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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

2 janvier 2008 3 02 /01 /janvier /2008 13:51

 

(Suite de questions qui visent à s'approcher de la méthode de calcul du périmètre du cercle)

pour une figure un peu plus ancienne, cliquer sur celle-ci


(cliquer à chaque fois sur la réponse choisie)

 

-1-

Le cercle a pour diamètre ?
[AB] / [AD] / [OA] / [OD]

 

 

-2-

Le côté de l’hexagone régulier ABCDEF est égal
au rayon / au diamètre  du cercle

 

-3-

Le périmètre de l’hexagone vaut donc exactement  
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7   rayons

-4-
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres

 

-5-

Le côté du carré UVWX est égal
au rayon/ au diamètre du cercle

-6-
Le périmètre du carré vaut donc exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8  rayons
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8 diamètres


Si on compare le périmètre du cercle à celui du carré et de l’hexagone
on peut conclure que

-7-

périmètre du carré <> périmètre du cercle <> périmètre de l’hexagone

-8-

et donc que le périmètre du cercle est
supérieur à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7  diamètres
et
inférieur  à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres


Notre développement ne dépendait pas de la figure de départ (sa taille)

il est donc valable pour n'importe quel cercle.


Le nombre précis, toujours le même quelque soit le cercle,
qui permet d'obtenir le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre
que nous avons vu situé entre 3 et 4 est précisément le nombre

...



En regardant attentivement les figures on pourra "deviner" que ce nombre est beaucoup plus près de
3  que de  4 
une approximation (quelques centaines de décimales) est donnée ci-dessus.

 

pour quelques dollars décimales de plus cliquer ici : p

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25 décembre 2007 2 25 /12 /décembre /2007 00:00
Y a des symétries et des rotations

Joyeux Noël

et les voeux en plus

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23 décembre 2007 7 23 /12 /décembre /2007 16:13
De la sixième à la troisième diverses transformations sont étudiés

La symétrie (axiale) par rapport à un "axe" (par pliage sur cet axe l'image du point se retrouve "de l'autre côté")

Voir
sur les cahiers de Maths en Poche :

1
Vocabulaire et codage
2 Construction de points
3
Construction de figures
4
Propriétés
(dernière colonne : version openaccess du document)

Les exercices interactifs sur  Maths En Poche
 G1 : Symétrie axiale

La symétrie (centrale*) par rapport à un "centre de symétrie" (l'image du point se retrouve de l'autre côté de ce centre)

Voir
sur le manuel de Sésamaths à partir du Diaporama



Sur les compléments du
manuel de Sésamaths à partir du Diaporama

sur les cahiers de Maths en poche  à partir du Diaporama


Les exercices interactifs sur  Maths En Poche

La translation définie par un vecteur (déplacement) donné (l'image du point "bouge" suivant la direction, le sens et la distance définie par la flèche correspondant au vecteur de la translation)

Les exercices interactifs sur  Maths En Poche

La rotation définie par un angle et un centre (le point tourne autour de ce centre, de l'angle en question pour donner le point image)
voir par exemple sur  Maths En Poche



Pour les revoir et les comparer, le schéma ci-dessous propose un pot pourri de toutes ces transformations :

Un certain nombre de points génèrent une image par les différentes transformations données ci-dessus.

Il s'agit d'associer à chaque point ces antécédents successifs
pot pourri d'isométried
Il y a une translation, une symétrie axiale, et une rotation
(pas de symétrie centrale mais cette transformation revient à une rotation d'un angle plat, et l'exercice aurait été bien trop difficile)

Pour une petite aide, cliquer sur la figure.



* Ou "orthogonale"

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20 décembre 2007 4 20 /12 /décembre /2007 11:00
(mise à jour le 26 Décembre 2007 -
insertion du développement apporté en commentaire par Vlad

Voir en fin d'article)


Utilisons les probabilité pour approcher ce petit problème issu du quotidien :

M. Zairi reçoit, de la part de son opérateur téléphonique (Orange), son mot de passe pour le téléphone portable qu'il possède,

Ce mot de passe est salearabe

Quelle est la probabilité pour que ce mot ait été généré par le robot qui, d'ordinaire, distribue de façon aléatoire ces mots de passe ?




