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Philippe Mercier

 

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28 juin 2007 4 28 /06 /juin /2007 14:22

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28 juin 2007 4 28 /06 /juin /2007 08:08
(... en partie (sourire)² )

Avec les sixièmes, ce matin, nous avons développé un exercice qu'ils connaissent bien et qui permet d'introduire un certain nombre de notions (sans les nommer directement)

- Ce qu'ils appelleront FONCTION en troisième
- Ce qui leur sera présenté en quatrième sous le nom "CARRE D'UN  NOMBRE"
- Les nombres relatifs (qu'ils aborderont ... dans quelques mois)

Ils ont donc fait le second exercice de la partie Activités Numériques du Brevet des collèges
(épreuve nationale cet année) (DNB)


http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes0.jpg


http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes1.jpg
(La question 0 a été ajoutée pour permettre aux élèves de se familiariser avec la M.A.N. (machine à nombre) sachant qu'ils ne sont pas censés connaître les nombres négatifs ... bien qu'ils jouent souvent dans la neige)


http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes21.jpg

Aucun élève n'a été mis en difficulté par l'exercice, tous ont trouvé le résultat :               9

Pour la plupart, ils ont procédé par "pas"
(liaison avec la technologie où ils voient un robot/automate programmable)


1 + 4 = 5
5 x 1 = 5
5 + 4 = 9

Pour certain le calcul a été fait en une seule fois (comme ils l'ont appris lors de l'activité en classe qui avait pour but notamment de travailler sur les expressions avec des parenthèses.)

((1 + 4 ) x 1 ) + 4) = 9


http://accel17.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes22.jpg

La plupart des élèves sont parvenus au résultat.
L'exercice a été l'occasion pour "réinvestir" dans le domaine (scientifique) des maths, les connaissances privées en rapport avec la notion de nombre relatif.
Et ce, en parallèle avec des domaines connus des élèves comme ceux des températures, de l'argent que l'on a et celui qu'on doit et des étages (centre commerciaux avec de nombreux sous-sols)
Tout cela bien sur au niveau de la sensibilisation.

(-2) + 4 = 2
2 x (-2) = (-2) + (-2) = (-4)
(-4) + 4 = 0

A certain moment il a été mis en évidence la nécessité de se rattacher à un sens du calcul, par exemple pour éviter d'écrire (-4) + 4 = 8
parce qu'on veut calculer
et donc de se servir de ce que l'on sait pour donner un résultat "qu'on connait d'avant les maths".



http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes3.jpg

Cet énoncé a été légèrement modifié ("aire d'un carré") pour le mettre à la portée des sixièmes sans en changer la nature dans ce qui peut être considérer comme une introduction simple de la notion de "carré d'un nombre".

Rappelons que les grecs n'utilisaient pas le terme "multiplication"
mais parlaient à propos de l'opération  5 x 8
du "rectangle de 5 et 8"

et donc à propos de l'opérataion 5 x 5
du "carré de 5"

(Ce petit passage d'histoire a permis dans la classe de réactiver le sens de la multiplication en même temps que le calcul de l'aire du rectangle
très souvent mélé dans la tête à celui du périmètre)



L'ensemble des résultats des élèves de la classe a été écrit sous la forme d'un tableau :


Nombre
de départ
Résultat
Correspond au carré de côté
1
9
3
-2
0
0
7
81
9
4
64
8
-1
1
1
6
49
7
20
484
22
30
1024
32
8
100
10
-3
1
1


On y met en évidence la relation qu'il y a entre le nombre de départ et
le carré de "ce nombre augmenté de deux"
Relation que quelques élèves de la classe avaient remarquée déjà dans leurs exemples, avant qu'on dresse ce tableau récapitulatif.

Au moyen de ce tableau (mais donc sans formaliser) les élèves parviennent à répondre à la question 4 (rebaptisée 3)


3) b) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
Sur tableau on peut lire que
pour -1 et -3 comme valeur de départ, on obtient 1 comme résultat

Pour aborder la question 3 (rebaptisée 4a), je propose

4) a) Comment peut-on calculer en une seule ligne le résultat que l'on obtient à partir du "nombre de départ".

(On pourra remplace
"nombre de départ" par la lettre N)

Là aussi, un certain nombre d'élèves proposent
((N + 4) x N) + 4
Que l'on sait (ou plus exactement que l'on "devine" ) être égal
au carré de (N + 2)
Grâce au travail à l'aide du tableau.

D'où la réponse à la question

4) b) Obtient-on toujours comme résultat "le carré d'un nombre", pour n'importe quel nombre au départ de ce programme de calcul ?
Justifier la réponse.

On le constate dans le tableau
Et on l'a écrit sous la forme d'une formule pour n'importe quel nombre (N)

Avec la seconde sixième, j'ai passé un peu plus de temps (ils en avaient besoin) sur ce passage de l'écriture "en français" à l'écriture "en langage mathématique" (c'est à dire directement lisible par exemple par des Chinois)

L'image “http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes6.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.

