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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

21 octobre 2006 6 21 /10 /octobre /2006 18:07

Quatre pigeons sont posés aux quatre sommets d’un champ carré de 1hm de côté (on les nomme A, B, C et D) et regardent vers son centre.

Chacun d’entre eux s’envole pour se poser au milieu du second côté qui se trouve sur sa gauche (en un point que l’on nomme alors A’ pour le pigeon qui vient de A, B’ pour le pigeon qui vient de B, C’, et D’)

 

Les trajectoires des pigeons se coupent en définissant quatre points d'intersection, que l'on nomme A", B", C" et D"En reliant entre eux les points où se sont posés les oiseaux, on obtient le quadrilataire A'B'C'D'

1) On démontrera qu'il s'agit d'un carré.

 

2) Puis on déterminera l'aire en hm² (nommé aussi hectare) de ce carré.

 

De même

En reliant entre eux les points d'intersection des trajectoires, de manière à obtenir une figure non croisées,

 

 

 

on obtient le quadrilataire A"B"C"D"

 

3) On démontrera qu'il s'agit également d'un carré.

 

4) Puis on déterminera l'aire en hm²  de ce carré.

 

 

5) On suppose que d est le nombre décimal qui correspond à la mesure en hm du côté du quadrilatère que délimitent les quatre volatiles (ABCD).

 

 

 

Quelle doit être la valeur de la dernière décimale de d pour qu'effectivement l'aire du carré soit celle que l'on a trouvée en 2.

 

 

 

(Et qui est une valeur entière*)

 

Aide : on cherchera quelles valeurs permettent à un produit d'avoir moins de décimales que ses facteurs (ses termes)
Puis on se posera la même question pour un produit de deux facteurs identiques.

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19 octobre 2006 4 19 /10 /octobre /2006 15:02

correction de : Symétrie centrale - vérifier

http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/symetrie/verifier-la-symetrie-centrale.jpg

 Pour que, comme le demande l'énoncé
 A soit le symétrique de C par rapport à B,

 il faut que
le point C soit le milieu du segment [AB]

Ce qui se vérifie en regardant si
le point C est bien sur le segment
[AB]
et
AC = BC
(C est à la même distance de A et B)

Pour illustrer cette règle :

Un exemple de point symétrique d'un autre
dans une symétrie centrale
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/symetrie/exemple-1.jpg

le codage du dessin montre que I est le milieu du segment [AC]
donc
 A est le symétrique de C par rapport à I

(Il n'est pas interdit de tenter de répondre à la question
mais cela c'est une autre histoire ...)

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17 octobre 2006 2 17 /10 /octobre /2006 07:13

Pour rompre un peu le rythme, l'article précédent (et donc suivant désormais suivant le principe du FiLO* également en vigueur chez tous les gestionnaires de dossiers manuel) ayant été un peu long
une petite enigme

Il s'agit de compléter la suite :

Un indice (qui ne l'est bien sur que pour ceux qui l'auront déchiffré (sourire²) )
:   "c'est un peu vache"

(message personnel : Kévin tu attends un tout petit peu pour répondre si tu as trouvé)


* First In Last Out : le dernier dossier que l'on pose sur la pile est le plus accessible

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14 octobre 2006 6 14 /10 /octobre /2006 10:40


Dans cette activité, nous sommes censés avoir découvert un manuscrit ancien, un peu comparable à la
pierre de rosette qui a permis à Champollion  de déchiffrer les anciens hiéroglyphes égyptiens (plus de vingt ans après sa découverte)

Comme sur la fameuse pierre de granite noir, notre manuscrit, qui est un parchemin, est partiellement dégradé.
Il y a donc des parties largement illisibles
soit parce qu?elles sont effacées,
soit parce que la matière même du parchemin a été endommagée (trous)



Heureusement deux des trois écritures sont facile à identifier et l?on a déjà pu écrire au dessus d?elles leur origine.
Il s?agit des chiffres romains et arabes.

(ce qui est écrit en vert
a été ajouté par les élèves venus au tableau
donner leur proposition de réponse)



Le travail proposé est de déchiffrer (c?est le cas de le dire) la troisième écriture à laquelle on a provisoirement donné un nom en rapport avec son apparence « les chiffres carrés »


La suite du manuscrit est sur le second tableau

 

Ce travail est l'occasion de revenir sur différents principes utilisés lorsque l'on cherche à noter (transcrire) des nombres, par un code plutôt que par leur écriture littérale, (*)

Chiffres romains ou la position du chiffre écrit n'a d'importance que s'il est plus petit que celui qui le suit.
Il faut alors l'en soustraire.
ex :

i signifie un

iii signifie trois i (trois)

v signifie cinq 

et iv signifie cinq moins un (et donc quatre)

Chiffres arabes  qui sont au nombre de 10 (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9
et 0 le dernier chiffre !  (et non pas le premier) celui qui permet de réutiliser le premier en lui donnant un sens nouveau. **

Ce système de notation étant donc une numération de position,
un chiffre signifiant des valeurs différentes suivant qu'il est  (je prends ici l'exemple du chiffre 7)
- en première position (en partant de la droite) rang des unité où il ne vaut que  7 fois un
- en seconde position (rang des dizaines, puisque les unités vont jusqu'à 9) où il vaut 7 fois dix
- en troisième position ("rang des dix fois" ) où il vaut fois dix fois dix 

 

et ainsi de suite ...

