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Philippe Mercier

 

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23 octobre 2008 4 23 /10 /octobre /2008 14:04
Si je mets  un douzième d'heure  (c'est à dire ...  )pour aller au collège en vélo , et le double pour en revenir (il y a une côte dans ce sens là), et que je fais le trajet deux fois par jour,
le temps total de mes trajets sera de

(1 + 2) x 2 douzièmes d'heure

 C'est à dire de ,
3 x 2 douzièmes d'heure
=
6 douzièmes d'heure



Tu sais bien sur que cette fraction correspond à
(quelqu'un qui a 6/12 a un devoir en a réussi la moitié, il a la moyenne)

Mais si cela n'avait pas été le cas,
la méthode que donne le manuel Sésamath te permettait de simplifier cette fraction



ici nous avons simplifié par 6

( au numérateur, 6 : 6 = 1 et au dénominateur12 : 6 = 2 d'où 6/12 = 1/2 )


Parfois ce n'est pas si facile que cela de trouver le nombre par lequel
on peut diviser le numérateur et le dénominateur d'une fraction

il faut pour savoir ce qu'ils ont en commun
(du point de vue de la multiplication)

Il existe heureusement des outils qui peuvent nous aider dans cette tâche
l'un d'entre eux est en anglais mais très commode à utiliser

il suffit d'écrire dans la fenêtre le nombre que tu désires décomposer
il te donne ensuite tous les diviseurs.

A toi ensuite de voir quel est le plus grand que deux nombres on en commun.


Pour l'utiliser je te propose d'essayer avec la fraction



Clique sur la fraction pour utiliser le programme de décomposition

Puis ici pour vérifier ton résultat






Pour un exercice sur ce thème avec Amicollège

Simplifier des fractions (calcul mental)
      implifier des fractions (niveau 2)    











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22 octobre 2008 3 22 /10 /octobre /2008 06:39




Certains élèves de sixième on appris comment reconnaître un multiple de 9
(c'est à dire un nombre résultat de la multiplication par 9 d'un autre nombre entier)

La méthode est assez simple
(et est utilisée dans la preuve par 3)

On additionne les chiffres dont est constitué le nombre 9
si cette somme a plus d'un chiffre, on recommence (on les additionne)
lorsqu'on a obtenu un seul chiffre,
on peut alors dire que
le nombre de départ est un multiple de 9
si ce chiffre est 0 ou 9

ou
le nombre de départ n'est pas un multiple de 9
dans les autres cas.


Je te laisse voir par ce moyen que tous les nombres de la table de 9 sont bien des multiples de 9.
(La somme de leurs chiffres fait toujours 9 )

De même 111 111 111 ; 5 608 116  et  142 857sont des multiples de 9

Il existe bien d'autres méthodes utilisant des calculs, pour reconnaitre des propriétés des nombres ou même des figures géométriques.

Ainsi par exemple, lorsqu'on connait la mesure des côtés d'un triangle, on peut dire s'il est rectangle ou non.

Il suffit pour cela de multiplier la mesure de la longueur du plus grand des côtés, par elle même
(on écrit le résultat soigneusement quelque part)
puis de même on multiplie la mesure de la longeur du plus petit par elle même.
puis la mesure de la longueur du troisième côté par elle-même
et pour finir on additionne ces deux derniers nombres obtenus.

On écrit alors soigneusement ce résultat.

Si les deux résultats que l'on a écrit soigneusement sont égaux, alors le triangle est rectangle.

Si ce n'est pas le cas, alors il y a deux possibilités
- le plus grand nombre est le premier des deux
  alors le triangle possède un angle obtus.

- le plus grand nombre est le second des deux
  alors le triangle n'a que des angles aigus.


Tu pourras vérifier par ce moyen que le triangle ABC
tel que
AB = 6cm ; BC = 9,1 cm et CA = 10,9 cm
 est bien rectangle.


Cette "preuve" me permet aussi de vérifier que le dessin fait au tableau ne correspond pas aux mesures données.


En effet 64 (=8 x 8) est supérieur à la somme  1 + 49   (=
1 x 1 + 7 x 7)

Donc ce triangle devrait avoir un angle obtus.

Ce qui n'est pas le cas de la figure.
Elle ne correspond donc pas aux mesures données à savoir 1; 7 et 8

Bien évidemment, cette méthode n'est pas à apprendre par coeur, en sixième, pas plus que la preuve par 9 !

Par contre, cette égalité particulière dans les triangles rectangles, on en reparlera plus tard !







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21 octobre 2008 2 21 /10 /octobre /2008 06:39
En marge de ce que développe le manuel Sésamath à propos du cacul de la mesure de l'hypoténuse d'un triangle rectangle, lorsqu'on connaît les deux autres côtés, je propose de réfléchir un peu sur les valeurs approchées proposées.



Comme pour l'exemple proposé, la plupart du temps, si l'on veut donner une valeur décimale pour la mesure de l'hypoténuse, celle-ci ne sera pas exacte.

