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Philippe Mercier

 

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15 octobre 2008 3 15 /10 /octobre /2008 06:10

Je te propose de tracer deux figures qui vont nous servir pour des comparaisons d'aires

Pour cela, commence par ouvrir 
Trace en Poche  dans un nouvel onglet.

1) La figure ABCD est un carré.
    On connait les coordonnées de deux de ses points
A(-4;4)  et B(4;4)

    Place les autres points pour obtenir la figure 1
    et donne sur ta feuille leurs coordonnées

figure 1




2) A partir de la même figure ABCD
   
    Place les autres points de cette figure 2)
        et donne sur ta feuille leurs coordonnées

figure 2

Voir * pour une aide à la construction des figures

3) Sur la
figure 1 il y a deux carrés,
         calcule leur aire pour AB = 8cm et AE = 2cm
         
         Calcule la somme de ces aires.
   
4) Sur la figure 2 il y a un carré,
         calcule son aire pour AB = 8cm et AE = 2cm
(ici tu ne pourras pas faire le calcul direct, parce que tu ne connais pas la mesure du côté de ce carré. une petite astuce est indispensable)

5) Que remarques-tu ?
    Pouvait-on prévoir ce résultat ?
    Est-il vrai quelles que soient les mesures de AB et AE


* Aide :
les scripts des deux figures sont ici



   Pour voir une démonstration animée de cette propriété, des carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle, clique sur cette figure.

(attention le chargement est assez long)


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15 octobre 2008 3 15 /10 /octobre /2008 06:00
Dans cette séance, je te propose une activité qui part d'un carré et se propose de comparer les mesures de deux carrés, l'un étant déduit de la construction de l'autre.

A1A2A3A4 est un carré

Ecris tes réponses sur ta feuille en notant simplement le numéro de la question.
(Mais en faisant une phrase pour que l'on comprenne bien cette réponse)

Pour obtenir la figure, utilise 
Trace en Poche    (à ouvrir dans un autre onglet)
puis recopie le script suivant (au bon endroit)


@figure;
  A1 = point( -4 , 4 )  { fixe };
  A2 = point( 4 , 4 )  { fixe };
  A4 = point( -4 , -4 )  { fixe };
  A3 = point( 4 , -4 )  { fixe };
  sA1A2 = segment( A1 , A2 );
  sA2A3 = segment( A2 , A3 );
  sA3A4 = segment( A4 , A3 );
  sA1A4 = segment( A1 , A4 );
  A11 = milieu( sA1A2 );
  A12 = milieu( sA2A3 );
  A13 = milieu( sA3A4 );
  A14 = milieu( sA1A4 );
  sA14A11 = segment( A14 , A11 );
  sA11A12 = segment( A11 , A12 );
  sA12A13 = segment( A12 , A13 );
  sA14A13 = segment( A14 , A13 );


(on valide le script en cliquant sur le petit triangle sous le cadre du script)

1) D'après le script de la figure, que peut on dire des figures
A11A2A12 A12A3A13 A13A4A14 et A14A1A11    ?

2) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère A11A12A13A14 ?

Un carré peut être regardé comme un losange.
(Il a en effet 4 côtés égaux)
Image:Rhombus.svg

3) Tu peux donc calculer l'aire du quadrilatère A11A12A13A14 en utilisant la formule utilisée pour l'aire d'un losange.

(il y a un lexique en haut à droite de ce blog où tu trouveras la formule utile.)


D'après les dimensions de la figure, (regarde les coordonnées des points on suppose les mesures en cm) quelle valeur obtiens-tu  ?

4) Si c est la mesure en cm de la longueur du côté du carré A11A12A13A14 ,
que peut on en déduire pour ?

5)Si l'existe un nombre décimal dont la valeur est égale à c,  son chiffre le plus à droite peut-il être
un 1 ?
(pense à poser l'opération qui doit donner le résultat de )
un 2 ?
un 3 ?
un 4 ?
un 5 ?
un 6 ?
un 7 ?
un 8 ?
un 9 ?
6) Que peux-tu en déduire à propos de l'existence d'un nombre décimal tel que son carré serait égal à   ?



*



Il n'y a pas effectivement pas de notation décimale pour le nombre
c  ton manuel te donnera celle que l'on utilisera et qui permet de faire des calculs avec des nombres que l'on ne sait pas écrire de façon décimale.
(Notation qui s'ajoute à la notation fractionnaire et qui a ses règles de calcul particulières)


 

Tu es prêt à présent à faire quelques exercices de  Maths En Poche
concernant les racines carrées.