Chiffres carrés  dont nous allons découvrir la valeur à la fois
- en comparant aux autres systèmes de numération ... lorsque l'endroit correspondant n'est pas trop abimé sur le "manuscrit"
- en essayant de comprendre les principes (loi d'écriture) qui le régissent.

Ici, la correction est donnée par les réponses des élèves
qui figurent en vert
(tout ce que l'élève met de personnel dans son cahier - c'est à dire pour faire simple "ses réponses", Jacotot dirait "ce qu'il en pense" - il l'écrit en vert pour le distinguer de tout ce qui lui est donné : énoncé, correction, éléments de synthèse, de cours ...)

On pourra remarquer que ces "nombres carrés"(***) satisfont à une règle additive qui leur donne une certaine cohérence.
Puisque par exemple

sept

correspond à la superposition des chiffres qui désignent un 

deux et quatre

Les quinze premiers chiffres peuvent ainsi s'écrire en utilisant les chiffres

un

deux

quatre

huit

 

Le chiffre quinze les utilisant tous les quatre puisque

= + + +

c'est à dire

15 = 1 + 2 + 4 + 8

A la fin de la séquence,
un peu plus de confusion, puisque ce qui "semblait" être en place est un peu déstabilisé, notamment par cette nouvelle notation
mais en même temps l'élargissement du champ mental aidant, la notion de chiffre reçoit une expérience sensible de plus et signifie davantage
(plus de volume - de compréhension  - moins de précision ... cette précision qu'il faudra donc travailler par la suite)

Remarque : pour un certain nombre d'élève de troisième, ces notions de numération insuffisamment assimilées, entravent de façon importante tout ce qui concerne l'algèbre (développement à suivre pour quelques précisions)


 

(*) remarque : ces codes pour les nombres ont probablement existé bien avant les écritures des mots que nous utilisons pour communiquer.
L'exemple le plus simple de code **** en est donné par les soirées électorales (dans les petits bureaux de vote) ou l'on compte encore en "bâtons" que l'on regroupe souvent par 5 (en barrant les quatre premiers) puis (plus rarement) par 10 en entourant deux groupes de "quatre barrés".
Ce qui est en fait un système de numération primitif assez efficace ... pour cet usage, puisqu'il permet de compléter à chaque fois le nombre déjà écrit.

(**) rappelons la confusion partagée par tous les savants au moment du passage à l'an 2000 pour expliquer (!!) la raison pour laquelle le troisième millénaire ne commençait qu'en 2001.

par exemple :

L'absence d'une année 0 serait due, d'après certains érudits , au fait que le pauvre moine Denys Le Petit, auteur de ce calendrier, comme ses contemporains, ne connaissait pas ce chiffre.


Oubliant totalement que le nombre qui caractérise une année est un numéro et non une mesure (comme cinq ans et six mois)
Nos jours sont d'ailleurs encore nommés 1 janvier et non 0 janvier ce qui n'aurait pas de sens pour un numéro
(le numéro zéro existe souvent dans le cas d'un journal et il a précisément le sens de ce qui ne compte pas encore vraiment.)

 

Curieuse erreur qui a vu la quasi-unanimité sur une question familière à un bon élève de sixième
-> 1 désigne le premier lorsqu'on donne un numéro d'ordre (ce qui est le cas dans notre calendrier)
-> 0 est la première graduation sur un instrument de mesure.

La plupart des sites scientifiques qui avaient développé cette anerie l'ont retiré (il y avait notamment cybersciences)
à ce jour il ne reste plus que :

(http://www.radio-canada.ca/actualite/decouverte/chronique/bogue.html)

C'est que notre calendrier a un petit bogue. Il lui manque un élément que l'on retrouve chez tous les odomètres. Il lui manque le zéro. L'an zéro n'existe pas. La première année du calendrier, c'est l'an 1.

Lorsque notre calendrier a été mis au point, on utilisait pour calculer les chiffres romains et les Romains ne connaissaient pas le zéro. Aussi, dès le premier jour de notre calendrier, nous sommes déjà en l'an 1. Et juste avant l'an 1, c'est l'an -1. Il n'y a pas d'an zéro. 

