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17 octobre 2007 3 17 /10 /octobre /2007 22:31
Il y a un grand nombre de calculs que l'on peut effectuer de tête en s'appuyant sur ce que l'on sait de l'heure et des minutes.



et en particulier sur  60 minutes = 1 heure
ainsi que de tout ce qui en découle.

(chacun sait, plus ou moins, ce qu'est un quart d'heure, cinq minutes etc.)

Ainsi ces trois quarts et ces un douzième,
les convertir d'heure en minutes ne change pas leur rapport.

trois quart d'heure étant égal à 45 minutes
un douzième d'heure étant égal à 5 minutes

http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/calcul-mental/3-quarts-divise-par-1-douzieme.jpg
 devient si l'on considère que l'on passe à une unité 60 fois plus petite
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/calcul-mental/45-sur-5.jpgd'où la réponse, sans avoir à faire de calcul
(mais en ayant remué les petites cellules grises*)
... **



* Hercule Poirot héro de Agatha Christie

** Tu peux tout de même travailler un peu ! ...

Du résultat on déduit que dans trois quarts "il y (v)a neuf douzièmes "
ce qui est tout à fait vrai puisque
http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/calcul-mental/3-quarts-egale-9-douziemes.jpg

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17 octobre 2007 3 17 /10 /octobre /2007 21:30
(Suite des articles
Egalités de fractions - Grandeurs et Unités - (produits en croix))
et
Egalités de fractions - Grandeurs et Unités - Exemples de choix d'unité)

Autre exemple illustrant la portée de la définition d'unité par
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs--.jpg

Si l'on considère le cercle, et plus précisément son périmètre, du point de vue de son diamètre
c'est à dire en considérant son diamètre comme unité de longueur
alors on a une définition particulièrement claire du nombre
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/nombre/pi.gif

http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---cercle-et-rayon.jpg

Le diamètre d'un cercle valant deux fois son rayon,
on voit que l'expression du périmètre est encore plus simple si l'on prend le diamètre comme unité de longueur.

On a alors
périmètre du cercle = http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/nombre/pi.gif Diamètre

Certains feront des gros yeux en regardant la suite
mais pourtant rien n'interdit vraiment cette écriture

http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---carre-et-aire.jpg
(ce sont des "bandes de côté" d'une largeur infiniment petite qui constituent la surface
L'élève de lycée constatera la vérité de cela en abordant les intégrales.
Cette écriture sera alors parfaitement justifiée.)


Ce type d'écriture a de multiples applications.

Conviction renforcée encore par la rencontre cet après midi d'élèves (apprentis) quelque peu cassés par 4 années de collège et pour certain(e)s un complément au lycée (professionnel ou général)
et qui errent comme dans un désert de sable dès qu'on leur parle périmètre ou aire,
à la recherche de la formule qui (comme disait Léonard Cohen) est
"si délirante qu'on n'aura plus jamais besoin d'une autre"

C'est la notion même de multiplication que permet de mettre en évidence cette "mise en facteur" d'un terme, vu comme l'unité

Par la suite, c'est cette perception de la multiplication qui permet pour un certain nombre d'élève de comprendre les transformations suivantes :

A =  12a² + 4ab = 3a x 4a + b x 4a
(12a² vaut 3
a si on le mesure dans l'unité 4a
4ab vaut b si on le mesure dans l'unité 4a)
d'où
A =  12a² + 4ab = (3a+b) x 4a
(A vaut
(3a+b)  si on le compte dans l'unité 4a)

De même, pour tous les élèves qui parviennent en troisième sans réellement comprendre ce qu'est une division.

écrire 12a : 3a = 4
ou dans 12a il y va 4 fois 3a
signifie bien que lorsqu'on prend 3a comme unité
12a mesure 4

(de façon imagée si on prend comme écart  avec le compas
3a 
on peut le reporter
4 fois dans 12a

D'une complication apparente
(en fait il s'agit d'une complexité qui enrichit)
on fait ici un précieux auxilaire du sens.*


* Qui conviendra bien sur à certains, mais pas à d'autres

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16 octobre 2007 2 16 /10 /octobre /2007 17:37
(Suite de l'article Egalités de fractions - Grandeurs et Unités - (produits en croix))

Pour illustrer un peu cette définition fertile évoquée dans le précédant article, quelques exemples

Mais tout d'abord rappelons celle-ci.