Première série :  Définitions Propriétés

                    1. Découverte, définition, notation
  2. Carré d'un radical
  3. Radical d'un carré
  4. Radicaux et additions ou soustractions (conjectures)
  5. Radicaux et multiplications ou divisions (conjectures)
  6. Radical et produit
  7. Radical et quotient



Seconde série : Calculs


                    1. Calcul mental
  2. Calculs liés à la définition
  3. Carrés de produits
  4. Carrés de quotients
  5. Radicaux complexes
  6. Radicaux et produits
  7. Radicaux et quotients
  8. Synthèse (produits et quotients)



*


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13 octobre 2008 1 13 /10 /octobre /2008 17:30


Nous avons poursuivi aujourd'hui l'étude des surfaces fractales commencées en classe et prolongées en séance sur ordinateur ( Puissance et fractals ) qui permettent de voir l'utilité des notations du type 815  ainsi que celle du développement d'expression telles que 
8(1n + 8b) 
(qui s'écrit aussi 8(n + 8b))

La surface que nous avons étudiée, nous la devons encore une fois au brillant mathématicien Waclav Sierpinski* dont nous avons déjà étudié le triangle.


Cette fois ci-il s'agit d'une figure dont la version 0 est un carrée
et qui est connue sous le nom de Tapis de Sierpinski

Voila les six première figures


 
1
  2
 
3
 
4
  
5
                                
6


Au tableau nous n'avons été (à main levée) qu'à l'étape 2
.

Mais sur leurs cahier, les élèves sont parvenus jusqu'à l'étape 3
en choisissant un carré de départ de 18 (côtés de) carreaux de côté

Ils ont ainsi obtenu une figure semblable à celle-ci



La suite du travail a montré que
dans certains cas,
le calcul permet d'aller où le tracé de figure géométrique
ne donne pas ce que l'on recherche.

Comme par exemple, le nombre de carré blancs et rouges
à la dixième étape.



Même pour compter les carrés à la troisième étape
le raisonnement est plus productif que le comptage du bout du doigt.

En effet on s'aperçoit qu'à chaque étape

un blanc donne ... huit blancs et un rouge
d'où
1b ---> 8b + 1r
ce qui permet d'affirmer que
à la première étape nous obtenons (à partir d'un blanc) 8b + 1r
à la seconde étape nous obtenons 8(8b + 1r) + 1r
chaque blanc de l'étape précédente devient huit blancs et un rouge
et donc 8x8b + 8x1r + 1r (par développement**)
c'est à dire 64b + 8r + 1r = 64b + 9r
à la troisième étape nous obtenons
64(8b + 1r) + 9r
qui donne de la même manière le résulat qui figure sur le tableau.

Pour la fois suivante,
les élèves ont à calculer les valeurs jusqu'à l'étape 10
et
à donner l'aire de la surface blanche
avec les dimensions de leur dessin.
(
le carré de dépar faisant 18 (côtés de) carreaux de côté)

Aide : tous les carrés blancs d'une étape ont la même dimension. Il suffit donc de calculer l'aire d'un seul et de multiplier par le nombre de carrés blancs.






* Dont Wikipédia écrit :

Trois fractales bien connues portent son nom :

* Méthode 3 calcul littéral
 k x a + k x b =   k (a + b) (factorisation)
ici on fait le contraire c'est à dire le développement

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12 octobre 2008 7 12 /10 /octobre /2008 15:11

Suite au travail Symétrie centrale tâtonnement aidé (avec quadrillage) ou non
un certain nombre de commentaires donnés en réponse montrent que ceux qui ont fait le travail l'ont compris et ont atteint totalement ou partiellement la conclusion

Cependant, un certain nombre de ces commentaires sont rédigés de façon incorrecte, approximative, ou même ne disent pas vraiment ce que l'élève semble avoir compris.


C'est le cas par exemple des réponses :

     
  les points symétriques sont: m n p
les points qui ne sont pas symétriques sont: q r
 
  ou  
  N et N' sont bien placer.
M et M' sont bien placer.
Q et Q' ne sont pas bien placer par raport au centre.
P et P' ne sont pas bien placer par raport au centre.
R et R' ne sont pas bien placer par raport au centre.
 
(en plus de la faute d'orthographe à "placés")



On sent bien que l'exercice est compris et que la vérification a bien été faite mais il est important de rédiger la conclusion et que la rédaction de celle-ci soit conforme à ce que l'on peut trouver par exemple dans la méthode du manuel.

 Dans Sesamaths 5ème on peut trouver

cliquer sur le texte pour accéder à la méthode 1 du livre
"construction du symétrique à l'aide de la règle non graduée et du compas

Il fallait donc écrire dans le cas de M et M'

M et M' sont symétriques par rapport à O

et dans le cas de R et R'

R n'est pas symétrique de R' par rapport à O.





Pour voir la construction animée du symétrique d'un point par la méthode du manuel (la méthode de construction à la règle graduée est aussi proposée)
cliquer sur le compas





Pour faire toi même cette construction avec la règle graduée, puis avec le compas et la règle non graduée (plus précis) clique sur le dessin ci-dessous.




