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Philippe Mercier

 

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2 avril 2008 3 02 /04 /avril /2008 06:00
Dans cette séance, je propose, de travailler à la reconnaissance de la représentation graphique d'une fonction affine.
(Je rappelle que les fonctions linéaires sont un cas particulier de ces fonctions)

Pour cela, nous allons utiliser
- Les propositions issues des travaux d'élèves
- un "grapheur" qui te permettra de tracer le graphe d'une fonction à partir de sa définition (écriture symbolique qui donne la valeur de l
'image en fonction de l'antécédent)


1) Tout d'abord, pour ouvrir le grapheur clique sur son image



* (note à propos de la fonction réprésentée)

2) Je te propose de vérifier si les graphiques donnés (Par Ch-E) correspondent bien aux fonctions définies à chaque fois.

Donne tes réponses en commentaire sous la forme

fonction 1 : juste (ou faux) ;  fonction 2 : juste (ou faux) ...



Fonction  1   de Ch-E




Fonction  2   de Ch-E

Fonction affine - fonction f2




Fonction  3   de Ch-E

Fonctions affines - fonction f4


Fonction  4   de Ch-E

Fonction affine - fonction f4



Fonction  5   de Ch-E

Fonction affine - fonction f5
Fonction  6   de Ch-E

Fonctions affines - fonction f6

3) Dans la méthode 3 du manuel Sesamath (ici)on t'indique comment déterminer l'image d'un nombre par une fonction définie par une formule.

L'exemple qui est donné est


Utilise le tableau ci-dessous pour calculer les images des nombres de -8 à 7




(clique sur le tableau pour le charger)



4) Vérifie ces résultats en utilisant le graphique de la fonction (obtenu à l'aide du grapheur précédent)
Attention :       pour écrire "carré de x" il faudra taper "x^2"




__________________________________________________
Maths en Poche Troisièmes : Chapitre Fonctions affines



*La fonction qui est tracée ici n'est, bien sur, pas une fonction affine
 elle correspond à la (famille de) fonction(s) de confiance de
Hélène
Fh :
Pour une rencontre positive, elle donne le double des points de confiance qu'elle a donné la fois précédente (à une rencontre positive).
La première fois elle donne 1 point.

(Quand une rencontre se passe mal, elle fait le contraire.)





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2 avril 2008 3 02 /04 /avril /2008 04:29
Dans cette séance, je propose, de travailler à la reconnaissance de la représentation graphique d'une fonction affine.

Pour cela, nous allons utiliser
- Les propositions issues des travaux d'élèves
- un "grapheur" qui te permettra de tracer le graphe d'une fonction à partir de sa définition (écriture symbolique qui donne la valeur de l
'image en fonction de l'antécédent)


1) Tout d'abord, pour ouvrir le grapheur clique sur son image



* (note à propos de la fonction réprésentée)

2) Je te propose de vérifier si les graphiques donnés (Par A-R) correspondent bien aux fonctions définies à chaque fois.

Donne tes réponses en commentaire sous la forme

fonction 1 : juste (ou faux) ;  fonction 2 : juste (ou faux) ...



Fonction  1   de A-R




Fonction  2   de A-R

Fonction affine - fonction f2




Fonction  3   de A-R

Fonctions affines - fonction f4


Fonction  4   de A-R

Fonction affine - fonction f4



Fonction  5   de A-R

Fonction affine - fonction f5
Fonction  6   de A-R

Fonctions affines - fonction f6

3) Dans la méthode 3 du manuel Sesamath (ici)on t'indique comment déterminer l'image d'un nombre par une fonction définie par une formule.

L'exemple qui est donné est


Utilise le tableau ci-dessous pour calculer les images des nombres de -8 à 7




(clique sur le tableau pour le charger)



4) Vérifie ces résultats en utilisant le graphique de la fonction (obtenu à l'aide du grapheur précédent)
Attention :       pour écrire "carré de x" il faudra taper "x^2"




__________________________________________________
Maths en Poche Troisièmes : Chapitre Fonctions affines



*La fonction qui est tracée ici n'est, bien sur, pas une fonction affine
 elle correspond à la (famille de) fonction(s) de confiance de
Hélène
Fh :
Pour une rencontre positive, elle donne le double des points de confiance qu'elle a donné la fois précédente (à une rencontre positive).
La première fois elle donne 1 point.

