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10 décembre 2007 1 10 /12 /décembre /2007 20:28
La suite des dessins qui suivent
et qui sont obtenus en faisant "bouger"* l'un des sommets d'un quadrilatère
semble mettre en évidence une certaine discontinuité au niveau de la figure.

Partant de la figure connue de tous :

quadrilatère et continuité


Déplaçant le point C, on obtient la figure suivante
qui reste dans le domaine du convenable
pour un membre de cette respectable famille.
quadrilatère et continuité

Comme dirait cet homme qui tombait du 125ème étage d'un building en passant devant la fenêtre du 50ème étage
"Jusqu'ici tout va bien"**


C'est bientôt que cela se gâte, notamment avec ce que les astrologues (puis les astronomes) ont appelés une conjonction :

quadrilatère et continuité
Nous avons perdu notre figure qui semble, à moins d'une erreur de ma part, avoir déchût de sa condition de quadrilatère pour devenir un simple triangle (voir le protocole qui régit le monde des figures planes dans l'excellent "Flatland" de Edwin Abbott Abbott)*

Bien évidemment, la probabilité pour qu'un tel évènement survienne est nulle.
Pourtant elle se produit et occasionne la disparition du quadrilatère (dont la définition ne prend pas les précautions utiles du quadrangle****

La suite des déplacements du point C occasionne d'autres perturbations à notre quadrilatère.

quadrilatère et continuité
Qui oserait ici lui attribuer ce nom ?
(la somme de ses angles étant bien éloignée de ce que prédit la théorie)

Tout de même, lorsque C "va un peu plus loin" on retrouve ce que certains nomment un "quadrilatère croisé" *****


quadrilatère et continuité

Par la suite, les choses se gâtent à nouveau.

quadrilatère et continuité
Et encore pour C, un peu "plus bas"
quadrilatère et continuité



On retrouve ensuite un "quadrilatère croisé"
quadrilatère et continuité

Mais très vite, on retombe sur un cas, lui aussi absolument improbable, mais réel
quadrilatère et continuité
Pour lequel la figure dégénère

Il suffit de la montrer à un mathématicien et de lui demander de lui donner un nom pour s'apercevoir de la difficulté que constitue son identification.

Pas d'ADN chez les quadrilatères, leur origine ne peut se voir sur leur état final, surtout celui-ci. ******

Terminons avec le dernier cas d'évanouissement du quadrilatère au profit de l'apparence d'un triangle :

quadrilatère et continuité
On ne peut que louer les précaution de quelqu'un qui dirait que
"l'on ne doit pas tenter de définir ce qu'est une figure géométrique"



 * Au moyen d'un de ces logiciels de géométrie dynamique dont l'existence précède largement la maîtrise des sous-entendus (implicites)
** Ou certaines personnalités figées dans leurs certitudes et leur négation concernant le réchauffement planétaire.
*** Texte disponible ici Flatland, le texte en français
**** Ce qui n'empêche pas cette figure (le quadrangle) d'avoir les mêmes problèmes de discontinuité.
*****
et que d'autres contestent, lui trouvant plus de ressemblance (toujours cette histoire de continuité) avec une figure géométrique définie par cinq points, ou même six, lorsque deux d'entre eux s'en viennent à "se toucher".
****** D'autant que, même si les "bougeurs de points" existe et que l'on ne peut nier leurs productions, la notion d'histoire n'a pas de réalité pour une figure géométrique.


Bougiciel utilisé : l'excellent Déclic
la figure

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9 décembre 2007 7 09 /12 /décembre /2007 22:36
Calcul littéral somme

quand peut-on
simplifier/mettre en commun

http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/--de-ma-poche/calcul-litteral---somme.jpg

Règle des signes du produit

(avec le principe "quand on change UN élément d'un calcul
il ne peut donner le même résultat)


http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/--de-ma-poche/regle-des-signes-produit.jpg


Calcul littéral produit avec carré


http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/--de-ma-poche/calcul-litteral---produit---carre.jpg



Addition des fractions

pour vérifier que l'on additionne pas les dénominateurs
http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/--de-ma-poche/somme-de-fractions.jpg






réponses en cliquant sur les questions


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9 décembre 2007 7 09 /12 /décembre /2007 21:35
(en rapport avec la question de l'évaluation d'une copie)


