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24 décembre 2006 7 24 /12 /décembre /2006 19:50
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23 décembre 2006 6 23 /12 /décembre /2006 21:37
(sur yahoo question/réponses)

Pourquoi est-ce que sinus 30° = 1/2?


Rappelons que le dans un triangle rectangle
le rapport du côté opposé à un angle sur le plus grand côté (l'hypoténuse) ne dépend que de l'angle
ce rapport a reçu comme nom SINUS (c'est donc le sinus de l'angle)

Pour répondre à la question, partons du triangle équilatéral.

La bissectrice d'un des angles partage le triangle en deux triangles rectangles égaux  (
Puisque dans un triangle isocèle - ce qui est le cas du triangle équiliatéral - la bissectrice est aussi hauteur, d'où l'angle droit.)
Cette bissectrice définit
deux angles de 30°.

Le côté qui fait face à l'angle de 30° mesure la moitié de l'hypoténuse
(puisque dans un triangle isocèle - ce qui est le cas du triangle équiliatéral - la bissectrice est aussi médiane.)

Ainsi le rapport nommé sinus de l'angle (ici de 30°) est égal à
moitié de l'hypoténuse / hypoténuse ( = h/2 / h)
et donc (par simplification du terme hypoténuse) on en conclut que
sin(30°) = 1/2

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14 décembre 2006 4 14 /12 /décembre /2006 17:47
Une manière de désigner un nombre dans le segment [0;1[ pourraît-être, de faire "tourner" un rayon d'un cercle sur lequel on aurait préalablement défini un point origine.


La plupart des mathématiciens sont d'accord pour établir une bijection entre les points d'un segment et un ensemble de nombre réel compris entre deux bornes (ici 0 et 1)

Ainsi donc, lorsque, comme à la fête foraine, le rayon s'arrête, celui ci désigne un et un seul nombre (T) de l'intervale défini.

Si cet arrêt est purement aléatoire, que peut-on dire du nombre qui est ainsi désigné ?

Dans l'attente de la preuve du contraire, j'affirmerai que ce nombre, les moyens dont nous disposons pour nommer ne seraient en général pas suffisants pour nous permettre de le faire ici.

Si on défini comme second nombre, celui qui est désigné par le même rayon après une fraction a/b de cercle (telle que a est constitué de la moitié des chiffres de T et b de la suite restante) , il est certain également que ce second nombre aura la même propriété que le premier.

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6 décembre 2006 3 06 /12 /décembre /2006 19:32
Petite séquence qui développe ce qui était présenté brièvement dans l'article précédent.

On y montre l'intérêt de la médiatrice d'un segment de droite, pour déterminer l'endroit où choisir le centre du cercle qui passera par deux des points définissant un calliphone.

(cliquer sur l'image)



Calliphone et médiatrice 2

Ne pas hésiter à mettre la vidéo en pause sur une figure
j'ai préféré mettre peu de temporisation
pour ne pas créer de lenteur insupportable

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5 décembre 2006 2 05 /12 /décembre /2006 22:16
Cette année, avec les sixièmes, je reprends l'activité transdisciplinaire (la collègue d'art plastique travaille à partir du réalisé en maths) Calliphone.

En commençant par un réinvestissement de ce que l'on a appris en début d'année, notamment à propos de la médiatrice.

Pour une présentation du Calliphone, cliquer sur l'une des figures
Brouillon fait au tableau à partir du numéro de téléphone d'un des élèves
juste pour montrer un exemple de réalisation ainsi que les étapes de celle-ci.
Ici on réinvestit ce que l'on sait de la médiatrice d'un segment de droite, pour dessiner deux arcs de cercles passant par deux points donnés (les numéro 7 et 3 de la grille) et formant une lunulle que l'on coloriera (pour donner un effet de calligraphie)

Autre exemple (avec le numéro de téléphone ... fictif, pour vérifier)

(oui j'avoue, j'utilise beaucoup de craie.
D'après les personnes qui maintiennent en bon état de propreté les locaux du collège, je serais celui qui en consomme le plus, ... il va falloir que je fasse un effort en faveur de la décroissance soutenable,

...
peut-être récupérer la craie sur le tableau et l'éponge, pour en refaire des bâtons ? (sourire)² )