(Quand une rencontre se passe mal, elle fait le contraire.)





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1 avril 2008 2 01 /04 /avril /2008 12:40
Pas très compliqué, mais relativement long
et rédigé dans une formulation relativement non conventionnelle



Cliquer sur l'image pour obtenir le corrigé.

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30 mars 2008 7 30 /03 /mars /2008 22:08
Suite du travail précédement (ou pas)


1) Trace les deux triangles ABC et A'B'C' avec
trace en poche

A,B et C sont sur le premier cercle
A',B' et C' sont sur le second qui a le même centre (O)

T



2) Déplace les points jusqu'à ce que les deux triangles te semblent "de même forme"*.


3) Une fois que tu as toutes les mesures des côtés des triangles, reporte les dans un tableau sur ta feuille, puis sur un tableau open office calc que tu trouveras ici)


4) Essaie d'améliorer la "ressemblance" des triangles, en te servant de la proportionnalité des longueurs.

Il y a une méthode qui permet d'obtenir deux triangles très proches



Si tu as des difficultés avec la figure de départ,
voici un script qui te permettra de l'obtenir.


@options;

@figure;
  O = point( -1.5 , 0.27 );
  A = point( 2.6 , -2.47 );
  A' = point( 6.1 , -1.87 );
  ceOA = cercle( O , A )  { noir , 9 };
  ceOA' = cercle( O , A' )  { noir , 9 };
  B = pointsur( ceOA , 122.49 );
  B' = pointsur( ceOA' , 50.06 );
  C = pointsur( ceOA , -143.17 );
  C' = pointsur( ceOA' , -123.7 );
  polyABC = polygone( A , B , C  )  { rouge , 2 };
  polyA'B'C' = polygone( A' , B' , C'  )  { vertfonce , 2 };

@analyse;
AB = 9.64
BC = 7.23
CA = 8.05
A'B' = 8.57
B'C' = 15.76
C'A' = 12.77
angle(ABC) = 54.72 degrés


_______________________
* On peut traduire (nous l'avons déjà fait) par l'égalité de leurs angles.

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26 mars 2008 3 26 /03 /mars /2008 08:01

Des expressions pour modéliser le comportement d'un robot en fonction de l'attitude des personnages qu'il rencontre : La fonction de confiance

 


La première fois que Charles rencontre Bill la nuit est tombée depuis longtemps et il rentre chez ses parents.
Soudain, d'une entrée d'immeuble, il voit sortir un grand gars légèrement titubant qui portait dans les mains une batte de base ball.
(Charles ne connaissait pas Bill, il ignorait tout de son tempérament de blagueur)
C'est pour cette raisons que ce jour là, Charles attribua à Bill une valeur initiale (première impression) de
-100 pour sa "fonction de confiance".

Par la suite, à chaque fois qu'ils se rencontrèrent, Bill à eu l'occasion de rendre un service à Charles.

1)  Donne dans un tableau, les  valeurs de la fonction de confiance Fcb (de Charles à Bill) pour leurs dix premières rencontres.

Précision : quand une rencontre se passe bien, Charles redonne 30 points de confiance. Dans le cas contraire il soustrait ces 30 points.

Le tableau à utiliser se trouve ici


La première rencontre de Charles et de Hélène s'est tout aussi mal passée (encore une méprise à propos d'une plaisanterie mal comprise)
Hélène reçut la valeur
-150.  (première impression)

Par la suite, là aussi, Hélène à su montrer dans toutes les rencontres successives que l'on pouvait vraiment compter sur lui et lui faire confiance.

2) Donne dans un tableau, les  valeurs de la fonction de confiance Fch (de Charles à Hélène) pour leurs dix premières rencontres.

Précision : L'évolution des  fonctions de confiance de Charles est donnée dans la question précédente.