Le thème du travail - utilisation des Identités Remarquables - n'est pas donné, les élèves ne savent donc pas qu'il faudra réinvestir ce qu'ils connaissent en rapport avec les trois identités remarquables

Le contrôle s'est déroulé en plusieurs phases :

1) Les élèves font les premiers exercices en situation classique de contrôle (sujet différent pour les élèves à Droite et à Gauche de la table)
http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/kevinc-copie-phase1.jpg

2) On effectue une correction partielle.
Trois exercices sont choisis (un par Identité Remarquable)

Les copies sont échangées (les élèves ayant répondu en vert, - consigne de l'année - ils corrigent en rouge en indiquant le nom du correcteur)
La correction type est écrite au tableau et comparée à la production sur la feuille.
La présence de quatre marqueurs de sens est évaluée par une croix (un point)
- La reconnaissance de l'identité remarquable
- Le résultat intermédiaire avant calcul
- Le résultat intermédiaire après calcul
- Le résultat final totalement simplifié
ce qui fait une note sur 8 (pour deux exercices corrigés)
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/juliench-copie-phase1-et-correction.jpg

3) Les élèves reprennent leur feuille et poursuivent l'exercice, ayant dès lors, tous les éléments de connaissance sur le fond autant que la forme, pour réaliser le travail (développement et réduction) demandé.




On voit sur les extraits de copies donnés le type de confusions qui perturbent ce type d'exercice.

Maîtrise approximative des calculs de base concernant
- les nombres relatifs (addition et multiplication)
- le calcul littéral
- l'utilisation du carré d'un nombre, notamment lorsqu'il s'agit  d'un produit

Difficulté de concentration sur la tâche, avec baisse de l'efficience au cours du temps.
Ou même résultats qui deviennent aléatoires, indépendamment des connaissances réelles de l'élève.
Le tout souvent lié à la fatigue due à la nouveauté de ce type de travail (complication et gestion de connaissances plurielles)

Quelques illustrations

http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/juliench-copie-phase2.jpg

On peut voir ici ce caractère aléatoire du traitement du carré d'une expression

Quand il s'agit de 2x ou de 8x dont il faut prendre le carré, Adrien* ne fait que partiellement le travail
il obtient donc
4x et 64x au lieu de 4 et 64
(on verra plus loin la proposition de remédiation qui lui est faite)

Pourtant, lorsqu'il s'agit de prendre le carré de
x alors Adrien fait une erreur d'une toute autre nature, puisqu'elle concerne le coefficient de x  

Au lieu de calculer 
1x x 1x   qui donne  
Il fait un calcul tout à fait différent de ce qu'il a fait auparavant puisqu'il obtient
2x
confusion entre le carré et le double qu'il n'avait pas fait jusque là, mais qui a une petite parenté apparente avec l'exercice précédent
(puisque le carré de 2 est aussi, c'est le seul cas, le double de
2 et qu'il fallait calculer (4x)

D'où la question posée sur sa copie :
http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/juliench-copie-remarque-question.jpg

Rien de bien stable dans ce devoir, le fond de l'affaire, à savoir la connaissance des
Identités Remarquables semble acquise, mais quasiment inutilisable au stade actuel de la maîtrise des règles de calcul concernant notamment le carré d'un nombre.

Autres confusions
http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/kevinc-des-transformations-fantaisistes.jpg

Ce qui est étrange à propos de cette copie, c'est que cette erreur ne sera plus faite par la suite lorsque l'Identité Remarquable aura été correctement donnée. (D'où l'utilité, à certains moments, d'une approche "très cadrée")

On voit ici une proposition de piste pour que l'élève démêle les connaissances à propos de calculs littéraux du type
quantité1 "fois" x - quantité2 "fois" 1
où la tendance naturelle de l'élève est de sommer pour obtenir
quantité 3 fois
x

comme si on pouvait factoriser x 
c'est à dire
comme si x était une unité commune

De façon générale, il est très utile à l'élève d'être outillé de petites procédures permettant de redécouvrir les règles élémentaires de calcul lorsqu'il n'en est plus certain

Ici, les questions
que font  17 - 4  ou  17 - 4x  ou 17x - 4 ou 17x - 4x
 doivent permettre de comprendre que pour les deux calculs du milieu on ne peut obtenir les résultats des deux calculs extrêmes
et donc, ni 21 ni 21x

De même les questions
que font 2 x 3 ou -2 x 3 ou -2 x -3 ou -2 x -3
doivent permettre de comprendre qu'aucun des calculs qui se suivent ne peuvent donner le même résultat
puisqu'à chaque fois un des nombres a été changé.

