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Philippe Mercier

 

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4 février 2008 1 04 /02 /février /2008 19:15
Au collège la question de savoir si la conclusion contient toutes les solutions de la question commence à se poser .

Si l'on demande de trouver les nombres tels que :
"leur moitié augmentée de 2 soit inférieure à 3"

peut-on se contenter de dire

"c'est zéro"

et de vérifier qu'effectivement
0/2 + 2 < 3

?

Bien sur, cela ne suffit pas !

Mais alors, qu'est-ce qui manque dans notre manière d'arriver au résultat ?

Pour approcher cette interrogation
je propose de réponde à quelques question

Condition nécessaire condition suffisante condition nécessaire et suffisante
(clique pour agrandir la vue)

Ici, on se pose la question de savoir

"Quand la somme de deux nombres est-elle nulle ?"
Diverses propositions sont faites

1) "Quand les deux nombres sont nuls"

2) "Quand l'un est égal à -3 et l'autre à 3"

3) "Quand l'un est l'opposé de l'autre"


La proposition 1) est vraie
(alors que par exemple "les deux nombres sont égaux à 1" est faux)
Mais on peut avoir une somme de deux nombres nulle dans d'autres cas.
Donc cette condition n'est pas obligatoire.

Ainsi le cas donné par la proposition 2) convient aussi
puisque 3 + -3 donne effectivement un résultat nul 
Mais ici encore la condition donnée n'est pas obligatoire (en math on dit nécessaire) pour que la somme de deux nombres soit nulle.

En effet la proposition
2bis) "Quand l'un est égal à 4,15 et l'autre à -4,15" est vraie également.

Ce qui différencie la troisième proposition des autres
3) "Quand l'un est l'opposé de l'autre"
c'est que
si elle n'est pas vérifiée, alors ce que l'on désire
(que "la somme des deux nombres" soit "nulle" )
ne peut être vrai.

Nous avons trouvé avec 3) la condition minimale pour pour l'égalité
a + b = 0
soit vraie.

Pour que la somme de deux nombres soit nulle
il faut et il suffit
que l'un soit l'opposé de l'autre.

On voit ici que dans le cas de l'équation
a + b = 0

Il y a une infinité de valeurs qui conviennent
mais qui sont associées l'une à l'autre

a = 2 et b = -2 ; a = -0,142857 et b = 0,142857
...

La même étude des conditions pour qu'un produit soit nul conduirait à un nombre beaucoup plus réduit de solutions.

Mais tu peux voir cela seul(e)

Il s'agit de réfléchir aux conditions pour

a x b = 0

...

et tu obtiendras de même la condition minimale correspondante :

Pour que le produit  de deux nombres soit nul
il faut et il suffit
que ..................................


solution ici
(mais pas d'urgence,  tu la reverras plus tard)

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2 février 2008 6 02 /02 /février /2008 22:31
Si tu est un élève, tu peux passer cette introduction
et aller directement au tableau (sourire)²



Récemment, une élève disait tout haut ce que certains de ses camarades pensaient tout bas

"Je ne comprends  pas pourquoi quand on divise un nombre par lui-même on obtient un"

Conclure qu'il s'agit là d'une élève "mauvaise en maths" serait une grave erreur.

Ici nous sommes à la confluence de trois champs qui s'interpénètrent

Le langage (la phrase est complexe et l'identité du nombre avec lui-même ne va pas de soi pour un élève de sixième habitué à manier "de vrais nombres")
L'abstraction :  "un nombre" ne signifie pas facilement quelque chose quand on ne peut lui "coller un visage"

Et bien sur, la division, qui, à l'inverse des autres opérations n'est pas un simple mécanisme basé sur la connaissance d'une loi et de quelques résultats mémorisés (les tables d'addition ou de multiplication)
mais une question.
"En ... combien de fois (je peux trouver) ..."
c'est à dire
"quel est la multiplication par ... qui me donnera le résultat le plus prés de ..., par valeur inférieure"

En fait, cette question de l'élève, ce "je ne comprends pas" suivi de quelque chose de très précis, est un bon signe
C'est précisément l'indice du début de la mise en place d'une compréhension à propos de la division

Cette opération que moins de la moitié des adultes maîtrisent !

(un test  : combien fait 6/5 divisé par 3/10 ... sans calcul, c'est à dire, en compréhension *
Ou plus simplement combien fait 15/10 divisé par 5/100)

Quelques questions à propos des fractions
Quand on multiplie une fraction par son dénominateur on obtient son numérateur
Lorsque tu auras répondu mentalement,

clique sur le tableau pour avoir la réponse

Ou ici pour une version en couleur de cette correction


* Dans un cinquième il y a deux dixièmes, dans six il y a deux fois trois
le résultat vaut donc 4

** Si on divise 15dm par 5cm on obtient 30 (dans 3dm il y a 30 fois 5cm)

     15/10 m divisé par 5/100 m = 30

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2 février 2008 6 02 /02 /février /2008 22:17

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2 février 2008 6 02 /02 /février /2008 20:20
Voilà le sujet de contrôle que j'ai proposé à des élèves de troisièmes
(très similaire à un prochain contrôle court)
Contrôle au choix mathématique troisièmes

Comme c'est indiqué au tableau, ils avaient le choix.

Bien sur (c'est très souvent le cas) les élèves les plus faibles ont choisi la partie droite et ont donné des résultats plus qu'approximatifs.

La troisième est une classe d'orientation au cours de laquelle les élèves rempliront un dossier d'auto-évaluation.