Si tu as terminé, Thérèse Eveilleau te propose un moment plus récréatif où l'on utilise la symétrie centrale (par rapport à un point).

Il s'agit du pavage des oiseaux

Pour accéder à l'activité, clique sur l'image


Lorsque tu auras fini de remplir d'oiseau l'espace rectangulaire, regarde bien comment à partir d'un des oiseaux, on en obtient un autre par symétrie
(Ce qui revient à une rotation d'un angle de 180°).



Pour voir d'autres pavages sur le site de Thérèse Eveilleau
c'est ici http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/jeux_mat/textes/17_pavages/p1_pavage_paral.html


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12 octobre 2008 7 12 /10 /octobre /2008 09:31
Aujourd'hui, je te propose de t'évaluer (auto-postionnement*) sur les grands domaines qui te seront utiles dans ton activité professionnelle.

Pour chaque série d'exercices proposés, commence dans l'ordre.
Lorsque tu réussis facilement à un exercice dont le titre était en vert, passe au suivant.
Le but étant d'aller le plus loin possible.

Première série  Calcul mental
(La feuille n'est pas nécessaire, pas plus que la calculette. Toutes les opérations se font dans la tête)


1. Additions de tête
2. Additions de tête avec chronomètre
3. Soustractions de tête
4. Soustractions de tête avec chronomètre
5. Multiplications de tête
6. Multiplications de tête avec chronomètre
7. Divisions de tête
8. Opérations de tête
9. Opérations de tête avec chronomètre
10. Multiplication par 10, 100, 1 000
11. Multiplication par 10, 100, 1 000 avec chronomètre
12. Multiplication par 1…0 ou 0,0…1





Seconde série  Comparaison
Attention à bien faire la différence entre nombre entier (sens chiffre après la virgule)
et nombre décimal.
En particulier pour les encadrements


1. L'entier qui suit ou qui précède
2. Entiers consécutifs
3. Entiers intercalés
4. Inégalités vraies ou fausses
5. Quel est l'intrus ?
6. Ordres croissant et décroissant
7. Entiers (activité)
8. Décimaux (activité)
9. Avec les abscisses
10. Entiers




Troisième série  Ordres de Grandeur
(Partie importante pour tous ceux qui ont dans leur activité professionnelles
à évaluer rapidement des prix
notamment quand il y a des remises en pourcentage à calculer)



1. Additions à trous (de tête)
2. Soustractions à trous (de tête)
3. Multiplications à trous (de tête)
4. Opérations à trous (de tête)
5. Additions à trous (posées)



_


_______
__

* Pour prolonger celui qui est fait en début de formation pour tous les apprentis.

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11 octobre 2008 6 11 /10 /octobre /2008 15:54
Après le développement en rapport avec le sens de la moyenne
un petit développement pour montrer que la note, loin d'être un absolu objectif, est très sensible à l'organisation de l'évaluation.

Ainsi, si une note résulte de plusieurs contrôles ou d'un seul les regroupant, il est possible que le résultat final obtenu par les différents procédés en vigueur et (pratiqués et ) validés par tous ceux qui évaluent varie de plusieurs points.

C'est le cas de la moyenne qui résulte de différents contrôles.

Pour que chacun puisse expérimenter sur ce thème, je propose un petit tableau de calcul qui permet de simuler une série de note une fois que l'on a défini le nombre de petits contrôles et leur base (nombre de points de chaque contrôle).

pour charger le tableau de simulation cliquer sur son image


En appuyant sur la touche F9 on peut voir que, en fonction des résultats des petits contrôles, le résultat final est plus favorable
si l'on additionne les points de ces controles puis que l'on converti la note sur 20
(ce qui revient à faire une moyenne pondérée des petits contrôles)
ou si on convertit ces contrôles en note sur 20 avant de calculer leur moyenne
(ce qui revient à faire une moyenne brute des résultats).

Les écarts pouvant aller jusqu'à plus de 2 points en plus ou en moins
(donc écart absolu de 4 points sur 20).
 




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10 octobre 2008 5 10 /10 /octobre /2008 07:35




Dans la continuité de

Vérification du symétrique d'un point (symétrie centrale)

Une animation de Roland Dassonval
(merci à lui)
 permet de "tâter" de la symétrie centrale



Pour y accéder, cliquer sur l'image

(Tenir compte de l'ordre des points qui est donné dans l'énoncé)

Lorsque la position souhaitée est atteinte
lire le commentaire
c'est un bon rappel
qui aidera à solidifier* le cours dans la boite en calcium

D'autres exercices sans quadrillage
ici






* Chacun à sa propre cristallisation lié au sens qu'on aura pu SE construire

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9 octobre 2008 4 09 /10 /octobre /2008 14:33
Image:Sierpinski-zoom4-ani.gif

Les fractals sont  ces courbes particulières rendent vraie les affirmations d'écrits anciens tels que ceux de la Table d'Emeraude :
Image:Emerald tablet.jpg
« Ce qui est en bas est comme ce qui est en haut* afin que s'accomplisse le miracle de l'unité »

En effet, l'étude d'un détail fait apparaître une structure que l'on retrouve lorsqu'on étudie la courbe à une échelle beaucoup plus grande.