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs--.jpg

C'est ce type de définition repère, dense en sens qui manque cruellement aux élèves pour appuyer de façon claire leurs déductions, leur raisonnement, leurs démonstrations.
http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---longueurs-simples.jpg(Oui l'écriture est un peu abusive bien sur, on ne l'écrira qu'une seule fois
 mais elle est assez parlante ... pour qui dispose de l'oreille nécessaire, bien sur)

Ici on considère deux unités différentes GR et RG, correspondant bien sur (on ne sera pas toujours aussi sage !) à deux grandeurs de même espèce, comme le dit la définition.

http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---exemple.jpg
On a ici le début de cette fameuse règle de "changement d'unité" qui était le préalable à toute étude de géométrie pratique, avant que l'on ne retire les unités des calculs.
(depuis, elles y sont revenues ... c'était une question de bon sens)

En l'appliquant à des objets connus, on s'aperçoit rapidement de la puissance de représentation qu'elle permet.
http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---carre-et-cote.jpg
Le rapport du périmètre à la mesure du côté est 4

Le périmètre du carré vaut 4 "mesures de son côté"*

Il s'agit tout simplement ici d'une mobilité de l'esprit - qui choisi son unité, on pourrait presque dire, son point de vue.

Autre exemple qui fera peut-être comprendre à certain un mot qui leur est passé au-dessus de la "boite en calcium"

http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/g-n-ral/grandeurs-unit-s/notion-d--unite---rapport-de-grandeurs---cosinus.jpg

Le cosinus, relatif à deux côtés d'un triangle** est donc le nombre qui mesure le côté de l'angle droit concerné, si l'on prend l'hypoténuse comme unité.

AB  vaut cosinus de l'angle en B
si on le mesure avec comme unité la longueur BC


...




* L'expression "une mesure de" est un peu passée,
mais loin d'être rance.

La remettre au goût du jour aiderait à (comme disent les guides "redonner du sens" à la notion de grandeur et de mesure.
** Le premier doit être l'un des deux de l'angle droit et l'autre le côté face à l'angle droit (hypoténuse : plus grand côté d'un triangle rectangle)

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16 octobre 2007 2 16 /10 /octobre /2007 11:18

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15 octobre 2007 1 15 /10 /octobre /2007 19:48
J'aime beaucoup cette définition en rapport avec les notions de Grandeur et d'Unité

Le rapport de deux grandeurs de même espèce est le nombre qui mesure la première quand on prend la seconde pour unité.

illustration
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/fractions/unite-et-rapport.jpg

Récemment des collègues se posaient la question de la manière d'introduire les produits en croix*
(qui permettent par exemple de vérifier l'égalité de deux fractions.)

Cette définition du "nombre qui mesure" se prête tout à fait à cette tâche
et permet de plus de voir la notion d'unité d'une façon très souple
qui donne une autre dimension à l'écriture fractionnaire.

Ainsi
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/fractions/produits-en-croix.jpg
Cette manière de prendre un point de vue particulier qui consiste à considérer
un terme d'un produit comme l'unité
ou
le rapport comme l'expression du "nombre qui mesure"
est très enrichissante.**




* exemples de problème où l'on utilise les produits en croix

** C'est d'ailleurs un exercice intellectuel qui assouplit l'esprit et que ne rejetteraient pas les mathématiciens grecs qui étaient également des philosophes (voir le sens de la notion de rapport).


Remarque : alors que l'on prône l'interdisciplinarité, il faut constater que les définitions des mathématiques pures et des mathématiques appliquées à la physique ont eu tendance à s'éloigner. (au moins lors de l'enseignement des fondamentaux)
On retrouve en effet cette ancienne définition des mathématiques ici
http://formation.etud.u-psud.fr/pcsm/physique/outils_nancy/apprendre/chapitre0/titre5res.htm

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15 octobre 2007 1 15 /10 /octobre /2007 11:06

L'adresse de l'activité est

Le script de la première figure

est
                    @options;

@figure;
  A = point( -4 , 4 )  { fixe };
  B = point( 4 , 4 )  { fixe };
  C = point( 4 , -4 )  { fixe };
  D = point( -4 , -4 )  { fixe };
  sAB = segment( A , B )  { 3 };
  sBC = segment( B , C )  { 3 };
  sAD = segment( A , D )  { 3 };
  sDC = segment( D , C )  { 3 };
  E = pointsur( sAB , 0.32 );
  ceAE = cercle( A , E )  { bleuciel };
  H = intersection( sAD , ceAE , 1 );
  paraHsAB = parallele( H , sAB );
  paraEsAD = parallele( E , sAD );
  G = intersection( paraEsAD , sDC );
  F = intersection( paraHsAB , sBC );
  I = intersection( paraEsAD , paraHsAB );
  sHF = segment( H , F )  { 3 };
  sEG = segment( E , G )  { 3 };

@analyse;
 
     



Le script de la deuxième figure

est
                   
@options;

