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Philippe Mercier

 

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26 mai 2008 1 26 /05 /mai /2008 15:20
Je te propose de tracer des figures d'un certain genre en imposant l'aire qu'elles doivent avoir

Pour cela, tu utiliseras
TracenPoche

Tu donneras le script de ta figure en commentaire de cet article.


1) Un rectangle non carré dont l'aire vaut 24 u²  (u : unité)

2) Un  carré dont l'aire vaut 36 u² 

3) Un Triangle  dont l'aire vaut 14 u²

4) Un Triangle  non rectangle dont l'aire vaut 17 u²

Après quelques essais, tu t'es peut-être rendu compte qu'il valait mieux écrire les coordonnées des points directement dans le script de Trace en Poche
plutôt que de "bouger" les points

tu as bien raison (sourire)²  !
c'est la bonne méthode de construction


Continue comme cela.


5) Un cercle  dont l'aire vaut plus de 48 u² et moins de 54 u²
 le carré dans lequel le cercle est inscrit et le
Dodécagone régulier qui est inscrit à l'intérieur du cercle.
un dodécagone régulierPour un coup de main clique sur la figure





à voir aussi : un chapitre sur les polygones

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25 mai 2008 7 25 /05 /mai /2008 21:01
Dans  Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose
nous avons défini les contours de la recherche
Pour résumer : il s'agit de découvrir toutes les surfaces qui, si on les plie sur elle-même (ce qui suppose un axe de symétrie) conservent leur forme générale
(c'est à dire leurs proportions*)

Au cours des autres étapes de notre travail, nous sommes parvenus à montrer que la figure en question était nécessairement un polygone et qu'il y avait trois manières de le partager en deux parties égales.

En fait, je t'ai laissé compléter des questions dont je vais donner ici la réponse :

(avec les réponses)

Il y a trois manières de découper un polygone


En joignant deux de ses sommets.

Bien évidemment, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable. Le nombre de ses côtés doit être pair,
puisqu'il doit y en avoir autant des deux côtés du pli.


On fait alors "apparaître" un segment supplémentaire (le pli, axe de symétrie)
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura    (n+1)/2  côtés



On peut aussi joindre un des sommets au milieu (pour que les deux parties soient superposables) d'un des côtés (en fait, il faut que ce soit le côté opposé)



Ici aussi, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable.
Le nombre de ses côtés doit être impair
puisque
l'un des côté étant coupé en deux parties égales, cela signifie que le nombre de côté plus un est pair.


Dans ce cas
on fait "apparaître"  2   segments supplémentaires, le pli, et un segment qui naît du partage d'un des côtés.
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  (n+2)/2  côtés



Dernière possibilité
On peut aussi joindre un des milieux d'un côté au milieu du côté opposé.


ici, pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable, le nombre de ses côtés doit être pair (explication : voir réponses précédentes)

Dans ce cas on fait "apparaître"
4   segments supplémentaires, le pli, et deux segments qui naîssent du partage de deux côtés du polygone.
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  (n+3)/2 côtés


Mais alors, pour que la figure de départ "ressemble" à la figure d'arrivée (pliée) il faut déjà qu'elles aient toutes les deux le même nombre de côté !

D'où les trois possibilités qui découlent des trois cas donnés précédemment

1)




n pair et  (
la somme des côtés des deux figures superposée est (n+1)+1)
(n+2)/2 = n
d'ou
n+2 = 2n
n = 2


2)




n impair et  (la somme des côtés des deux figures superposée est (n+2)+1)
(n+3)/2 = n
d'ou
n+3 = 2n
n = 3


3)




n pair et  (la somme des côtés des deux figures superposée est (n+3)+1)
(n+4)/2 = n
d'ou
n+4 = 2n
n = 4

La première solution ne correspond pas à un polygone
(il n'existe pas de polygone à deux côtés)

La seconde donne un triangle

La troisième donne un quadrilataire


Il n'y a pas d'autre figure plane qui satisfasse la condition
"forme identique par pliage sur elle même"