Ainsi, ici, la valeur proposée au millimètre près est MR = 10,8

C'est une valeur approchée par défaut.

Quelle en est la conséquence pour un triangle construit avec
ME = 9cm ; ER = 6cm et MR = 10,8 cm ?

Et plus précisément, quelle sera la nature de l'angle supposé être droit ?


Aigu ou Obtus ?




Les cas pour lesquels la valeur de l'hypoténuse est exacte, existent bien sur.

Le plus célèbre est le fameux triplet de valeur
3 et 4 (pour les côtés de l'angle droit) et  5 pour l'hypoténuse

Mais il en existe bien d'autres
comme par exemple :
 

8 et 15 (pour les côtés de l'angle droit) et   ..... pour l'hypoténuse
ou
6 et 9,1 (pour les côtés de l'angle droit) et  ..... pour l'hypoténuse
ou encore
14 et 17,1 (pour les côtés de l'angle droit) et  ..... pour l'hypoténuse


(Réponses à donner en commentaire)



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20 octobre 2008 1 20 /10 /octobre /2008 21:16


La maman de la petite Lisette lui demande d'aller à la boulangerie lui acheter des baguettes .
Un problème de baguettes ... et de monnaie
"Tiens, voilà  10 €uros , va dans une boulangerie et achête-nous le plus possible de baguettes, demain nous avons du monde à table.
Tu pourras garder la monnaie pour des bonbons.
"

Quand elle connaîtra le prix d'une baguette, dans le calcul que
fera Lisette* pour savoir combien de baguette elle peut acheter avec ses 10€
                       
quel est le résultat qui intéresse sa mère ?
                        quel est le résultat qui intéresse Lisette ?

Plus ou moins loin de chez Lisette, il y a trois boulangeries, l'une vend le pain à 1,30€ et la baguette à 0,70€ , l'autre vend le pain à 1,35€ et la baguette à 0,80€, la troisième vend le pain à 1,25€ et la baguette à 0,75€.

              Où ira Lisette si elle veut surtout faire faire des économies à sa mère ?

              
Où ira Lisette si elle veut surtout avoir le plus monnaie pour ses bonbons ?




Lisette était encore sur le pas de la porte quand sa mère ouvrit la porte et lui dit qu'elle avait changé d'avis.
Finalement elle préférait des pains.

Lisette réfléchit à nouveau ...


              Où ira Lisette si elle veut surtout faire faire des économies à sa mère ?

              
Où ira Lisette si elle veut surtout avoir le plus monnaie pour ses bonbons ?






Un exercice de Maths En Poche


* On suppose que Lisette sait parfaitement calculer.

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20 octobre 2008 1 20 /10 /octobre /2008 09:13
Pour commencer à travailler sur les fractions, il peut être utile de commencer par rassembler les connaissances que chacun possède déjà dans ce domaine.

A l'occasion de la notation d'un travail en quart, demi, et trois-quarts de points, nous avons déjà revues ces fractions simples que chacun de nous connait.



Ces fractions simples, nous savons les additionner.
Même si nous ne savons pas toujours la méthode qui permet de le faire.

Nous nous servirons de ces connaissances pour cerner ce qui est permis et ce qui ne l'est pas pour ces calculs.

Ainsi, chacun de nous sait que 1/2 + 1/4 ne donne pas 2/6
 
 Tout d'abord parce que 2/6 est égal à 1/3 *
 ensuite parce que nous savons que le résultat est 3/4 **.

Suite naturelle de ce travail :



 











* or 1/3 est plus petit que 1/2
donc 1/2 + 1/4 ne peut être plus petit que 1/2
** un quard d'heure ajouté à une demi-heure fait trois quarts d'heure.

Pour la conversion de note ayant une base quelconque en note "sur 20"
voir ici Fraction et notation  - "calculer ma note sur 20"

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19 octobre 2008 7 19 /10 /octobre /2008 23:00
Travail au centre de ressources


Aujourd'hui encore, je te propose d'utiliser Maths En Poche
pour une courte séance sur la lecture et la rédaction de tableaux à double entrée


1. Tableau (lire)
2. Tableau (compléter)
3. Tableaux





Note tes résultats (notes aux exercices) sur ta feuille
ainsi que les questions qui t'auraient causé des difficultés.

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19 octobre 2008 7 19 /10 /octobre /2008 13:20
Cette question paraît relativement simple, surtout dans un monde habitué aux réponses uniques.

Et pourtant !

C'est pourquoi je propose tout d'abord un petit détour.

                N est un nombre dont la distance à zéro est 12,5.    
  Que peut valoir N ?    

Depuis que l'on connait les nombres relatifs, la réponse à cette question a changé.

On sait en effet que +12,5 et -12,5 sont tous deux à la distance 12,5 de zéro.

Il y a donc des questions concernant des nombres dont la solution n'est pas unique.

Nous en connaissions d'autres, mais elles concernaient davantage l'inégalité que l'égalité.
 Comme par exemple :

                N est un nombre entier entre 7,4 et 9,2
(qui s'écrit aussi  7,4 < N < 9,2).
   
