est en terminale L.
Suite à un mot qui passait par là dans une discussion, elle essaie de se remettre en mémoire ce qui y correspond à « Thalès »

...

…(silence on creuse) …

...

Après quelques secondes d’effort, ça lui revient
 « Ce n’est pas ce truc où on prend le milieu des côtés … et on montre que c’est parallèle ? »
 …
 « A non, je confonds … il y avait des fractions on disait que les côtés l’un sur l’autre, cela
donnait des fractions égales »

 

 Le travail d’Alice sur elle-même, pour parvenir à faire « remonter » les notions apprises en 4ème et 3ème est tout à fait parlant.
Il y a un seul point disponible : l’entrée de cet ensemble de leçon.
Car aussi loin soit-il, on voit que l’ancienne collégienne a besoin de retrouver l’équivalent de « l’entrée d’un tunnel » pour que le reste devienne accessible.
Et effectivement, de cette manière Alice progresse vers une idée un peu plus précise de ce qu’a pu être à un moment pour elle le fameux « Théorème de Thalès ».



Ceci montre l’échec au niveau du sens et de la compréhension d’une approche à « entrée » trop précise. Par la suite, seule cette « porte » est accessible.
Comme quelqu’un qui ne parviendrait à rejoindre son domicile qu’à partir de son lieu de travail, Alice en est réduite à rejoindre d’abord ce point d’entrée puis de parcourir de façon très linéaire le trajet vécu de la « progression » pour retrouver l’espace où se trouve (où devrait se trouver) le concept final
à savoir le lien qui existe entre la proportionnalité et l’égalité d’angles dans « des figures emboîtées » (la configuration dite papillon étant une version où les figures considérées sont en opposition … petite variante qui induit un peu de souplesse dans tout cela)
Concept qui dépasse et de loin (à condition qu’il ne soit pas trop « ficelé » dans la tête de l’élève) le cas étudié des triangles semblables.

  

On comprend à écouter Alice, à quel point il est important de partir d’une situation suffisamment complexe* afin de ne pas faire entrer trop vite l’élève dans un tube, une autoroute, un chemin tracé qu’il faudra plus tard reprendre depuis le début pour lui redonner un (peu de) sens.

Cette situation complexe est un ensemble d’objets mathématiques liés entre eux par des rapports correspondant au thème d’étude, mais dépassant ceux-ci.
Voir l’exemple du convertisseur de note pour la sensibilisation au (besoin d’un rapport que l’on nommera) cosinus d’un angle.

  
Ainsi, et pour peu que les mathématiques servent à autre chose qu’à apprendre les gestes mathématiques qui sauvent (trousse de secours pour passer le Brevet ou le Bac), il est tout à fait important de travailler en densité ces moments fondateurs des notions enseignées aux élèves que sont les sensibilisations à la nécessité de ces concepts, et ce, en des activités suffisamment denses pour que l'élève y perçoivent des sensations et puisse s'y construire l'amorce d'un sens.

Il faudra parler également de l’illusion qu’il y a de « mettre du sens » dans une activité, qui devrait pouvoir faire dire à certains qu’une situation problème pourrait à la fois contenir et favoriser la recherche de l’élève

 mais comme Alice est un peu fatiguée …

* Attention : rien à voir avec la notion de « problème concret » où la situation est parasitée par des rugosités du réel.

 

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8 octobre 2005 6 08 /10 /octobre /2005 20:02
Correction de l'exercice :

  8-10-2007 : multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction*

N : 11 = Q1 et il reste 5 donc N = 11*Q1 + 5
(La division du nombre par 11 donne comme reste 5)
et donc
N - 5 = 11*Q1
D'où l'on déduit que
N - 5 est un multiple de ...

N : 7 = Q2 et il reste 5  donc N = 7*Q2 + 5
(La division du nombre par 7 donne comme reste 5)
et donc
N - 5 = 7*Q1
D'où l'on déduit que
N - 5 est un multiple de ...

N : 14 = Q3 et il reste 5 donc N = 14*Q3 + 5
(La division du nombre par 14 donne comme reste 5)
et donc
N - 5 = 14*Q1
D'où l'on déduit que
N - 5 est un multiple de ...