 Heureusement, on pouvait aussi lire ceci LE GRAND SIECLE
qui évite la version "les Romains ne connaissaient pas le zéro"

*** qui ont un rapport certain avec la numération binaire - puisqu'il s'agit simplement d'une mise en forme de celle-ci sur quatre cases - et en particulier avec l'hexadécimal.

Note : Quelques années après avoir mis au point cette notation, j'ai rencontré la proposition similaire, mais antérieure, de l'ami Boby Lapointe dans un système qu'il a nommé le
système bibinaire.

**** Plus simple est bien évidemment le système dit primitif (et pourtant) qui ne connait que :
un, (une main)  deux (deux mains) et beaucoup (ce qui excède ce que l'on peut prendre dans ses deux mains)
système qui, s'il n'est mathématiquement très efficace, est tout du moins moralement assez satisfaisant (sourire)²

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4 octobre 2006 3 04 /10 /octobre /2006 20:05

Un des instruments à la fois les plus familiers et les plus méconnus des élèves (et de leur parent ?) est cette règle en bois, en plastique (souvent ébréchée dans des duels où elle sert d'épée) ou (de plus en plus fréquemment pour la raison précédente) en fer.

Règle le plus souvent graduée, ce qui pour la règle en bois ou en fer est cause d'erreur du fait de l'épaisseur de l'instrument de mesure.

Une bonne règle graduée possède des graduations qui peuvent toucher la longueur à mesurer.
C'est pour cette raison que sur les instruments transparents, les graduations sont sur le dessous (on s'en assure en passant la main dessus) la transparence permettant de les lire.


Rien de tel que la frabrication d'une règle graduée pour mieux observer celle que l'on possède.
Notamment du côté des extrémités et de la position des nombres à savoir sous les graduations (et non pas "entre").

C'est ce qui justifie en partie le travail proposé, à savoir :
La fabrication d'une règle graduée en carreaux* et interlignes.

**
Cette activité sera l'occasion d'un travail sur la notion de mesure
ainsi que sur celle de système numérique.
En effet le carreau et l'interligne ne sont pas comme le centimètre et le millimètre dans un rapport de dix (comme dans le système classique "décimal")
mais (il suffit de regarder un carreau pour le voir) dans un rapport  de 4

Il faut quatre interlignes pour faire un cc (voir note *)

nous avions sur la règle classique 1cm = 10mm

sur la nouvelle règle nous aurons  1cc = 4i

Ce qui nous permettra d'utiliser abondamment les quantités fractionnaires que sont

le quart (1 i = 1/4 cc)
la moitié (2 i = 1/2 cc)
et les trois quarts (3 i = 3/4 cc)



* Remarque : la longueur est en fait ici le "côté de carreau", puisque le carreau lui-même est une surface. On le nommera donc cc et i l'interligne

** Le disque orange est le disque de communication avec la classe
Orange : cours magistral le prof parle, pour poser une question je lève le doigt.

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3 octobre 2006 2 03 /10 /octobre /2006 05:53

La "résolution du triangle rectangle" c'est à dire la recherche d'un des côtés du carré connaissant la mesure des deux autres, met en place, parfois de façon quasi irrémédiable, de mauvais "réflexes" que l'on combattra souvent en vain par la suite.

Ici un exemple

(pour accéder à l'exercice sur le site de Maths en Poche, cliquer sur l'image)

Le travail proposé est tout à fait intéressant, mais ne doit pas être abordé trop vite de cette manière, car il deviendrait ensuite bien difficile de faire résoudre correctement "l'équation carré"

Pour mettre en évidence le problème posé par cette résolution rapide de l'équation, correspondant dans l'exercice au "finalement", on peut s'essayer au petit problème posé ci-dessous.

Pour un élément de solution, cliquer sur l'image
(ou sur le lien ci-dessous)

Equation carré (solution)

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2 octobre 2006 1 02 /10 /octobre /2006 20:39

Ici nous allons revisiter la multiplication telle que nous la posons depuis ... longtemps


Pour commencer,
donnez une décomposition du produit (multiplication) de 69 par 47 
(c'est à dire (60 + 9) x (40 + 7) )
en quatre termes

lorsque vous aurez votre proposition, regardez la mienne en cliquant sur l'image

La manière classique de poser cette multiplication est

Mais il y a un certain nombre de sous-entendus (cette fameuse question des "retenues")

Il existe une autre manière de poser les multiplications dite par
jalousie (par allusion aux fenêtres qui possèdent des ouvertures en biais, presque des meurtrières permettant de regarder sans être vue )


(source wikipédia, voir aussi
ici)

autre exemple :


Une manière intermédiaire de poser cette opération est la suivante
(qui combine les deux)

On voit clairement les quatre étapes et la raison pour laquelle on "rajoute des zéros" comme on dit dans les petites classes.