  Que peut valoir N ?    


(Je te propose de donner la réponse en commentaire)


La question du titre est également une question complexe dont la réponse n'est pas nécessairement une valeur .

En effet, la règle des signes concernant la multiplication nous a appris que


cliquer sur la méthode pour avoir la méthode complète du manuel Sesamath

Un petit exercice va nous permettre d'illustrer cela :

.



(Ici aussi, je te propose de donner la réponse en commentaire)


Une petite aide ici




Un autre exercice de ce type

 

Monsieur Colas est banquier, il est en train de consulter ses comptes et pratique son divertissement favori : jouer avec les nombres qui correspondent aux dépots de ses clients.

Il s'amuse à multiplier ces valeurs par 10, puis multiplie le résultat par lui-même, et enfin il retranche au résultat la valeur un million de million (1 billion)

Tout à coup ... il s'aperçoit qu'il obtient le même résultat nul pour son meilleur client ainsi que pour son plus mauvais client.

 
     
  Comment est-ce possible ?  

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/European_Central_Bank_041107.jpg





 



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18 octobre 2008 6 18 /10 /octobre /2008 12:20
En mathématiques contrairement à de nombreuses autres matières, il est souvent possible, à partir de quelques connaissances de base, de vérifier la justesse d'un travail, construction, calcul.

Ainsi, pour quelqu'un qui connait son cours
et en particulier les propriétés du symétrique d'un point (par une symétrie centrale)
cliquer sur la méthode pour avoir la méthode complète du manuel Sesamath

il est facile de vérifier si la figure de Paul est juste. 


http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/symetrie/verifier-la-symetrie-centrale.jpg

 Pour que, comme le demande l'énoncé A soit le symétrique de C par rapport à B
il faut que
B soit le milieu du segment [AC]

Ce qui suppose donc deux choses
que A,B et C soient alignés
donc
A,B et C sont sur une même droite
et
que AB = BC
donc
A et C sont sur le même cercle de centre B


De la même manière, on se demande lequel des quatre points est le symétrique de A par rapport à O (M,N,P ou R ?)


Pour y répondre, tu peux utiliser deux indices

                                                    Indice N° 1 Indice N° 2                                             
       

Tu peux aussi cliquer sur l'image pour obtenir une animation intégrant ces indices.

Donne ta réponse en commentaire ...





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18 octobre 2008 6 18 /10 /octobre /2008 09:27

Un des supports naturel des fractions correspond au domaine où chacun de nous est un expert à condition de n'être pas passé à côté d'une analogie importante : celle du cercle et du temps cyclique.

Il s'agit de l'heure, lorsqu'elle est indiquée par un cadran, et non par des chiffres dans lesquels la continuité disparait pour faire place au code*
Image:Wall clock.png
Cette feuille propose de faire le rapprochement entre la fraction d'heure et sa dénomination courante ... ou moins courante.

La première ligne est un exemple.

On y voit l'équivalence du quart d'heure, de la fraction quinze soixantièmes
(un quart d'heure c'est quinze minute, une heure c'est soixante minutes ... la conversion donne l'égalité )









* A quoi voit-on que  19h59 est proche de 20h ? (tous les chiffres ont changé, où est la continuité ?

Alors que cette information est clairement perceptible sur le cadran de l'horloge.

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16 octobre 2008 4 16 /10 /octobre /2008 17:29
Pour illustrer la notion de développement, je propose un petit détour par les conversions d'unité.

La figure ci-dessous donne ce que vaut une unité dans une autre.
(On voit qu'il ne s'agit pas de système décimal dans lequel une unité vaut 10 fois une autre ... ou un multiple de 10)




D'après ces renseignements, il devient possible d'exprimer toutes les unités (Carré , Disque, Triangle et Pentagone dans l'unité au Petit Motif Gris

Ainsi, si l'on utilise des abréviations pour simplifier l'écriture  on peut déduire de

D = 5 C   et  C = 4 PMG

que

D = 5 x 4 PMG

et de même , on peut déduire de

T = 3 P   et  P = 7 PMG

que

T = 3 x 7 PMG


D'où la valeur de toutes les unités en  PMG 

C = 4 PMG ;   P = 7 PMG  ; D = 20 PMG   ;  T = 21 PMG

On voit ici (ce qui n'était guère visible au départ)
que les unités
D et T sont assez voisines


A] Je te propose, si d'appliquer cette méthode et ces notations
aux correspondances données ci-dessous.




1) Pour convertir toutes ces unités en PMG

2) Pour convertir ensuite toutes ces unités successivement en 
C ;   P  ; D et T
*
(Donne ta réponse en commentaire, je la corrigerai)


B]  Pour terminer je te propose le même travail
avec les nouvelles valeurs suivantes :






1) Convertir toutes ces unités en PMG

2) Convertir ensuite toutes ces unités en 
C ;   P  ; D et T



 * N'oublie pas que tu sais donner le résultat d'une division (son quotient) dont le résultat n'a pas une écriture décimale exacte  (sous la forme d'une fraction)

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