N - 5 est donc un multiple de ... , ... et ...
or
14 = 2x7

Donc il suffit que N - 5 soit un multiple de 11 , 7 et 2

Le plus petit nombre N - 5 multiple de ces trois nombres est ........

On en déduit que N = 154 + 5
 N = 159

Vérification : 
159 : 11 =   14 et il reste 5

159 : 7 =   22 et il reste 5

159 : 14 =   11 et il reste 5


Si tu as compris l'exercice tu sauras le faire avec
(à la place des divisions par 11,7 et 14)
des divisions par 15, 14 et 6
et un reste toujours égal à 4
(au lieu de 5)

Et comme tu as les moyens de vérifier, inutile cette fois ci que je te donne la solution.


* Le titre est rédigé ainsi parce que l'exercice est en rapport avec cette partie du programme.
Il est volontairement large pour ne pas donner une piste trop précise pour la recherche de solution.

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6 octobre 2005 4 06 /10 /octobre /2005 23:00

On peut coder, et la cryptographie ne s'en est pas privée, en utilisant les directement nombres

Mais il y a d'autres manière d'associer un message écrit
par exemple en utilisant des figures géométriques.

Le calliphone est une calligraphie qui correspond à un numéro de téléphone

Au départ, une simple grille

C'est une transposition simple du cadran téléphonique

Nous allons l'utiliser pour coder un numéro de téléphone.

Pour cela nous partirons du premier chiffre du numéro
puis nous joindrons l'un après l'autres les autres chiffres
dans un premier temps en par des chemins directs
(segments de droite)

 

 Ce tracé un peu trop rectiligne va être rendu plus esthétique (agréable à l'oeil) en transformant chaque segment en arc de cercle

 Ici il y a une part de choix

En effet, celui qui "dresse"  le calliphone peut décider du rayon du cercle, la seule contrainte étant qu'il passe par les deux extrémités du segment tracé.

On pourra en classe, donner trois ou quatres valeurs parmi lesquelles en fonction des distances entre les deux points on choisira le rayon correspondant (la distance maximale étant celle du 0 au 7 qui correspond à  3 horizontalement et 3 verticalement)

 Longueur du segment
(distance entre les points)

 horizontalement

verticalement 

 rayon du cercle correspondant

(1 = largeur d'une case)

1

0

 1

0

1

 1

1

1

 1

1

 2 

 2

 1

 2

2

 2

 2

 3

 2

 1 

 3

 2

 3

 1

 2

 3

 2

 3

 3

 3

 3

Par la suite, mais ce n'est plus des mathématiques, on pourra (par exemple en arts plastiques) calligraphier le motif produit pour obtenir un calliphone encore plus harmonieux.

 

 

Celui de notre collège (l'un de ceux qui est possible à partir du numéro de téléphone de l'établissement )
est assez joli, n'est-ce pas ?

 

 

Alfred Mézières
(collège de Jarny)
 

 A vous maintenant de réaliser le votre
que vous pourrez par exemple graver ensuite sur une plaquette d'immatriculation (à la mode des soldats US, il y a en technologie des machines à commande numérique capable de produire ce tracé) et l'avoir  porter autour de votre cou.

A moins que vous préfériez en faire un transfert sur un T-Shirt
qui sera alors vraiment  personnel.

Et pourquoi pas envisager une petite gallerie ici même ?

 
Celui-ci appartient à Kevin


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5 octobre 2005 3 05 /10 /octobre /2005 23:00

 

 

 

 Pour terminer, quelques exemples de copies dont l'excellent devoir de Kevin
qui a produit sur plus de trois copies doubles l'ensemble des solutions en expliquant très rigoureusement comment il obtenait chaque
trajectoire.

 

Kevin commence par expliquer comment il procède pour déterminer les différentes trajectoires

Kevin commence par donner les deux points et leurs coordonnées

Il donne ensuite un autre trajet en montrant les égalités de vecteur ainsi que les décompositions

Puis il continue avec un autre trajet

Pour lequel il fait le même travail

Puis il passe à la ...

 

Ce trajet est vertical et pour le construire
 
 Kevin est conduit à tracer le trajet correspondant concernant les points analogues (virtuels) situés dans le carré inférieur.
 

 

La suite est similaire
et à chaque fois, Kevin précise les décompositions pour les vecteurs correspondants.

 

 

 

 

 

 

 

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