C'est le moyen pour un élève qui l'a oublié, de redécouvrir seul la fameuse règle des signes.

Pour finir, un exemple d'erreurs pour lesquels le travail à faire se situe ailleurs que sur le contenu lui-même
http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/identit-s-remarquables/kevinc-copie-phase2.jpg

Ce qui est fait n'est pas constant, de temps à autres, les priorités de calcul ne sont pas respectées.
C'est ainsi que

2
x 3x x 3 + 9 donne 2 x 3x x (3 + 9) c'est à dire 2 x 3x x 12)
oubliant les règles de priorité qui conduisent à effectuer les multiplications avant les additions

Pourtant, au dernier calcul, cette erreur n'a pas été faite !

Le travail à faire ici est similaire à celui qui est fait en EPS, lorsque l'élève ne peut courir plus d'un tour de piste sans avoir un point de côté
où sentir une grande faiblesse envahir tout son corps.

entraîner la capacité cardiaque ... ou son équivalent intellectuel.




* Nom d'anonymat

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7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 23:49
Le principe rappelle bien sur une identité remarquable connue des élèves de troisième :

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/brevet--l-mentaire/racine-carre-extraction---principe.jpg

On pourrait donc parfaitement utiliser cette technique pour mettre au contact l'élève de troisième avec cet exemple particulier de l'identité
(a + b)² = a² + 2ab + b²
lorsque a est un multiple de 10 inférieur à 100 et b un entier inférieur à 10


La règle s'en déduit directement :

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/brevet--l-mentaire/racine-carre-extraction---principe.jpg


Sur un exemple on a donc :

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/brevet--l-mentaire/racine-carre-extraction---principe.jpg



Remarque : Pour poursuivre la recherche des décimales dans le cas où le nombre n'est pas un carré parfait, on convertit le nombre en dixième ou centième ou ... selon la précision demandée.
(comme on le fait dans la division lorsque l'on "continue après la virgule".



Un exemple sur mathadoc ici
http://www.mathadoc.com/Documents/college/3eme/3racines/approche.PDF

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7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 21:22
grands nombres

On évoque de temps en temps la "preuve par neuf"

le plus souvent en rapport avec la multiplication.

Rarement cette méthode de vérification (approximative) est associée à l'addition et la soustraction.

Pourtant on peut parfaitement utiliser cette "preuve" (qui plutôt un davantage un indice) pour ces deux types d'opérations.

Extrait d'un manuel de mathématiques destiné à la préparation du Certificat d'Etudes Primaires.

Preuve par neuf et soustraction -lbtlr
104 437 fr - 101 538 fr = 2899 fr

La "preuve par neuf" utilise le fait que le reste de la division par 9 d'un nombre est égal à la somme de ses chiffres (si elle est inférieure à 9 si non on recommence jusqu'à obtenir moins de 9, si on obtient 9 c'est bien sur zéro)

Donc
le reste dans la division de 104 437  par 9
est celui de 1+0+4+4+3+7  (= 19) Donc celui de 1+9 c'est à dire 1

le reste dans la division de 101 538  par 9
est celui de 1+0+1+5+3+8  (= 18)
Donc celui de 1+8 c'est à dire de 9 donc 0
 
La différence des restes (1 - 0) (dans la division par neuf)
étant le reste de la différence (104 437 - 101 538 = )
(toujours dans la division par neuf)

Nous calculons le reste du résultat que nous avons obtenu  2899  dans la division par 9
c'est celui de 2+8+9+9 (= 28)
Donc celui de
2+8 (= 10) et donc 1

On trouve la valeur obtenue en faisant la différence des restes
(1 - 0) (dans la division par neuf)

La différence des restes est égale au reste de la différence
(toujours dans la division par neuf)

Nous avons donc un indice qui nous incite à penser
que notre soustraction est exacte.

On comprend vite pourquoi, ce procédé, pourtant parfaitement valide, est tout à fait abandonné, depuis que nous disposons des calculettes.