(solution simplifiée)
Considérant qu'il y a 26 lettres dans l'alphabet ainsi que les 10 chiffres arabes universellement utilisé dans le monde
il y a une chance sur 36 que le premier signe, le S, sorte de cette machine à hasard.
de même pour le second
ce qui donne 36 x 36 possibilités
le même raisonnement poursuivi jusqu'au 9ème signe du mot de passe conduit au résultat :

il y a une "chance" sur 369 pour que monsieur Zairi reçoive le mot de passe qui lui a été attribué

c'est à dire une chance sur  cent un milliards cinq cent cinquante neuf millions six cent soixante huit milles quatre cent seize (101 559 956 668 416)


Question subsidiaire : mécontent de ce choix déclaré le fruit du hasard par la compagnie Orange (initialement) monsieur Zairi peut-il gagner en justice contre cette compagnie qui déclare

"Orange prend ses responsabilités, dans la transparence la plus complète, et ne peut-être tenu entièrement responsable, de cette sombre affaire"


Cette question suppose de connaître la réponse à deux autres interrogations :
1) La responsabilité est elle une grandeur intensive ou extensive
dans le premier cas elle ne peut diminuer du fait d'un partage (comme la température)
(la moitié d'un litre à 50° n'est pas à 25° !)

2) La justice peut-elle entièrement reposer sur les probabilités ?


Dans l'attente des réponses en question, il n'est pas possible de donner une solution complète à ce problème.


Tentatives de réponses (par  Vlad)



1) La responsabilité pénale serait plutôt intensive: elle se partage à égal sans diminuer la peine (auteur comme co-auteur, complice comme auteur).

La responsabilité civile aussi, on dit être responsable "solidairement" du dommage causé, ce qui s'entend d'une responsabilité pour le tout, la victime pouvant s'adresser à l'importe lequel des auteurs pour obtenir réparation de l'entier préjudice (à l'autre ensuite de se retourner contre celui qui n'a payé pour solder le partage).
...mais d'un autre côté, l'appréciation de la responsabilité pénale étant pondérée par diverses variables (personnalité, antécédents), elle peut aussi pencher vers l'extensif. La responsabilité civile peut également être pondérée par le rôle de chacun dans la chaîne de causalité, modulo textes spéciaux.

Au cas d'espèce, la responsabilité pénale est toujours personnelle (auteur du mot de passe), mais la responsabilité civile pourra être partagée entre la société et son préposé, sans doute la discussion pourra elle porter sur la légèreté de celle-ci (absence de vérification des mots de passe) ou la malveillance de celui-là (comportement détachable de l'exercice normal des fonctions...).

2) Un vieux magistrat m'a dit un jour, il y a deux principes à retenir:

- Nul n'est censé ignorer la loi.
- Pas vu pas pris.

A n'en pas douter, les probabilités agissent sur le second, tandis que le premier appartient au domaine de la fiction juridique.

A ce sujet, les curieux pourront approfondir en lisant cet ouvrage intéressant Quand les juristes inventent le réel de Bernard Edelman.

Merci à Vlad pour ce retour qui enrichit l'article

Des précisions à propos des grandeurs extensives ou intensives


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16 décembre 2007 7 16 /12 /décembre /2007 16:15
Longtemps, à la suite d'autres et du fait de l'ordre dans lequel ces deux opérations sont enseignées
j'ai cru que la multiplication était plus difficile à concevoir que l'addition

C'est, me semble-t-il une lourde erreur.
(ne serait-ce que parce que la multiplication est une répétition d'addition identiques, donc qui permettent un raccourci)

Dans le dernier devoir concernant le calcul littéral (mais aussi lorsqu'on fait un devoir de synthèse mêlant des additions et multiplications de nombres relatifs) il apparaît très clairement que si la multiplication pose peu, voir pas de problème à des élèves de troisièmes, il en va tout autrement de l'addition.

Faisons un détour par la copie de Marguerite
où toutes les questions concernant la multiplication, que se soit écritures numériques ou littérales, ont eu des réponses exactes.

(La consigne était "simplifier le plus possible")

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/calcul/multiplications-diverses.jpg

Il en va tout autrement des additions
qu'elles concernent des unités simples comme le centimètre

copie additions simples - calcul littéral


ou qu'elles concernent des écritures littérales.

copie additions simples - calcul littéral

Ce qu'écrit Marguerite est très révélateur de la confusion dans laquelle elle se trouve vis-à-vis des additions qui ne concernent pas autre chose que des nombres abstraits.

On comprend pourquoi il était urgent de réintroduire les unités dans les calculs !

La somme de deux grandeurs est en effet un processus (en général* ) double
il s'agit d'abord de déterminer l'unité commune
puis d'additionner les quantités relatives à ces grandeurs.

qu'est-ce que l'addition de deux grandeurs ?
Lorsque Marguerite saura identifier l'unité commune, elle n'aura plus aucun problème avec la somme (ou la différence) dans des expressions littérales même complexe.

Plus encore, cette connaissance lui permettra de mieux comprendre et appliquer la factorisation
qui est précisément cette recherche d'une "unité" commune.

Dans certains cas, ce malaise vis-à-vis de l'opération complexe qu'est l'addition de deux grandeurs, crée un tel malaise chez l'élève qu'il se réfugie dans l'incompréhension et délivre des résultats aléatoires qui dépendent non plus d'une règle qui est appliqué régulièrement, mais des circonstances de la question.