@figure;
  A = point( -4 , 4 )  { fixe };
  B = point( 4 , 4 )  { fixe };
  C = point( 4 , -4 )  { fixe };
  D = point( -4 , -4 )  { fixe };
  sAB = segment( A , B )  { 3 };
  sBC = segment( B , C )  { 3 };
  sAD = segment( A , D )  { 3 };
  sDC = segment( D , C )  { 3 };
  E = pointsur( sAB , 0.32 );
  ceAE = cercle( A , E )  { bleuciel };
  H = intersection( sAD , ceAE , 1 )  { bleuciel };
  paraHsAB = parallele( H , sAB )  { bleuciel };
  paraEsAD = parallele( E , sAD )  { bleuciel };
  G = intersection( paraEsAD , sDC )  { bleuciel };
  F = intersection( paraHsAB , sBC );
  I = intersection( paraEsAD , paraHsAB )  { bleuciel };
  O = point( 0 , 0 )  { fixe };
  dEO = droite( E , O )  { bleuciel };
  G' = intersection( sDC , dEO );
  dFO = droite( F , O )  { bleuciel };
  H' = intersection( dFO , sAD );
  sEH' = segment( E , H' )  { 3 };
  sH'G' = segment( H' , G' )  { 3 };
  sFG' = segment( F , G' )  { 3 };
  sFE = segment( F , E )  { 3 };

@analyse;
 
     



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14 octobre 2007 7 14 /10 /octobre /2007 21:19
Dans :
Localisation par l'analyse numérique et l'optimisation p 13

on peut voir ces figures qui doivent te rappeler quelque chose


http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/thales-simple.jpg

La figure simple ("triangles emboités")
de M ou M' au bouton du milieu correspondant
nous avons deux parallèles
Les triangles correspondants ayant des côtés aux longueurs proportionnelles

C'est le principe même de l'agrandissement des photos.

Et ici
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/thales-papillon.jpgLa figure dite en "papillon"
de même, de M ou M' au bouton du milieu correspondant
nous avons deux parallèles.
Les triangles correspondants ayant des côtés aux longueurs proportionnelles

C'est ce qui se passe dans la chambre noire d'un appareil photographique traditionnel.

L'image “http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/chambre-noire.gif” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.
ça c'est Thalès !

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13 octobre 2007 6 13 /10 /octobre /2007 13:49
Il est assez facile, sans avoir à faire aucun calcul, de vérifier si deux fractions (avec des numérateurs et dénominateurs pas trop différents*)


Il suffit de construire deux triangles rectangles "emboîtés" ** en l'un de leur angle aigu de manière à ce que les grands côtés de l'angle droit soient "l'un sur l'autre"

Ainsi on peut voir (visuellement et sans calcul)
que
L'image “http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/7-sur-6-different-de-11-sur-9.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.
http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/6-sur-7-different-de-9-sur-11.jpg
On voit même que la première fraction est supérieure à la seconde.

De même on constate que
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/8-sur-13--c--est-un-peu-plus-que-12-sur-20.jpg

http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/8-sur-13--c--est-un-peu-plus-que-12-sur-20-fraction.jpg
Plus précisément, un élève qui aurait 8 sur 13 à un devoir, aurait une note sur 20 voisine de 12.


Ainsi, cette méthode permet aussi de convertir graphiquement une note sur ... n'importe quoi, en note sur 20

Et cela, parce que le résultat qui nous intéresse dans une telle conversion est un résultat approché au demi point près.
Ce que permet ce type de dessin ... à condition qu'il soit exécuté de façon assez soignée et précise.

L'image “http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/9-sur-13--c--est-presque-14-sur-20.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.
Ainsi, Llyes qui a eu 9 sur 13 à son contrôle de maths
sait, même s'il ne sait pas résoudre l'équation
http://accel10.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/8-sur-13-_-x-sur-20.jpg

Que sa note sur 20 sera 14
Puisque les fractions 8/13 et 14/20 sont très voisines.


PBiensur, un dessin n'ayant jamais une précision absolue,
on ne peut se servir de celui-ci que pour dire
- qu'une fraction est différente d'une autre
- qu'une fraction est voisine d'une autre

mais en aucun cas on ne peut se permettre, en regardant un tel dessin, même exécuté avec une grande précision, d'en déduire l'égalité de deux fractions.

Seul le calcul (par exemple les produits en croix), qui n'est pas approximatif comme un dessin, permet de l'affirmer.

Il serait par exemple, tout à fait imprudent d'affirmer
en regardant cette figure pourtant parfaitement exacte
(respectant la réalité)
http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/4-sur-15-et-7-sur-26.jpg
Quehttp://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/4-sur-15-et-7-sur-26-egalite-floue.jpg
(je préfère flouter un peu cette réalité approximative (sourire)²)

En effet, la simple vérification des produits en croix donne
4 x 26 =  104
et
15 x 7 = 105

Ce qui nous assure de la fausseté de l'égalité
(puisque les produits en croix ne sont pas égaux****)

Même si effectivement ces deux fractions sont très proches,
(suggèré par la figure.)

