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5 janvier 2009 1 05 /01 /janvier /2009 00:00
en rapport avec l'article concernant cette nouvelle année : http://www.geombre.com/article-26328839.html



2009 = 7 x 7 x 41

J'avais évoqué une petite propriété en rapport avec le mot palindrome.

Le rapport est lointain, bien sur, mais tout de même,
si on additionne les deux premiers nombres de
la décomposition de 2009 en nombres premiers
c'est à dire 7 et 7
on obtient 14
qui est bien le
palindrome de 41
(41 écrit à l'envers)


Comme tout cela est un peu maigre, je te propose d'observer une suite de nombre que génère le nombre 2009 et qui se termine elle aussi en boucle (le tout formant donc ce que j'ai déjà nommé un "lasso")


Fichier:WillRogers.jpeg
   
    La décomposition en produit de nombres premiers ne sert pas à trouver le mode de construction de la suite.

Je donne ces décompositions parce qu'on y trouve des "accidents" intéressants.
 


A toi de deviner comment sont obtenus (ici il n'y a qu'un seul mécanisme et non deux comme dans la suite de Syracuse)




Si l'on dépose un nombre en commentaire, je donnerai volontiers la suite de nombres qu'il produit suivant la même règle ... cela permettra peut-être de découvrir le procédé de fabrication...

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3 janvier 2009 6 03 /01 /janvier /2009 15:39
Si tu es en sixième ou en cinquième, je te propose un petit travail sur la visualisation d'une fraction.

En utilisant un très joli programme fait par Daniel Mentrard, nous allons comparer des fractions, chercher la fraction la plus proche d'une autre ayant un dénominateur donné, ou trouver un dénominateur commun à deux fractions.

Pour commencer, il te faut charger le programme en cliquant
avec le bouton de droite ici (choisit "ouvrir dans un nouvel onglet")

(Un peu de patience pendant le chargement ... l'occasion de souffler un peu déjà)


Une fois que c'est fait, tu dois avoir quelque chose qui ressemble à cela :

Passe le curseur de la souris au-dessus du dessin pour voir ce qu'il désigne.

En modifiant la position des curseurs tu peux obtenir différentes fraction du disque (correspondant à la partie rouge)

Ici  j'ai mis
le curseur rouge (numérateur, nombre de secteurs rouges) à 1
et
le curseur noir (dénominateur, nombre de secteurs en tout) à 4

nous avons donc une représentation de la fraction
"un quart"

Tu vas maintenant chercher quelle est la fraction qui correspond à la même aire rouge sur le disque, mais avec le dénominateur 12
 (en modifiant la position des curseurs sur ton dessin)

C'est donc une fraction "sur 12" égale à "un quart"

Quel est alors le numérateur que tu obtiens ?




   




 
   

                                                                clique sur le nombre que tu as trouvé

Il n'est pas toujours possible faire cela.
Ici comme 12 = 3 x 4
c'était le cas
mais avec un dénominateur comme 30 
peut-on trouver une telle fraction ?



   




         oui
      Non
 


Le mieux que l'on puisse faire,
c'est trouver une fraction proche mais supérieure
son numérateur sera alors




   




 
   


ou trouver une fraction proche mais inférieure
son numérateur sera alors



   




 
   



Ainsi on obtient un encadrement de la fraction 1/4 par deux fractions "sur" 30
la fraction un quart est inférieure à huit trentième et est suppérieure à sept trentièmes.



.../...

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31 décembre 2008 3 31 /12 /décembre /2008 12:57
La (famille de) suite(s) qui produit les séries nombres des tableaux ci-dessous est construite un peu à la manière de la célèbre suite de Syracuse.

Je te laisse découvrir la façon donc chaque nombre génère le suivant.
Les valeurs de début se trouvent en première ligne, les valeurs suivantes, en dessous, dans la colonne correspondante.



clique pour agrandir l'image

Fichier:WillRogers.jpegTu remarqueras que toutes ces premières suites finissent en seulement deux boucles
L'une constituée des nombres                : 
 5 ; 26 ; 15 ; 8 ; 6 ; 5 ...

et l'autre plus courte, faite des nombres  :  
 7 ; 50 ; 12 ; 7 ...