Le lien est alors fait avec notre décomposition du début, puisqu'on y retrouve nos quatre multiplications.
La somme des quatre produits donnant le résultat final de la multiplication.

On pourrait s'intéresser (je sens que vous alliez y venir naturellement (sourire²) )
à ce qui se passe lorsque les deux termes de la multiplication sont identiques
c'est précisément ce que nous allons voir.

Ainsi si le précédent calcul était 47 x 47  
on obtiendrait alors la décomposition

On voit que
si le produit de deux sommes donne en général quatre termes
(60 + 9) x (40 + 7) = 7 x 9 + 7 60 + 40 9 + 40 60 
ou plus généralement
(a + b) x (c + d) = d b + d  a + c b + c  a = db + da + cb + ca 
 
dans le cas de deux sommes identiques, il est possible de le réduire à 3
(40 + 7) x (40 + 7) = 7 x 7 + 7 40 + 40  7 + 40  40
c'est à dire              =  7² + 2 x 7 40 + 40²
ou plus généralement
(a + b) x (a + b) = b b + b  a + a b + a  a = a² + 2ab + b² 
 

On verra plus loin que dans un autre (et unique cas) on peut réduire à seulement 2 termes.

 


merci à J-C Salmon pour sa relecture attentive qui m'a permis de relever quelques coquilles

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30 septembre 2006 6 30 /09 /septembre /2006 18:17

On connait les faits d'arme de la révolution française
mais un peu moins l'effort de rationnalisation qui l'a accompagné

Une partie des unités de mesure est due à cet effort entrepris par des savants héritiers du "siècle des lumières"

Bien évidemment il y a eu quelques excès dus à une volonté trop affirmée et un dénigrement trop systématique des valeurs anciennes.

Récemment quelqu'un se demandait (à haute voix) pourquoi le rapporteur était partagé en 360° *

De même les révolutionnaires ont trouvé que tout ce qui concernait la mesure du temps était "ringard" (eux ont du utiliser un autre mot)
C'est pourquoi par exemple, ils ont décidé de substituer au calendrier hérité de l'église romaine (
Grégorien : du nom du pape Grégoire XIII) un nouveau modèle de découpage de l'année "Le calendrier républicain"

De ce formidable travail - tout a été réinventé, jusqu'aux substitutions des noms de saints - il ne reste à peu prés rien.

Germinal, le roman de Zola, qui est un des noms de mois (21 mars - 19 avril)
et quelques dates de violences historiques (9 thermidor)

La partie la plus rationnellement irrationnelle de ce calendrier est sans aucun doute celle qui régit les jours de la semaine

Les noms des jours sont bien sur très logiques et facile à retenir pour qui connait le latin
mais il est assez facile à comprendre que les Lundi, Mardi et autres Dimanche ont su garder leur emploi face à ces nouvelles dénominations rationnelles mais imprononçables.

Le mieux n'est pas toujours le plus rigoureux
et éliminer toutes références (Lundi : jour de la lune ; Mardi : jour de Mars ...)
n'est pas réellement ce qui convient le mieux à des créatures humaines
rationnelles, certes,
mais aussi dotées d'émotions et d'imaginations

cela aussi réclame nourriture !


La supériorité de 360 apparait dès qu'on en définit des fractions

Il est en effet le seul nombre simple divisible par
1 (bien sur !) 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 ; 36 ; 40 ; 45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 

Le pauvre 400 choisi pour le remplacer (les grades devaient remplacer les degrés) est incapable de nous fournir un tiers ... commestible



Grade :
définition de Wikipédia
  1. (Géométrie) Centième partie d’un quadrant dans un système de division centésimale de la circonférence.

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28 septembre 2006 4 28 /09 /septembre /2006 17:31

Dans cette nouvelle série de feuilles on évoque les fractions.

Le travail utilise beaucoup le support implicite du cadran de la montre (à aiguille ! ... de plus en plus d'élèves ont des montres à affichage digital)

Le titre de l'activité est "je reviens dans un quart d'heure"

C'est en effet sous cette forme en toute lettre, qu'il faut exprimer la fraction donnée "sur 60" ou par la figure.

Comme pour toutes ces feuilles (voir présentation) il n'y a pas de consigne explicite (le travail inclut sa recherche et son élucidation)

 

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20 septembre 2006 3 20 /09 /septembre /2006 23:04

Un billard a une forme carré de 19 cm sur 19 cm

Une boule de billard est animée d'un mouvement parallèle au vecteur  (19;15)


Donnez sa trajectoire complête en considérant qu'elle roule indéfiniment
(au départ on peut la mettre n'importe où)

Pour la correction, cliquer sur le billard
(mais il est conseiller de chercher un peu avant, avec une feuille, un crayon et une rêgle)

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