Tout de même, approcher son fonctionnement permet de mieux comprendre le principe de calcul du PGCD de deux nombres par la méthode des soustractions successives.


Pour terminer, quelques exercices donnés du livre, suite au chapitre sur les grands nombres (le premier du livre)

exercices de Certificat d'Etudes Primaires - Grands Nombres

On voit que parfois, les unités ne sont pas ... neutres.

On comprend qu'elles aient disparu quelques dizaines d'années des calculs.



* Dont Yanick Bonnet polytechnicien, directeur d'une grande école de chimie, disait qu'il assurait un niveau général suffisant (avec une langue) pour la plupart des formations professionnelles même actuelles

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5 décembre 2007 3 05 /12 /décembre /2007 17:33

Un petit travail de révision de la notion et des écritures possibles, autour d'une des identités remarquables.

Si tu fais ce travail, note tes réponses sur un brouillon
PUIS regarde la solution proposée en cliquant sur le dessin

(bien sûr, sans avoir réfléchi ta pensée sur une feuille*, cette correction ne te sert à rien**)

Un travail sur les identités remarquables
Autrefois on disait  "le rectangle de 7,5 et 4,3"
pour désigner
7,5 x 4,3
au lieu du "produit de 7,5 et 4,3"

http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/troisiemes/identit-s-remarquables/rectangle-de-deux-nombres---produit-de-deux-nombres---.jpg

Alors, il était plus immédiat de comprendre que
"le carré de 7,5" donne 7,5 x 7,5 c'est à dire "7,5 au carré"
et donc 7,5²   (= 56,25)

Un compromis serait de dire "le rectangle produit par (les longueurs de mesure)
7,5 et 4,3

Au moins jusqu'au moment où tout cela serait clair dans la tête. Alors on pourrait redire, en sous entendant ce qui est en vert et qui ne serait plus utile à la compréhension ce que l'on dit actuellement, c'est à dire :
le produit de a et b
dont chacun sait qu'il s'écrit
ab



* Ce qui est une des meilleurs manières de "réfléchir"
** Plus exactement pas plus qu'une séance de photo pour comprendre la sensation de nager

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4 décembre 2007 2 04 /12 /décembre /2007 09:34

Consignes : Lire la séquence et faire les exercices de Maths En Poche donnés à la fin.

(Commencer par les premiers le niveau de difficulté est donné par la couleur)

Pour commencer, cliquer sur l'expression http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/calcul-litt-ral/expression-1.jpg


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2 décembre 2007 7 02 /12 /décembre /2007 10:46
Pour pouvoir simplifier  l'écriture d'une expression où figurent des grandeurs inconnues,
                        comme par exemple

http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/calcul-litt-ral/expression-1.jpgIl faut comprendre le sens de ce
"J'ai trois fois la quantité comprenant
5 carreaux verts et 7 triangles verts
"

Une fois dit,
(à condition que toute la phrase rentre dans la tête)
 la quantité correspondante est plus visible
http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/calcul-litt-ral/expression-1.jpg


Pour un petit entraînement sur Maths En Poche
à propos de ce type de développement


5N4s3ex3 :
développements assistés
Développements du type 5(5+x) avec calculs intermédiaires. 10 questions.
Q1-q5 : additions
q6-q10 : soustractions.
5N4s3ex4 :
développements
Développements du type 5(5+x) sans calculs intermédiaires. 10 questions.
Q1-q5 : additions
q6-q10 : soustractions.
5N4s3ex5 :
réductions d'écritures littérales
Simplifications de sommes algébriques pour une même variable. q1-q5 : étapes intermédiaires,
q6-q10 : sans étapes.
5N4s3ex6 :
réduire (sans relatifs)
On doit regrouper et réduire des sommes algébriques. Q1-q7 : une seule variable,
Q8-q10 : 2 variables.
5N4s3ex7 :
réduire (sommes algébriques)
On doit développer une expression puis réduire. 10 questions.
A partir de q3, plus étape intermédiaire (mais un brouillon à disposition).
A partir de q9 : 2 développements.

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29 novembre 2007 4 29 /11 /novembre /2007 23:32
Extrait d'un vieux livre de géométrie pour 4ème, 3èmes, secondes et premières
mais assez abordable.