Toutes sauf une que tu n'auras pas manqué de voir du premier coup d'oeil !

Ne cherche pas cette suite dans l'encyclopédie de Sloane,
je ne l'y ai pas encore déposée.
Ce serait trop facile
et plus véritablement de la chasse
(sourire

Mais surtout, cela t'empêcherait peut-être de voir dans ces valeurs
des liens que je n'y ai pas vu moi même
et cela, ce serait vraiment dommage.

...


La présence du cowboy, est bien sur justifiée par son lasso
en rapport avec la fin de ces suites qui est toujours une boucle

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30 décembre 2008 2 30 /12 /décembre /2008 22:47
suite de http://www.geombre.com/article-26224400.html


Comme on le voit dans le tableau que je t'avais donné, il y a une certaine régularité dans les diviseurs "les plus grands qui sont en même temps les plus proches"* de tous les nombres obtenus à partir d'un entier, en soustrayant 1 à son carré
C'est à dire tous les nombres N² - 1 
...

Il semblerait en effet que, pour tous les nombres de ce tableau, les deux multiples en question soient,
le nombre précédent N (c'est à dire N + 1)
et
le nombre qui suit N (c'est à dire N - 1)

Autrement dit,
Le nombre obtenu en soustrayant un au carré d'un nombre choisi
serait égal
au produit du nombre précédent le nombre choisi et du nombre suivant ce nombre choisi.

Ce qui, en langage mathématique s'écrit (bien plus simplement n'est-ce pas ?)
Si N est un nombre entier,
 alors

N² - 1 = (N - 1) x (N + 1)

Si tu connais les identités remarquables
(que je t'avais suggéré d'aller regarder ici  sur le manuel sesamath 3ème** )
le rapprochement est immédiat avec


Il suffit de prendre a = N (notre nombre entier) et b = 1

On a alors (N + 1) (N - 1) = N² - 1² = N² - 1

Ce Qu'il Fallait Démontrer

Bien sur, en développant l'expression
(N - 1) x (N + 1)
tu aurais pu trouver ce résultat remarquable.

Et donc,
on sait sans vérifier plus avant
qu'aucun des nombres obtenus en
soustrayant 1 au carré d'un nombre entier
n'est un nombre premier
...
sauf 2 bien sur
puisque 2-1 = 1
et que donc
N² - 1 = 3 x 1 = 3
pour N = 2

...

Sans se décourager sur notre traque des nombres premiers
Fichier:Paolo Uccello 052.jpg
- un chasseur doit avoir des qualités d'obstination et de ténacité -
on pourrait maintenant se préoccuper des Nombres obtenus en
ajoutant 1 au carré d'un nombre entier

Sont-ils (tous, aucun, quelques-uns) premiers ?

à toi de jouer ...




Pour finir, à propos de la conjecture  (voir ici )


Il n'existe pas de nombre N s'écrivant 21....1
tel que N soit premier.

On peut chercher assez loin et penser que cela suffit.

Pas du tout !

Et tu as là un excellent exemple du fait qu'une propriété relativement remarquable peut être vérifiée pour une centaine de valeur consécutive, et s'avèrer fausse par la suite.

C'est le cas ici, puisque le nombre qui s'écrit

211 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111 111

C'est à dire un 2 et cent trente deux 1
est un nombre premier

Alors que si nous avions fait la même recherche avec des 3 à partir de 211
nous aurions obtenu
dès le premier essai : 2 113 qui est premier
 puis 213 333 , 2 133 333 et 21 333 333 333 333 333

Qui le sont aussi


Et surtout, ne cherche pas de régularité 

(par exemple dans le nombre de 3
pour obtenir un nombre premier construit ainsi
) !

d'autres que toi (et moi) y on consommé des nuits entières

et les vacances

c'est fait pour se reposer***



* Si quelqu'un a une autre formulation, ... elle est la bien venue.
** Il est parfois plus pratique de le feuilleter directement pour voir l'ensemble des méthodes concernées.
*** Avec bien sur, les quelques devoirs de vacances pour les élèves, et quelques paquets de copies pour les profs (sourire)²

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29 décembre 2008 1 29 /12 /décembre /2008 11:56

            
Rappelons tout de même avant de commencer, que la chasse aux nombres premiers peut-être plus rentable (mais moins nourrisante immédiatement) que la chasse au canard.