 

Le tableau à utiliser est le même que précédemment

La première rencontre de Bill et de Hélène s'est tout aussi mal passée (peut-être en rapport avec une différence de "look")
Hélène reçut la valeur
-212.  (première impression)

Par la suite, là aussi, Bill sut montrer dans toutes les rencontres successives que l'on pouvait vraiment compter sur lui et lui faire confiance.

3) Donne dans un tableau, les  valeurs de la fonction de confiance Fhb (de Hélène à Bill) pour leurs dix premières rencontres.

Précision : Bill a un maximum de confiance de 300 .
Quand une rencontre se passe bien, il redonne la moitié des  points de confiance qu'il manque pour parvenir à ce maximum.

(Quand une rencontre se passe mal,  il fait le contraire.)

 

Le tableau à utiliser est le même que précédemment


Lorsque tu auras rempli ton tableau, enregistre le dans ton répertoire
Tu lui donneras le nom  :  Fonctions de confiance1



4) Pour terminer, tu représenteras ces fonctions (la troisième est ici facultative) en utilisant Trace en Poche en ligne


Pour cela utilise la fonction mise en évidence sur cette illustration
Pour adapter l'échelle du repère, utilise la loupe.



Chaque valeur et son image sera représentée par un point
Nommés A0A1 ... A10 pour la première fonction
Nommés B0B1 ... B10 pour la seconde fonction
et
Nommés C0C1 ... C10 pour la troisième


Après ce dernier travail, tu déposeras le script de ta figure en commentaire à la fin de cet article. (Copie par Contrôle C puis collage par Contrôle V )



Pour davantage de précision dans le tracé et surtout au niveau des coordonnées des points (abscisses et ordonnées)
si tu connais l'expression qui permet de trouver la valeur de la fonction de confiance (y) en fonction du nombre de rencontres positives (x) tu peux également utiliser le traceur de Wim's qui se trouve
ici
(il faudra écrire * pour signifier la multiplication. Le graphique s'ouvrira dans une autre fenêtre lorsque aura donné l'expression de
y en fonction de x .)






Cette séquence prévue initialement en salle informatique a été réalisée en Classe
Pour ceux qui le souhaite, il est possible d'en avoir une réalisation plus fine en utilisant les moyens proposés ici.

 

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25 mars 2008 2 25 /03 /mars /2008 18:43
Nous avons déjà abordé la proportionnalité dans un devoir qui partait d'une enquête sur les prix en supermarché, et de leur traîtement (nombre d'€uro au kg, nombre de kilogrammes par €uro par exemple)


Ici nous allons revoir cette notion en partant de figures géométriques et montrer qu'elle est liée à la "forme"

Pour commencer, tu vas devoir tracer une petite figure sur Trace en Poche en ligne

Voilà son programme de construction


1) Place trois points que tu nommeras A, B et C

2) Trace le triangle ABC

3) Place deux points que tu nommeras A' et B'


à ce stade de la construction, avant de continuer, enregistre le script de ta figure (en utilisant la fonction que je montre sur l'illustration) dans ton répertoire personnel

Tu lui donneras le nom Triangle et proportionnalité 1





A partir de maintenant, tu ne dois plus modifier la place des points déjà placés

(suite de la construction)

4) Place le point C' tel que le triangle A'B'C' (trace le) ait la même "forme" que le triangle ABC (points dans le même ordre)


Ici aussi, avant de continuer, enregistre le script de ta figure (en utilisant la même fonction que précédemment) dans ton répertoire personnel

Tu lui donneras le nom Triangle et proportionnalité 2


Lorsque ce sera fait, utilise la fenêtre d'analyse pour connaître la mesure (en unités de l'ordinateur) de longueur des côtés des deux triangles

Aide toi de l'illustration ci-dessous.


Il suffit d'écrire l'égalité recherchée (par exemple AB = ) et d'appuyer sur la lettre grecque que désigne le curseur de la souris, pour obtenir le résultat.

Une fois que tu as toutes ces mesures, reporte les dans un tableau sur ta feuille, puis sur un tableau open office calc que tu trouveras
ici

Dans ce tableau, il y a une ligne de calcul qu'il faudra effectuer.