Ces courbes donnent un sens à la notion de puissance d'un nombre, en effet tout dans leur structure entretient des rapports étroits avec la répétition d'un même facteur lorsqu'on passe d'un niveau de transformation à un autre lors de la génération de telles courbes.
Étapes de construction du triangle de Sierpiński

Le manuel sésamath propose une activité qui s'appuie sur le célèbre triangle de Sierpinski dans le but de découvrir  l'intérêt de la  notation qui permet d'abréger l'écriture de produits de plusieurs de facteurs identiques.

cliquer sur l'image pour accéder à l'activité

On voit dans cette activité le rôle du facteur 3 à chaque transformation
et donc il devient possible d'écrire par exemple le  nombre de triangles violets
lorqu'on connaît le rang de la transformation.

Pour visionner ces transformations cliquer sur l'image
(ouvrir dans un nouvel onglet)


Remarque : cette activité sert aussi à mettre en oeuvre ce que l'on apprend dans le développement d'une expression littérale.
En effet, si on note x le nombre de triangles violet et y le nombre de triangles bleus à une étape donnée
on voit qu'à l'étape suivante chaque violet aura donné
3violet  + 1bleu
et donc que l'on obtiendra à cette étape
(en remplaçant violet par ce qu'il devient***)
x(3violet + 1bleu) + ybleu
Le développement donnant le nombre total de triangles de chaque type.

A partir de là, il est possible d'obtenir la formule générale donnant le nombre de triangle de chaque couleur dès que l'on connaît le rang de la transformation.

...




* Traduire : "ce qui est très grand est comme ce qui est très petit. "
 Ou encore "Le macrocosme est similaire au microcosme"



** Autre générateur de fractales http://to-campos.planetaclix.pt/fractal/graftale.html

*** Une sorte d'initiation à la récurence ... à survoler à peine bien sur.


Note : en utilisant le tableur pour calculer la suite des valeurs (nombre de violet et nombre de bleu)  75% d'une classe de quatrième a été capable de prévoir ces valeurs à la 100ème transformation

Voir l'un des résultats ICI

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9 octobre 2008 4 09 /10 /octobre /2008 06:00
Le point M' est-il symétrique du point M, par rapport à O ?
et de même pour les autres couples de points ?

A l'oeil nu  ... peut-être.

Je te propose de le vérifier (un peu) plus précisément à l'aide d'un petit outil

Un ensemble constitué de deux points, un cercle et une droite.

Tu peux déplacer le point X
C'est lui qui définit la position du cercle et du point Y.

A toi de jouer ...

Tu donneras tes conclusions en commentaire, puis sur ta feuille tu justifieras le fonctionnement de cet outil.

Tu ouvriras Trace en Poche dans un autre onglet
puis tu chargeras le script de la figure en cliquant dessus.




N'oublie pas de donner la réponse à la question
ainsi que la raison pour laquelle cet outil de vérification du symétrique fonctionne

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8 octobre 2008 3 08 /10 /octobre /2008 08:27
Avant de commencer la séance un petit éveil du raisonnement logique:

Copie, puis colle dans le logiciel de dessin.

Tu te serviras du pinceau pour trouver l'itinéraire qui permet d'aller du premier 1 (case orange) au dernier 16.

Dans cette séance tu vas revoir le produit des nombres relatifs à travers des exercices proposés par Maths En Poche



Un des buts est d'être capable de faire les épreuves de calcul que propose Amicollège.

Lorsque tu te sens prêt, tu peux les tenter (voir en fin de page)



1. Découverte
2. Produits et nombres négatifs
3. Multiplications (assistées)
4. Multiplications
5. Multiplications (bis)
6. Signe d'un produit de plusieurs facteurs
7. Produit de plusieurs facteurs
8. Multiplications à trous


Si tu as terminé, tu peux passer aux exercices que propose le Matou Mateux





Comment multiplier deux nombres de même signe ?

Comment multiplier deux nombres de signes contraires ?

Multiplier deux nombres avec aide

Multiplier deux nombres sans aide

Multiplier, additionner ou soustraire avec aide

Multiplier, additionner ou soustraire sans aide

La règle des signes



Test sur Amicollège.


Tu les trouveras en bas de la page méthode de Sesamath



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