Ainsi,
une figure précise

peut servir à montrer qu'une affirmation est fausse
jamais directement à prouver que ce que l'on pense (voir) est vrai.

Pour la certitude, il faut une démonstration (ici un petit passage par le théorème de Thalès***)
ou (/et) un calcul.
(ce qui pour certains mathématiciens, en nombre de plus en plus élevé, est la même chose)


* Par exemple avec un numérateur 100 fois plus grand que le dénominateur, pour des raisons de tracé, cela complique un peu ... mais avec une petite astuce, c'est faisable.
(pour faire court : il suffit de ne pas prendre la même unité en abscisses et en ordonnées)

** Un énoncé plus mathématique serait :
"en faisant coïncider l'un des angles non droit de manière à ce que les plus grands côtés soient superposés"
*** Voir ce que propose Maths en ligne ici
**** Voir égalité de deux fractions (il faut rechercher le passage) en cliquant sur l'image
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/sixi-mes/egalite-et-produit-en-croix.jpg

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12 octobre 2007 5 12 /10 /octobre /2007 15:03
suite de :

Réduction d'expressions littérales- Soutien/ Approfondissement de Maths troisièmes (12-19 Octobre 2007 partie I)




Maintenant que nous avons revu quelques principes du calcul littéral (avec des lettres qui représentent des nombres)
nous pouvons passer à l'utilisation des trois identités remarquables.

1. Identités et calculs astucieux Utiliser une identité remarquable pour facilité un calcul numérique
2. Carré d'une somme Utiliser une identité remarquable pour développer et réduire le carré d'une somme

identité(a + b)² = a² + 2ab + b²
3. Carré d'une différence Utiliser une identité remarquable pour développer et réduire le carré d'une différence

identité :
(a - b)² = a² - 2ab + b²
4. Produit de la somme par la différence Utiliser une identité remarquable pour développer et réduire le carré d'une différence

identité :
(a - b)(a + b) = a² -  b²
 


Pour ceux qui veulent aller plus loin (mais il vaut mieux dans un premier temps bien connaître et utiliser ces identités) ici le tableau complet des exercices sur ce thème

1. Identités et calculs astucieux
2. Carré d'une somme
3. Carré d'une différence
4. Produit de la somme par la différence
5. Identités en vrac
6. Avec des fractions
7. Développements (sans changement de signes)
8. Développements (avec changements de signes)
9. En géométrie
10. Associer un développement à une expression factorisée



Remarque : il existe sur la toile un outil très pratique qui permet de vérifier (les faire faire, ça ne développe pas vraiment les muscles dans la boite en calcium !) des calculs littéraux
C'est ici :
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/maths-en-poche/troisi-mes/calculer-avec-wims.jpg
cliquer sur l'image





geombre


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12 octobre 2007 5 12 /10 /octobre /2007 14:35
Pour mémoriser les identités remarquables, être capable de les reconnaître et de les utiliser,
quelques exercices que propose Maths En Poche

Mais avant, un petit travail de réduction d'écritures littérales.

Il s'agit d'écrire plus simplement des expressions où des nombres sont remplacés par des lettres, notamment en faisant les calculs possibles.



1. Réduction de produit

Tu dois simplifier le plus possible un produit.
Par exemple ici, ce produit de trois termes (4 ; x et 7)
http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/maths-en-poche/troisi-mes/simplifier-ex1.jpg(clique sur l'image de la question pour faire l'exercice)

Ecris uniquement sur ta feuille le score à l'exercice.

2. Réduction de sommes

Tu dois simplifier le plus possible une somme .
Par exemple ici, cette somme de deux termes ( 2x et
8x)

Rappel : pour additionner deux termes, il faut qu'ils aient la même unité
ici ce qui joue le rôle d'unité est 
x (on compte en x)
http://accel10.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/maths-en-poche/troisi-mes/simplifier-ex2.jpg(clique sur l'image de la question pour faire l'exercice)

Ici aussi, écris uniquement sur ta feuille le score à l'exercice.



Remarque : il existe sur la toile un outil très pratique qui permet de vérifier (les faire faire, ça ne développe pas vraiment les muscles dans la boite en calcium !) des calculs littéraux
C'est ici :

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/maths-en-poche/troisi-mes/calculer-avec-wims.jpg
cliquer sur l'image


Pour l'ensemble des exercices de cet ensemble
(ici je n'en ai donné qu'une partie)
 

1. Réduction de produits
2. Réduction de sommes
3. Distributivité
4. Développer, réduire
5. Equations de type ax+b=0


geombre

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