En effet, certains sont prêt à payer très cher en échange de très grands nombres premiers. pour leurs utilisations dans le domaine de la
  Cryptographie à clé publique*
 
  Précision pour modérer l'enthousiasme des chasseurs :
En 2008 (découvert en aout), le plus grand nombre premier connu est 243 112 609-1, qui comporte près de 13 000 000 chiffres en écriture décimale.
 






Dans notre traque des nombres premiers, il peut nous venir l'idée d'en fabriquer à partir des opérations simples que nous connaissons.

Par exemple, on peut se demander si en élevant un nombre N au carré, puis en lui soustrayant 1, on ne peut pas obtenir des nombres premiers (mieux qu'en les cherchant au hasard) et, si c'est le cas, quelle densité de nombres premiers on trouve dans ce type de résultat ? (fréquence des nombres premiers comme résultats de ces calculs)

Bien sur, il serait inutile de se lancer dans cette recherche si l'on s'apercevait que TOUS les nombres construits de cette manière sont des résultats de produits.

Ce qui est d'ailleurs le cas des premiers (excepté 2) puisque

Pour N = 1  ;   N² = 1 et donc N² - 1 = 0
qui est multiple de tous les entiers**

Le résultat n'est pas premier



Pour N = 2  ; le résultat est premier, puisque N² = 4 et donc N² - 1 = 3
qui est un nombre premier

Pour N = 3  ;   N² = 9 et donc N² - 1 = 8  qui est multiple de 2 et 4

Pour N = 4  ;   N² = 16 et donc N² - 1 = 15  qui est multiple de 3 et 5

Pour N = 5  ;   N² = 25 et donc N² - 1 = 24  qui est multiple de 4 et 6

Pour N = 6  ;   N² = 36 et donc N² - 1 = 35  qui est multiple de 5 et 7

Pour N = 7  ;   N² = 49 et donc N² - 1 = 48  qui est multiple de 6 et 8

Apparemment notre quête n'est pas très fructueuse
...
Je t'en donne quelques uns et te laisse regarder plus loin si cela s'améliore
...
... à toi de jouer !




Remarque :
En regardant un peu les résultats obtenus, on s'aperçoit d'une certaine régularité dans les diviseurs que nous avons trouvés (il y en a bien sur d'autres mais ceux là sont les deux plus proches, parmi les plus grands, pour chacun des N choisis.)

Je te laisse observer pour trouver ce résultat tout à fait remarquable à propos des nombres N² - 1 et de leurs diviseurs les "plus proches parmi les plus grands".

Il y a là peut-être une conjecture ... à démontrer ? ***



* De plus, elle est ouverte toute l'année, et le braconnage (pose de pièges divers et variés) est conseillé.


** puisque toutes les multiplications comportant 0 pour l'un des facteurs donnent comme résultat 0

*** Si tu as vu les Identités Remarquables, alors le travail est grandement facilité !
merci sésamath

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28 décembre 2008 7 28 /12 /décembre /2008 20:50
Si tu désires voyager du coté, non pas de la ville chantée par Henri Salvador mais en ces terres étranges de la conjecture de Syracuse un peu au-delà de ce que j'ai pu en dire précédement, je te propose un tableau sous open office (liberté oblige)*

Il permettra de voir les suites que génèrent des nombres choisis, et par exemple de voir la grande irrégularité des résulats puisque, jusqu'à 27, aucune suite ne dépasse 24 nombres.

ici de 3 à 15


le record est obtenu
par 9 pour ce qu'on nomme dans le langage des spécialistes de la conjoncture de Syracuse, la durée de vol c'est à dire le temps (nombre de valeurs) que la suite met pour atterrir (à 1) qui est pour 9 de 19 (19 valeurs)  
et
par 15 pour ce qui est appelé la hauteur, c'est à dire la valeur la plus élevée, qui est pour 15 la valeur 160.
ici de 3 à 15

Mais tout change avec 27



qui atteint le sommet de 9232
 


et le record de vol de 110 valeurs.