Il reste maintenant à voir si un triangle convient effectivement
ainsi qu'un quadrilatère

(on sait que pour que la condition soit vérifiée,
l'existence d'un axe de symétrie est nécessaire
)

...
(à suivre)





Merci à AxS/Natsume pour avoir signalé une erreur d'étourderie  (il y en a certainement d'autres)

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23 mai 2008 5 23 /05 /mai /2008 15:29
Dans  Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose
nous avons défini les contours de la recherche

Pour résumer : il s'agit de découvrir toutes les surfaces qui, si on les plie sur elle-même (ce qui suppose un axe de symétrie) conservent leur forme générale
(c'est à dire leurs proportions*)

Je vais, avant de reprendre le cours de la réflexion à partir de notre dernière avancée
 (
Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose (2))
revenir sur la nature de cette surface (ce qui est possible d'après l'énoncé).

J'ai supposé très vite, sans le démontrer (et personne n'a rien objecté (sourire)²) qu'il s'agissait d'un polygone.

Peut-être faut-il tout de même justifier ce point ?

Commençons par nous interroger sur la présence d'un seul côté droit

Lorsque la figure a été pliée, elle possède nécessairement un côté droit (segment de droite) à savoir, la marque du pli.

Si elle a conservé sa forme, c'est qu'elle en possédait déjà un !
(sinon une partie d'elle-même qui était courbe est devenue droite)



Mais alors, peut-elle n'avoir qu'un seul côté droit ?

Pas vraiment !
Car alors l'axe de symétrie serait perpendiculaire à ce côté
et en la pliant, un second côté droit "apparaîtrait"

(or, comme on dit que la surface conserve sa forme par pliage ...)

Mais, que peut-on dire de la partie courbe ?
Si elle existe, alors l'axe de symétrie la partage en deux parties.

Trois dessins pourront donner une idée de ce qui se passe au niveau du partage de la courbe en deux parties




Une courbe ne peut pas être proportionnelle à sa moitiée
(une démonstration plus complête sera donnée ultérieurement, ici elle alourdirait un peu la recherche)


On voit que nécessairement, pour satisfaire à nos exigences, la surface de départ doit être limitée par un polygone (convexe)
et n'a donc aucune partie courbe.


On peut maintenant s'interroger sur le nombre de ses côtés.

Il y a trois manières de découper un polygone


En joignant deux de ses sommets.

Bien évidemment, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable. Le nombre de ses côtés doit être .... (?)


On fait alors "apparaître" un segment supplémentaire
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  ....(?) côtés



On peut aussi joindre un des sommets au milieu (pour que les deux parties soient superposables) d'un des côtés (en fait, il faut que ce soit le côté opposé)



Ici aussi, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable.
Le nombre de ses côtés doit être .... (?)


Dans ce cas
on fait "apparaître" ... (?)  segment(s) supplémentaire(s)
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  ....(?) côtés



Dernière possibilité
On peut aussi joindre un des milieux d'un côté au milieu du côté opposé.


ici, pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable, le nombre de ses côtés doit être .... (?)

Dans ce cas on fait "apparaître" ... (?)  segment(s) supplémentaire(s)
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  ....(?) côtés


Mais alors, pour que la figure de départ "ressemble" à la figure d'arrivée (pliée) il faut déjà qu'elles aient toutes les deux le même nombre de côté !

Nous voilà avec une condition qui va beaucoup limiter le type de polygones possibles.
...
(à suivre, notamment pour les réponses aux questions posées ici)



* Sont vues comme "d'un peu plus loin"

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22 mai 2008 4 22 /05 /mai /2008 13:31
Je te propose un travail autour du cercle et en particulier du calcul de son périmètre et de son aire


 
Pour commencer, un petit travail sur le Matou Mateux
Le chien fait le tour de son domaine pour découvrir le nombre pi.