C'est le cas dans la copie de Martine
qui procède tantôt d'une manière, tantôt d'une autre.

(rappel de la consigne :
"simplifier le plus possible")

http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/calcul/addition-et-unite-ac-.jpg

Ici assurément, un travail de fond est nécessaire pour éviter que Martine continue à avancer en aveugle dans les tâches qui lui sont proposées, restant toujours à l'extérieur de l'exercice, et fournissant des résultats un peu à la volée (il n'y a pas de reproche de ma part).





* Sauf dans le cas des nombres abstraits

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16 décembre 2007 7 16 /12 /décembre /2007 09:56
Ben a du mal avec l'addition des fractions simples

Pour ceux qui, comme Ben* ne savent pas additionner des fractions simples comportant des demis et des quarts, et n'ont pas intégré le principe qui est derrière la règle :


1) Il faut rappeler qu'une fraction N "sur" D est (assimilable à) une grandeur
                - dont la quantité y est le numérateur ( nombre)
                - dont l'unité est donnée par le dénominateur
                        (c'est son inverse, 1/D)

Or,
pour additionner deux grandeurs, il faut leur trouver une unité commune.


On ne peut donc additionner deux fractions que lorsqu'elles ont le même dénominateur.
Et bien sur, comme lorsqu'on additionne 2cm et 3cm
(on additionne donc des centièmes de mètres 1/100 m)
Le résultat sera également en cm (centièmes de mètres 1/100 m) et non en demi-centimètres (1/200 m)

L'addition des dénominateurs,** comme dans la copie de Ben est donc une erreur qui conduit à trouver la moitié du résultat juste (lorsqu'ils sont égaux)

C'est pour cette raison qu'il trouve ce curieux résultat où
un nombre "plus" lui même donne ... ce nombre
http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/fractions/quand-deux-fois-un-nombre-non-nul-egale-ce-nombre.jpg



Par ailleurs, chacun sait que deux demi-heures ne font pas une demi-heure, mais une heure !
Mais comprendre n'est pas savoir, aussi il faut apprendre et pratiquer la règle d'où le 2)



2) Il est nécessaire de retravailler activement cette règle.
Pour cela un passage par
Maths En Poche sur ce thème

Dans la partie consacrée au programme de sixième
(choisir N4 : Fractions)

1. Fractions égales
2. Simplification d'une fraction (tables)
3. Simplification d'une fraction


Dans la partie consacrée au programme de cinquième
(choisir
N2 : Nombres fractionnaires)

1. Règle d'addition et de soustraction
2. Même dénominateur
3. Dénominateurs multiples




Un détour peut-également être utile du côté de petites choses simples et élémentaires comme

Remédiation - fraction - page 01

(sous titré "je reviens dans un quart d'heure")

Notamment pour être capable de répondre à la dernière question qui a mis en échec (momentanément) Ben



Petit détour :
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/copies-d--eleves/troisi-mes/fractions/addition-de-fractions-pauline-paquot.jpg
sur sa copie, Pascaline* a d'abord fait l'erreur de Ben, puis a corrigé.

On voit tout l'intérêt de ne pas effacer ses essais, ici la progression est visible ... même si on ne peut connaître précisément l'origine de cette auto-correction.

Pascaline n'a pas eu la totalité des points à cet exercice.
En effet sa fraction n'est pas simplifiée.

Elle même doit d'ailleurs parfaitement avoir l'habitude de ne pas dire

"Je reviens dans deux quarts d'heure"
mais plutôt
...

je reviens dans deux quarts d'heure
.




* Nom d'anonymat
** A barrer également dans la tête.

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13 décembre 2007 4 13 /12 /décembre /2007 18:53
La vision dans l'espace est loin d'être en place lors de l'arrivée des élèves en classe de sixième.
D'où pour quelques uns certaines difficultés dans le tracé en perspective de solide même très simples comme le cube.

Exemple d'erreur très fréquente, qui montre bien la difficulté à "sortir du plan"

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/volumes/le-cube---une-erreur-frequente.jpg

(Pour cette raison, il vaut mieux commencer l'étude de ce type de volume, par le cas plus général du "pavé droit")


Il existe une méthode simple pour construire un cube en perspective*, c'est celle du "déplacement" (on dira plus tard "translation") d'un carré.

En effet, si ce carré est destiné à être la face avant du cube à tracer, il doit être exactement superposable avec la face arrière.