Plus les résultats que tu obtiens dans les trois cases de la ligne 10 sont voisins, et plus tes deux triangles ont une forme proche (c'est à dire des angles de mesures voisines)

Lorsque tu auras rempli ton tableau, enregistre le dans ton répertoire
Tu lui donneras le nom Tableau triangle et proportionnalité 1

Recopie les valeurs de ce second tableau sur ta feuille.

Il est possible que les résultats du tableau t'indiquent que tes deux triangles sont en fait assez différents d'aspect.
Pour améliorer ton résultat, modifie la position du point C'
(il t'est interdit de toucher aux autres ... ce ne serait pas de jeu !)

Tu pourras t'aider de la valeur des angles comme je l'ai fait sur mon dessin, pour t'approcher au plus près. (outil rapporteur)




Bien sur, il suffit de vérifier deux angles puisque
"La sommes des angles d'un triangle .... .... .... ...."
(termine cette phrase et copie la sur ta feuille)
Lorsque tu auras obtenu un triangle A'B'C' "plus semblable" à ABC,
reprend le travail que tu as fait sur le tableur
et vérifie la qualité de ce progrès.



Quand ton tableau sera terminé, enregistre le dans ton répertoire
Tu lui donneras le nom Tableau triangle et proportionnalité 2

Recopie les valeurs de ce second tableau sur ta feuille.


Pour terminer,
copie le script de ta figure TRACE EN POCHE en commentaire dans cet article.





Pour dépanner : le script de la figure donnée en illustration : ici

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24 mars 2008 1 24 /03 /mars /2008 20:55
C'est à l'occasion de l'introduction de nouveaux "objets" (ici les "racines carrées" ) que l'on peut mesurer à quel point les opérations fondamentales (4 opérations) sont ou ne sont pas solidement acquises.

Un exemple parmi tant d'autres sur la copie de Xavier*

Dans ce travail, tout commence assez bien :


Cette distribution de la multiplication aux deux termes additionnés dans la parenthèse semble être bien comprise.

L'exercice suivant annonce que cela se complique dans la tête de Xavier



Par la suite il est clair que le sens d'une partie des calculs n'est pas compris.



De  la suite de multiplication soulignée en rouge, dont Xavier a montré plus haut qu'il avait parfaitement compris le sens
(on voit ici l'utilité pour l'élève ... et son prof, d'écrire les étapes)
il finit par sortir une addition
! f

Ici, quelque chose a déstabilisé la compréhension que Xavier avait des multiplications successives.

On peut en effet penser qu'il ne se serait pas trompé sur le calcul
3x x 2

Ci-dessous, la proposition de correction, qui souhaite mettre sur la piste de ce que signifie l'expression sur laquelle Xavier a buté.
(merci pour d'autres suggestions éventuelles)

Car, bien sur, il n'est pas très grave de faire une erreur, si on dispose des moyens pour vérifier, et reconstruire (retrouver la piste) le résultat juste.





* nom d'anonymat

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23 mars 2008 7 23 /03 /mars /2008 00:17

L'ensemble de la construction suit un programme précis.

Quelques points ayant UN degré de liberté (sur une droite).




La question est :
Comment est définit le lieu de point en rouge sur la figure

C'est à dire
- à quel point correspond-il ?
- quel est le point qui est "déplacé" pour que l'on obtienne cette trace ?
- quelles sont les relations qui lient les différents points de la figure entre eux ?
 sachant que les points A0 et A1 sont les seuls totalement libres



Au delà de ce problème relativement simple
et qui pourrait n'avoir que peu d'intérêt pour un certain nombre d'entre ... nous

une petit remarque qui a son importance

La même construction sur Trace En Poche donne
un tout autre lieu pour le point A3



Etrange, n'est-il pas ?

Que faut-il en conclure ?

A minima, que l'objectivité des bougeurs de points est une illusion,
et que certaines conventions invisibles modifient sensiblement les résultats obtenus, notamment lorsqu'il s'agit de figures non totalement contraintes.