Continue maintenant par des exercices concernant
l'aire et le périmètre associés à un cercle
sur
Maths En Poche



1. Aires ou périmètres (valeurs approchées)
2. Aires ou périmètres (valeurs exactes)
3. Déduire le rayon de l'aire
4. Connaissant l'aire ou le périmètre


Méthode sur la manuel Sesamath  : ici

Si tu as terminé

5. Tangram

te propose d'utiliser un jeu en liaison avec le calcul d'aires.

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21 mai 2008 3 21 /05 /mai /2008 09:28
Grâce au travail de  Bruno Kostrzewa  ,  tu vas pouvoir observer les patrons de quelques volumes connus
les déplacer dans l'espace (en perspective*) et même voir comment on peut les assembler  (pliage, dépliage)



Clique sur l'image pour commencer


On peut saisir la figure avec la souris et la faire "bouger" à l'écran.



* Donc à plat !

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21 mai 2008 3 21 /05 /mai /2008 08:19
Pour te mettre en forme, je te propose un petit travail préalable chez Dep23

Clique sur l'image pour commencer


Maintenant tu devrais être prêt pour travailler sur les aires
en utilisant dans chaque cas la formule qui convient.


sur Maths En Poche



1. Aire du carré et du rectangle
2. Aire du triangle rectangle
3. Calculs d'aires
4. Assemblages
5. Conversion des unités d'aire
6. La bonne unité


Petit lexique des formules
merci Bruno Kostrzewa




Une fiche de Sesamath pour t'entraîner
(vivement qu'ils éditent un véritable livre)

Clique sur l'image pour la charger



Un exercice sur le site Euler

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19 mai 2008 1 19 /05 /mai /2008 17:48
suite de  Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose

De cette figure que Thibault tenait dans la main, nous ne savons rien, si ce n'est qu'il s'agit d'un polygone convexe.

Nous ne connaissons donc pas le nombre de côtés de cette figure.

La première question que l'on peut se poser est précisément à propos de ce nombre de côtés.

Si je découpe en deux parties (égales  puisqu'elles sont superposables) un polygone, est-il possible que ces deux figures aient  ( toutes les deux ) le même nombre de côtés que la figure de départ ?

Petite remarque préalable, il y a plusieurs manières de découper (ou plier) un polygone.
(en fait, il y en a trois que je te laisse découvir)


Celle-ci en est une


Pour cette partie de l'étude, il est possible de réfléchir sur une figure de 
TracenPoche
(ouvre Trace en poche dans une nouvelle fenêtre)


(le script est sous la figure.)




script de la figure

  A = point( -4.23 , 2.63 )  { car+3 };
  B = point( 0.87 , 3.5 )  { car+3 };
  polyABCDEFGH = polygone( A , B , C , D , E , F , G , H  )  { rouge };
  C = point( 3.7 , -0.3 )  { car+3 };
  D = point( 2.27 , -3.73 )  { car+3 };
  E = point( -1.37 , -4.37 )  { car+3 };
  F = point( -4.97 , -3.53 )  { car+3 };
  G = point( -7.7 , -0.8 )  { car+3 };
  H = point( -7.03 , 1.53 )  { car+3 };
  P1 = pointsur( polyABCDEFGH , 1.48 )  { rougefonce , car+1 };
  P2 = pointsur( polyABCDEFGH , 4.52 )  { rougefonce , car+1 };
  dP1P2 = droite( P1 , P2 )  { rouge };


suite ici
http://www.geombre.com/article-19823741.html

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19 mai 2008 1 19 /05 /mai /2008 15:15

Je te propose aujourd'hui un travail autour de la notion de fréquence

Mais avant de commencer voici un exercice préparatoire



Clique sur l'image pour commencer
et choisit cet exercice dans le choix proposé



Maintenant tu devrais être prêt ...


sur Maths En Poche

 

1. Effectif
2. Classe
3. Fréquence
4. Fréquence (tableau)
5. Fréquence en pourcentage
6. Fréquence en pourcentage (tableau)
7. Vocabulaire (synthèse)





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19 mai 2008 1 19 /05 /mai /2008 00:04
(Une annonce un peu prématurée peut-être ?)