Cette auto-évaluation commence devant la copie de maths
où l'on doit être conscient de l'exercice le plus adapté à son niveau.

Et non choisir, ici c'était souvent le cas, l'exercice qui semble le plus court.

Suite du contrôle

Contrôle au choix mathématique troisièmes

Des outils pour ce type d'exercice :

ici 
   http://labomath.free.fr/wims/index.html

notamment pour développer et factoriser



Merci de Laisser ce lieu propre en le quittant
Chiffon de tableau de maths

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1 février 2008 5 01 /02 /février /2008 23:44
Plus qu'une activité, c'est un passage direct à un exercice d'application, sur un thème qui ne nécessite pas vraiment d'énormes précautions, mais peut être abordé de façon frontale.

Une bonne occasion pour revoir le calcul numérique et le calcul littéral.

Les données du travail :

Figure
Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -
Les mesures

Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -


Le but de ce libre choix est de montrer, dans la mesure du possible, que le calcul "avec les x" est plus facile qu'avec des valeurs numériques précisées.



Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -

La suite naturelle concerne l'aire associée


Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -

Puis la comparaison des volumes des deux pavés droits.

Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -


Avec un peu de rigueur dans l'utilisation des formules permettant de faire ces différents calculs, les coefficients
3  (31) pour les longueurs
9 (32 ) pour les aires
27 (33 ) pour les volumes
est assez facilement trouvé par la plupart des élèves.

Ceux qui ont conclus un peu rapidement 3 pour les trois calculs, repèrent très rapidement leur erreur.

L'occasion d'illustrer cela sur un exemple qui engage davantage de calculs
(au choix)


Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -


Pour certains, l'exercice a été une redécouverte de la multiplication.

Il n'est jamais trop tard pour bien faire.

Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -

La première ligne de ce qui est écrit ici, correspond à dix minutes de travaux acharnés d'un élève au tableau.

La première difficulté ayant été de repérer les trois longueurs données

La seconde
de s'apercevoir que les autres longueurs se déduisaient de ces trois mesures

La troisième
de dénombrer correctement les ... 12 arêtes concernées par le calcul.

Maths Troisièmes - Agrandissement réduction - geombre -



Une fois en route (l'échauffement, il n'y a que ça de vrai) le même élève a vu la factorisation à effectuer pour alléger le calcul final.

A coeur vaillant rien d'impossible !



103
  excuses pour le léger flou de certains clichés

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30 janvier 2008 3 30 /01 /janvier /2008 09:39
Petit retour sur la symétrie centrale

sur  Maths En Poche

1. Conservation des longueurs
2. Conservation des angles
3. Longueurs et angles
4. Conservation du parallélisme et de la perpendicularité




Pour faire tes propres figures si tu as terminé

Utiliser Trace en poche en ligne

Je te propose les tracés suivants :

1 )
a)     un point que l'on nommera A
b)     un point que l'on nommera  B
c)     la droite qui passe par A et B
d)     un point que l'on nommera M
e)     le point qui est symétrique de M
        par rapport à la droite
(AB)
On le nommera M'



2)
a)     Place un point que l'on nommera N
b)    le point qui est symétrique de N
        par rapport à la droite
(AB)
On le nommera
N'

En déplaçant le point M (ou le point N)
tu peux vérifier que les droites
(MN) et (M'N') ont la même direction, c'est à dire restent toujours parallèles.

De même
en déplaçant le point A (ou le point B)
tu peux vérifier que les droites
(MN) et (M'N') restent  parallèles.

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30 janvier 2008 3 30 /01 /janvier /2008 09:05

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30 janvier 2008 3 30 /01 /janvier /2008 08:00
On effectue deux opérations successives à partir d'un nombre
la première est une multiplication par 3
la seconde est l'addition de -5

Quelle est la valeur d'arrivée si la valeur de départ est 
5 ; -9 ; 11 ; 3

Dans un premier temps, utilise  ce tableau



Quelle est la valeur de départ si la valeur d'arrivée  est 
15 ; -19 ; 1 ; 0

Utilise  ce tableau 
en transformant les formules qu'il contient


Tableau solution partielle (certains éléments sont à modifier)

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26 janvier 2008 6 26 /01 /janvier /2008 17:18
La maman de la petite Lisette lui demande d'aller à la boulangerie lui acheter des baguettes .
Un problème de baguettes ... et de monnaie
Elle lui donne un billet de 5 €uros en lui disant d'en acheter le plus possible et de garder la monnaie pour se payer des bonbons.

Quand elle connaîtra le prix d'une baguette, dans le calcul que
fera Lisette* pour savoir combien de baguette elle peut acheter avec ses 5€
quel est le résultat qui intéresse sa mère ?
quel est le résultat qui intéresse Lisette ?

Près de chez Lisette, il y a trois boulangeries, l'une vend le pain à 1,30€ et la baguette à 0,85€ , l'autre vend le pain à 1,35€ et la baguette à 0,80€, la troisième vend le pain à 1,30€ et la baguette à 0,75€.

Où ira Lisette si elle veut surtout faire des économies ?

Où ira Lisette si elle veut surtout avoir le plus monnaie pour ses bonbons ?



* Une Lisette qui ferait le maximum                          (sourire)²

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24 janvier 2008 4 24 /01 /janvier /2008 22:55
C'est un petit travail de réflexion ... pour se détendre

Il s'agit de tenter d'améliorer les coups qu'ont joués Morgane et Typhaine dans une partie


Morgane / Typhaine - Partie 001 

Reptyl - Morgane et Typhaine - Partie 01
cliquer sur l'image

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sur Reptyl ou ici sur Geombre

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