Le monde virtuel serait-il truffé d'implicites
qui feraient peser sur nous des contraintes invisibles ?



Pour vérifier de visu

ici le fichier déclic
(il faut posséder le logiciel,
ou le charger ici )

et ci-dessous le script Trace en Poche



@figure;
  A0 = point( -2.4 , -0.9 );
  A1 = point( 2.7 , -0.73 );
  sA0A1 = segment( A0 , A1 );
  I1 = milieu( sA0A1 );
  perpA1sA0A1 = perpendiculaire( A1 , sA0A1 );
  ceA1I1 = cercle( A1 , I1 );
  B1 = intersection( perpA1sA0A1 , ceA1I1 , 1 );
  B = intersection( perpA1sA0A1 , ceA1I1 , 2 );
  h_A1 = homothetie( A1 , 2 )  { noir };
  B' = image( h_A1 , B );
  dB'I1 = droite( B' , I1 );
  A2 = pointsur( dB'I1 , 1.92 );
  sA2A1 = segment( A2 , A1 );
  I2 = milieu( sA2A1 );
  perpA2sA2A1 = perpendiculaire( A2 , sA2A1 );
  ceA2I2 = cercle( A2 , I2 );
  C1 = intersection( perpA2sA2A1 , ceA2I2 , 1 );
  C = intersection( perpA2sA2A1 , ceA2I2 , 2 );
  h_A2 = homothetie( A2 , 3 )  { noir };
  C' = image( h_A2 , C );
  dC'I2 = droite( C' , I2 );
  A3 = pointsur( dC'I2 , 1.56 );
  J = lieu( A3 , A2 )  { rouge };


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19 mars 2008 3 19 /03 /mars /2008 10:42


Un travail de tracé et de correction sur Trace en Poche


I ] J'ouvre Trace en Poche en ligne , dans un nouvel onglet

1) Je place trois points que je nomme A , B et C

2) Je trace la droite (AB)

3) Je place D symétrique de C par rapport à (AB)


4)
Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article



Une fois que le commentaire est publié, les élèves de la classe peuvent
- recopier le script d'un de leurs camarades dans leur session de
Trace en Poche
- juger du résultat
- émettre un commentaire en retour avec correction des erreurs du script (à partir de leur propre figure tracée)




5) Je copie le script du camarade dont je dois vérifier le travail, dans Trace en Poche .

6) Je corrige les erreurs éventuelles de la figure

7) Je propose cette correction en commentaire.



II] Tracé d'un Cerf-Volant

1) (repartir à zéro sur Trace en Poche ) Je place les points A , B et C

2) Je Place le point D tel que  ABCD soit un Cerf-Volant  

3) Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article


III] Tracé d'un Losange

1) (repartir à zéro sur Trace en Poche ) Je place les points A , B et C

2) Je Place le point D tel que  ABCD soit un Losange

3) Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article



une proposition de solution
  A = point( -5.03 , 2.63 );
  B = point( 0.1 , 1.9 );
  ceAB = cercle( A , B );
  C = pointsur( ceAB , 299.99 );
  ceBA = cercle( B , A );
  ceCA = cercle( C , A );
  sBA = segment( B , A );
  D = intersection( ceBA , ceCA , 1 );
  sBD = segment( B , D );
  sDC = segment( D , C );
  sCA = segment( C , A );




Tu peux maintenant passer aux exercices de construction plus guidés
sur
M aths E n P oche ,

1. Constructions de losanges
2. Constructions de rectangles
3. Constructions de rectangles (bis)
4. Construction de carrés
5. Cerf-volant (Tracenpoche)
6. Cerf-volant par les diagonales (Tracenpoche)
7. Rectangle par les diagonales (Tracenpoche)
8. Losange par les diagonales (Tracenpoche)
9. Carré par les diagonales (Tracenpoche)

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19 mars 2008 3 19 /03 /mars /2008 09:02
Je te propose aujourd'hui une séance consacrée au calcul numérique.

Ces calculs concerneront les nombres relatifs.


Pour commencer un petit travail sur un tableau de calcul
charger le document de travail, clique ici






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