Le lien entre Musique et Mathématiques a fasciné des siècles d'érudits. Pythagore* découvrait il y a plus de 2000 ans que les intervalles musicaux plaisants pouvaient être mis en relation avec des fractions simples.

Aujourd'hui, Clifton Callender de la Florida State University, Ian Quinn de Yale et Dmitri Tymoczko de Princeton, trois professeurs de musique présentent une nouvelle manière d'analyser et de classifier la musique à partir des mathématiques. Le trio propose une méthode appelée "Théorie géométrique de la musique" qui regroupe par "famille" les séquences de notes. Ils ont mis au point une méthode associant ces familles avec des structures mathématiques formées de points dans des espaces géométriques complexes

Différentes façons de classifier la musique produisent différents espaces géométriques et reflètent les différentes manières dont les musiciens ont compris la musique au cours des siècles. Ce procédé permettra, espèrent-ils, aux chercheurs d'analyser et comprendre la musique plus profondément. Leurs travaux représentent un point de départ majeur dans la quantification de la musique selon Rachel Wells Hall du Department of Mathematics and Computer Science de la St Joseph's University de Philadelphie. Elle ajoute que cette avancée "est marquante de par le large spectre de ses applications musicales et compte tenu de la profondeur de son contenu mathématique".

Cette méthode promet de fournir de puissants outils pour la conceptualisation de la musique permettant ainsi à de nouveaux projets de voir le jour. "On pourrait créer de nouveaux types d'instruments de musique, de nouveau jouets, de nouveaux moyens de visualisation de la musique, de nouveaux accords musicaux ou de nouveaux moyens d'apprentissage de la musique et d'autres conséquences pratiques pourraient suivre" affirme Tymoczko. Sa plus grande satisfaction étant de pouvoir observer la structure logique liant divers concepts musicaux différents.

"Nos méthodes ne sont pas faîtes pour reconnaître Aerosmith des Rolling Stones mais elles permettent de visualiser les différences entre John Lennon et Paul McCartney. Et vous pourrez voir ce qui lie la musique classique au rock et ce qui la différencie de la musique atonale" conclue Tymoczko.
* Les écrits de Platon sont plus précis

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/54348.htm

La musique modélisée par les mathématiques

 

Bien sur, on n'apprend pas grand chose dans cet article, à propos de cette méthode de modélisation géométrique de la musique, mais en attendant, il est toujours possible de lire précisément le commentaire de Platon fait par un ancien ingénieur des Mines auteur de "La leçon de Platon".

La partie du "Timé"  où le célèbre philosophe grec développe sa théorie de la musique, y est commentée avec moultes illustrations ... géométrisant la musique.



On y trouve d'intéressants développement concernant les fractions décimales et l'écriture décimale illimitée d'un quotient.


Ici, la roue de 22 qui donne les 22 restes possibles de la division de 1 par 23 (un son étant l'inverse d'un nombre ... la fréquence) ainsi que la période du nombre décimal correspondant.

C'est de cet ouvrage qu'est extrait la roue de 6 associé au nombre remarquable


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17 mai 2008 6 17 /05 /mai /2008 23:09
Thibault a dans la main une figure géométrique convexe



Il plie cette figure sur elle-même



et obtient alors une figure semblable à celle de départ

(semblable : qui a la même apparence, c'est à dire qu'elle pourrait être la première figure, vue d'un peu plus loin)


(bien sur, la figure proposée ne convient pas, puisqu'il est peu probable qu'elle donne, par pliage, la figure finale.
De même, le nombre de côtés est donné à titre d'exemple.)

Que peut-on dire de la figure que Thibault a pliée ?
(nombres de côtés, forme ...)


suite ici
http://www.geombre.com/article-19675407.html

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