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13 novembre 2006 1 13 /11 /novembre /2006 23:56
Séquence (extraits) de mathématiques où les élèves utilisent un jeu  (le jeu de sept) pour comprendre comment on passe d'une méthode de détermination du plus grand des diviseurs commun à deux nombres (celle des soustractions successive) à une autre plus rapide mais un peu plus délicate à utiliser (celle des divisions euclidiennes successives)

Ce temps qui permet une redécouverte de la division comme soustraction répétée
donnant deux résultats
    - le nombre de fois que l'on peut répéter une même soustraction 
      (en ... combien de fois puis-je retirer ...)
    - le nombre restant à la fin de toutes ces soustractions
      (
lorsque j'ai effectué toutes ces soustractions que reste-t-il)


Règle du jeu :
Le premier joueur ajoute à zéro un nombre entier entre 1 et 6 (c'est pourquoi cela s'appelle le jeu de sept (sourire)² )
le suivant ajoute à son tour au résultat un nombre entre 1 et 6
et ainsi de suite
le premier arrivé à 43 a gagné.
Les retours sont les bien venus, je peux aussi fournir d'éventuelles précisions sur les temps coupés.

Désolé pour la qualité de la vidéo
mais elle comporte notamment l'avantage de protéger l'anonymat des élèves.

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13 novembre 2006 1 13 /11 /novembre /2006 14:38

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10 novembre 2006 5 10 /11 /novembre /2006 16:18
La réponse est dans une figure qui permet de résoudre les trois questions posées.

en effet, à partir de
http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/feuille/troisiemes/identite-remarquable-a-_-b-au-carre--correction-1.jpg
On peut, en assemblant différemment les éléments, obtenir la nouvelle figure

http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/feuille/troisiemes/identite-remarquable-a-_-b-au-carre--correction-2.jpg
Celle-ci est un carré de côté x + 4

En effet le côté codé d'une croix (qui correspond à ML et DE) est égal à la différence des deux autres longueurs (IH et AB*)

Si l'on est pas parvenu à réaliser cette figure, il est possible de calculer l'aire de la première en se servant de
IH = 4 - x

Nous avons
trois rectangles de longueur 4 et de largeur x
un carré de côté x
un rectangle de longueur 4 et de largeur 4 -
x

L'aire totale est donc égale à la somme
3 x 4 x x + x² + 4(4 - x)
en développant on obtient
12
x + x² + 16 - 4x
x² + 8x + 16
(réponse à la question 1)

Avec un oeil aiguisé (par l'apprentissage des Identités Remarquables) on peut voir ici 
a² + 2ab + b² 
avec
a = x et donc a² = x²
b = 4 et donc b² = 16
2ab = 2 x x x 4 = 8x

or d'après le cours sur les Identités Remarquables,
  a² + 2ab + b² = (a + b)²

on en déduit donc que
x² + 8x + 16 
peut aussi s'écrire
(x + 4)²
 L'aire de notre figure est la même que celle d'un carré de côté x + 4
(réponse à la question 2)

Il ne reste plus qu'à chercher à assembler les éléments de la figure de départ pour obtenir un carré de côté
x + 4
C'est la figure que je donne au début de cette correction.

Un autre exemple avec des dimensions et des rapports différents
(mais qui conduit à la même conclusion)

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/feuille/troisiemes/identite-remarquable-a-_-b-au-carre--correction-1et-2.jpg


Remarque : rien n'interdit de traiter les questions dans un ordre différent de celui qui est donné.
Ici cela permet de répondre directement aux trois questions.
* Sa longueur est donc 4- x

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23 octobre 2006 1 23 /10 /octobre /2006 14:54

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22 octobre 2006 7 22 /10 /octobre /2006 19:55
Soient les nombres 142857  285714  428571  571428   714285  et  857142
1)  Faire la table de multiplication du premier

2)  Que remarque-t-on ?

3) comment peut on noter ces nombres si on nomme "A" le premier ?
(c'est à dire si l'on pose pour simplifier A = 142857  , ce qui revient à utiliser l'équivalent d'un "pronom personnelpour ne pas avoir à répéter quelque chose d'un peu long plusieurs fois)

4)  on désire faire la somme suivante : 
neuf  fois le premier plus six fois le second plus sept fois le troisième plus deux fois le quatrième plus quatre fois le cinquième plus cinq fois le sixième

Peut-on écrire simplement la ligne de calcul, en utilisant la notation que l'on a trouvée dans la question 3) ?

5) De tête, déduire de l'écriture de 4) le résultat de cette ligne de calcul
 
Solution : cliquer sur l'image réduite

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