Il suffit donc de définir un déplacement de ce carré "un peu à droite et un peu vers le haut" pour obtenir les quatre autres points permettant de tracer le cube.

http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/volumes/pour-tracer-un-cube-en-perspective-.jpgOn peut se servir du quadrillage pour définir
le déplacement horizontal (à droite)
et le déplacement vertical (vers le haut)
des quatre points du carré de départ



Un conseil pour ce tracé (valable même en dehors de la méthode donnée)
Eviter l'angle de 45° pour la face de dessus (et donc de dessous)

c'est à dire éviter un déplacement égal, sur le côté et vers l'arrière
(on dira plus tard un vecteur d'abscisse et d'ordonnée égales)

L'image “http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/parall-l-pip-de-rectangle-et-cube/est-ce-un-cube.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.
Lorsqu'on trace la grande diagonale, l'oeil aurait tendance à, percevoir de faux alignements et même à retomber sur la perception d'une figure plane.
L'image “http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/parall-l-pip-de-rectangle-et-cube/est-ce-un-cube.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.
C'est beaucoup mieux ainsi la grande diagonale
ne "passe" pas par d'autres sommets.



*celle qu'utilisent les mathématiques à l'école primaire, au collège et au lycée

Remarque : en utilisant cette méthode, on peut également tracer facilement un parallélépipède (rectangle ou non)

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11 décembre 2007 2 11 /12 /décembre /2007 20:52


Tout d'abord, si tu penses avoir encore besoin de tester ta connaissance du vocabulaire des nombres relatifs.

Ce même vocabulaire qui est rappelé dans la méthode 1 de ton livre (clique dessus pour la version complète)


Maths en Poche - nombres relatifs methode 1 vocabulaire

Si c'est le cas, je te conseille d'aller faire un tour du côté d'Orléans et Tours
et d'y faire l'exercice (corrigé)

Nombres relatifs, vocabulaire, classement

Tu peux aussi faire un exercice de  Maths En Poche sur le même thème ici






La méthode 5 du livre concerne la comparaison de deux nombres relatifs  (clique dessus pour la version complète)

Nombres Relatifs - méthode 5 - comparer deux nombres relatifs

Si tu souhaites faire un exercice pour vérifier tes connaissances sur ce thème, alors cet exercice est pour toi


Tu peux aussi faire un exercice de Maths En Poche sur le même thème ici

Pour la totalité des exercices de Maths En Poche sur ce thème,
Maths en Poche - Nombres Relatifs - Comparer







La méthode 6 du livre concerne l'addition de deux nombres relatifs  (clique dessus pour la version complète)


Nombres Relatifs - méthode 6 - Addition de nombres relatifs

 
Pour t'entraîner un peu à l'addition des nombres relatifs et vérifier que tu sais appliquer la règle correctement et de façon constante, cette exercice devrait te convenir

Somme de deux nombres entiers relatifs

Tu peux aussi faire un exercice de Maths En Poche sur le même thème ici

Pour la totalité des exercices de Maths En Poche sur ce thème,
Maths en Poche - Nombres Relatifs - Additionner Soustraire




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10 décembre 2007 1 10 /12 /décembre /2007 23:11
Partie de reptyl - les rouges gagnent en cinq coups,

Sur cette partie de Reptyl, au cinquième coup, le joueur rouge l'a emporté, enfermant le joueur bleu dans un espace où il ne peut plus mettre qu'un seul de ses cinq pions.

Pour donner l'ensemble des coups de la partie par téléphone, on peut se servir des coordonnées des points sur lesquels les joueurs ont déposés leurs pions à tour de rôle.

Le début de la partie est ainsi



coup numéro Rouge Bleu
1 (5;1);(5;2);(5;3);(5;4);(5;5)
 
2    
3   Perdu

A toi de continuer ...

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10 décembre 2007 1 10 /12 /décembre /2007 22:21
Aujourd'hui, comme tous les Lundis je vais chercher les élèves de l'Atelier d'expression théâtrale à la sortie de la cantine (le service est très long et, commençant à 1heure les élèves qui font partie du groupe se débrouillent pour avoir fini un peu plus tôt)

Etonné, je vois l'ensemble des élèves du collège venir à ma rencontre,

Première explication :  "Quand ce n'est pas très bon, en général on sort plus rapidement"

Seconde explication : un extrait de ce qu'un élève avait dans son assiette.
Une partie de la mie de la tranche de pain a une couleur plus qu'étrange. Quant au fromage, la date indique qu'il est périmé et son aspect le confirme.
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/images/repas.jpg


Je pensais faire un énoncé de problème avec les données relatives à ces trajets, mais vraiment, je n'en ai plus aucune envie.


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/images/nourriture/dans-le-pain-.jpg http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/images/nourriture/date-de-fraicheur-.jpg


Il paraît qu'il y aura bientôt la possibilité pour les élèves de manger au collège même.
Le plus tôt sera le mieux.


Je me permets de relater les faits, parce que ceux-ci se sont reproduits plusieurs fois, et ont la plupart du temps été contestés, et n'ont jamais été pris en compte.

Les seuls faits rapportés ici sont avérés, les nombreux autres échos maintes fois confirmés ... nécessitent d'autres lieux pour qu'on puisse en faire état.

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