(L'intérêt de l'énoncé est qu'il est entièrement "en français")

Démontrer que dans un triangle rectangle, si un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double du plus petit côté.
Image:Triangle rectangle.png
Démontrer la réciproque de ce théorème.






Pourrait bien se retrouver en petit contrôle court
      comme entraînement à la démonstration      

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28 novembre 2007 3 28 /11 /novembre /2007 14:37
En rapport avec le devoir maison N° 3 de mes sixièmes que j'ai évoqué ici
Devoir Maison - introduction à la proportionnalité - des quantités et des prix

Je donne ici une remarque de Marguerite** qui est vraisemblablement dû à un échange enfant/parent.

http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/proportionnalit-/quand-le-prof-est-irrealiste-p.jpg

Ici on voit très bien les difficultés de la rencontre des préoccupations légitimes des parents (et parfois même d'autres "clients" de nos cours) avec les objectifs de l'enseignement des mathématiques, ici par exemple (préparer) la compréhension la plus fine possible de "la proportionnalité de grandeurs" qui passe nécessairement par une bonne perception des unités de mesure. (Et en particulier des "unités quotient" *)

Bien évidemment; l'unité €/kg, c'est à dire le "prix au kilogramme", est plus souvent utilisée dans la vie courante.

Mais comme le disait en classe Laurentine** qui a parfois des difficultés de compréhension (mais cherche toujours à comprendre ce qu'elle écrit ou entend)
en /kg c'est le prix que l'on paie en €uro pour un kilogramme
(Lisette** nous disait "le prix par kilogramme")
alors qu'en kg/ c'est la quantité que l'on peut acheter avec (pour) un €uro
(Lisette nous disait "La quantité par €uro")

un produit qui vaut 2/kg 
il coûte donc  2 par kg 
c'est un produit pour lequel on peut acheter 1kg pour 2
et donc, on peut en acheter 0,5kg/   
(puisque l'on paie 1
  pour 0,5kg)

De même (autre exemple donné ce jour et qui semble être bien passé)

Si je marche à 5km/h c'est que je parcours 5km en une heure
(Lisette** nous disait "la distance par heure")

Et donc que je mets une heure tous les 5km
c'est à dire un cinquième d'heure par kilomètre
soit 0,2h/km

Or, une demi-heure (0,5h) c'est 30 minutes
donc 0,1h = 6 minutes
et 0,2h = 12 minutes
d'où
0,2h/km
= 12 minutes/km

Si je marche à 5km/h
En une heure, je parcours 5km
pour un kilomètre, je mets 12 minutes



On voit ici que loin d'être irréel, ce rapport inverse de celui que l'on a l'habitude d'utiliser, a beaucoup de sens et aide à comprendre finement ce que signifient un prix au kilogramme ou une vitesse.

Ce qui m'a conduit à ajouter sur la copie, au-dessus du tableau où Marguerite donnait le calcul plus "réaliste" en /kg

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/proportionnalit-/quand-le-prof-est-irrealiste2b-p.jpg


(Marguerite a donné un second tableau, puisque celui-ci lui semblait "irréaliste" on peut le voir ici, avec ses conclusions :
Quand le professeur est irréaliste (sourire)² - annexe )

Chanceux, l'élève de sixième n'a pas encore ces "habitudes" il est donc plus souple et peut plus facilement aborder les différents rapports et leur donner du sens.


Ce sont bien évidemment là des préoccupations de professeur de collège.

Assurément, l'enseignement de BTS a d'autres besoins et objectifs, pour lui il n'est plus temps d'insister trop sur la compréhension fine des notions, il y a une commande précise, en rapport avec des savoirs faire liés à (plus ou moins fermés sur) un domaine professionnel précis, l'examen est en perspective, et le temps est compté.

http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/images/musette-mathematiques.jpg
Oui, chanceux élève de sixième, il a encore un peu le loisir d'observer ce qu'il enfourne dans sa musette !
D'ailleurs nombreux sont ceux qui ne s'en privent pas,
n'est-ce pas Nasrudin, Lisette et Laurentine ?




* Voir
http://www.ac-creteil.fr/svt/Doc/Com_scientific/vocab_svt_phy.htm#P3
et
http://www.irem.uhp-nancy.fr/Lomb/nb-concret.pdf
(chercher dans le document "unité quotient")
** Nom anonymisé

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