On met en parallèle les deux manières d'écrire le premier résultat obtenu
en français : "Le nombre que j'ai choisi"
en langage mathématique : "a" (sur le tableau la lettre grecque "alpha")

http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes5.jpg

C'est un travail très intéressant à faire avec les élèves et qui met en valeur l'importance en français de la virgule qui ici annonce d'une certaine manière la parenthèse.
http://accel14.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/brevet-pour-sixi-mes/brevet-pour-sixiemes7.jpg

Remarque pour conclure

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:03
Activités Numériques (12 points)
Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.

Pour chacune des cinq questions, indiquez sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte


L'image « http://accel14.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

Pour avoir les réponses, cliquer sur l'image


Pour avoir la correction détaillée de chacune de ces questions cliquer sur le numéro correspondant


Pour certains exercices il était utile d'adopter le fonctionnement de type "QCM à une seule réponse exacte".
(C'est-à-dire qu'il n'était pas indispensable de faire une recherche systématique ... en cas de difficultés)

On pouvait donc procéder ainsi :

1) élimination des réponses visiblement fausses
2) dès qu'une réponse apparaît juste il est inutile de poursuivre (sauf si on dispose de temps, pour vérifier)

Mais surtout, oser proposer une réponse !

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:00
Activités Numériques (suite)

Exercice 2

* Choisir un nombre
* Lui ajouter 4
* Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi
* Ajouter 4 à ce produit
* Ecrire le résultat.



1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre -2 on obtient 0.

L'image « http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.


2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5

L'image « http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-2.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.


3) a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie) 

L'image « http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-3a.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.



3) b) En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ?
Justifier la réponse.


L'image « http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-3b.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.



4) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

L'image « http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-4.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

Une petite variante

L'image « http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tn-i-2-correction-4-.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:00
Travaux Géométriques (sur 12 points)

Exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre
ABC est un triangle tel que AB = 9 ; AC = 15 ; BC = 12

1) a) Démontrer que ABC est rectangle en B.
L'image « http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-1-correction-1a.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

    b) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.

L'image « http://accel17.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-1-correction-1b.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

2) E est le point du segment [AB] tel que AE = 3
    F est le point du segment [AC] tel que AF = 5

   a) Placer les points E et F sur la figure

   b) Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (BC)

L'image « http://accel17.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-1-correction-2.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

3) Calculer l'aire du triangle AEF.

L'image « http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-1-correction-3.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

  

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:00
Travaux Géométriques

E
xercice 2

Sur la figure ci-contre,
- ABC est un triangle équilatéral

- le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC
- le point D est le point diamétralement opposé au point B sur le cercle.

1) Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier
L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-2-correction-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

2) Quelle est la mesure de l'angle en D
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L'image « http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-2-correction-3.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:00
Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.
Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.



- Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles.
- Le triangle HIE est rectangle en I.
- Le quadrilataire IEAB est un rectangle.
- La hauteur du sol au sommet du toit est HB.

On donne : AB = 2,25  ; AD = 7,5  ; HB = 5
L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/dessin-1---pb.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.




Partie I
On suppose dans cette partie que
AE = 2

1) Justifier que HI = 3

2) Démontrer que HE = 3,75

3) Calculer au degré près la mesure de l'angle IHE (avec un chapeau) du toit de la maison.
                                                         L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/dessin-1---pb.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

(Un cadeau)
L'image « http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/pb-i-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

(Pour être tout à fait rigoureux on aurait pu mentionner "l'inégalité triangulaire")

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(On omet souvent d'évoquer la solution négative de l'équation x² = a
 c'est pourtant nécessaire, il y a deux solutions et l'une ne convient pas)




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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 09:00
Problème


Partie II
Dans cette partie, on suppose que l'angle IHE (avec un chapeau) = 45° et on désire déterminer AE

1) Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier.

2) En déduire HI puis AE


                                                         L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/dessin-1---pb.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

L'image « http://accel17.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/pb-ii-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.


(La suite se déduit tout naturellement )
L'image « http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/pb-ii-2.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 08:45
Problème

Partie III

Dans cette partie, on suppose que l'angle IHE (avec un chapeau) = 60° et on désire déterminer AE

1) Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.

2) En déduire la valeur arrondie au cm de AE.
.
                                                         L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/dessin-1---pb.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

(Ici un peu de trigonométrie avec un calcul moins immédiat que précédemment)

L'image « http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/pb-iii-1.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

(Ici aussi la suite coule "de source")

L'image « http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/pb-iii-2.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.



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26 juin 2007 2 26 /06 /juin /2007 08:40
Problème

Partie IV

La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de la mesure de l'angle IHE (avec un chapeau)
L'image « http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/dessin-5---pb.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3m et 3,5m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle IHE
(avec un chapeau).


Sur le graphique on peut lire que
lorsque l'angle mesure 50° (se lit sur l'axe horizontal)
la valeur de AE est bien comprise entre 3m et 3,5 m (sur l'axe vertical)

Cette valeur de 50° convient donc pour le choix de M. Durand


Remarque: ce graphique peut servir à vérifier les valeurs que l'on a trouvé pour AE dans les questions précédentes
c'est à dire
Angle IHE (avec un chapeau) 37° 45° 60°
Longueur AE              
2 m 2,75 m 3,70 m

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