Pour donner une idée de l'irrégularité des résultats que l'on obtient, il suffit de regarder du côté des très grands nombres.

Par exemple en partant de 11 111 111 111  (environ onze  millards)
la longueur du vol n'est que le double de celle de 27
et l'altitude maximale atteinte n'est pas extraordinaire puisqu'elle n'est qu'un peu plus de 7 fois la valeur de départ.

On l'atteint dans les premières valeurs.

Je te conseille d'essayer un nombre beaucoup plus grand, comme par exemple
111 111 111 111 111

Puis un chiffre de plus
...
pour voir la confiance (méfiance) que tu peux accorder à un tableur.




Remarque : pour des raisons pratiques de lisibilité, j'ai stopé la série lorsqu'on arrive à 1

Il faudrait en réalité repartir vers 3 x 1 + 1 qui donne 4  puis 2 puis 1
et qui est d'après la conjecture la seule boucle existant dans les séries de nombres générés

Le travail pour démontrer la conjecture passe d'ailleurs par la démonstration de l'unicité de cette boucle.


Comme dirait F. la démonstration est assez jolie, mais je n'ai pas assez de place pour la mettre dans la marge*







*(sourire)²

Il y a quelque chose ici sur cette questin de la boucle (mais attention, c'est assez complexe)

Voir aussi l'excellent article de Gérard Villemin  ici


exceptionnellement, sous excel ici  mais il est plus encombrant (fichier plus lourd)

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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 21:40
En mathématiques on nomme conjecture une affirmation qui n'a pas été ni infirmée ni démontrée.

Une des plus célèbre est celle dite "de Syracuse" qui est en rapport avec des calculs relativement simple et à la portée du premier venu.



Exemple : N = 15
N est impair donc la valeur suivante est 3 x 15 + 1 = 45 + 1 = 46
Cette valeur est pair, la valeur suivante est donc  46 / 2 = 23
Cette valeur
est impaire donc la valeur suivante est 3 x 23 + 1 = 69 + 1 = 70.
Cette valeur est pair, la valeur suivante est donc  70 / 2 = 35
Cette valeur est impaire donc la valeur suivante est 3 x 35 + 1 = 105 + 1 = 106
et ainsi de suite pour obtenir les valeurs suivantes
53; 160 ; 80 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 et enfin 1

La
conjecture de Syracuse est précisément l'affirmation que ces suites aboutissent toujours à la valeur 1.

Ci-dessous, le graphique des valeurs qu'on obtient pour N = 127
(version compressée de la suite)Fichier:Syracuse127.png

(voir les jolis graphiques que donne la chasse ici : http://syracuse-collatz.blogspot.com/
A TOI DE JOUER ... (personne ne l'a encore démontrée)

Je te propose une conjecture encore plus simple :

Il n'existe pas de nombre N s'écrivant 21....1
tel que N soit premier.

Un outil qui peut toujours servir pour vérifier les premières valeurs
ici

(Mais à partir de 100 chiffres, il rame un peu
...
tout de même, il vaut mieux ne pas déduire trop vite
encore à ce jour, une centaine* d'exemples ne valent pas démonstration !)
.



Une démonstration tout à fait bancale de la conjecture de Syracuse

Si N "monte" (voir le langage des spécialistes de ce problème) c'est que N est de la forme 2k +1 (impair)
à l'étape suivante le nombre obtenu sera donc : 3 x (2k + 1) + 1 = 6k + 4

Ce nombre va donc "redescendre" à l'étape suivante et donner  3k +2
Le comportement à l'étape qui suivra dépend donc de la parité de k,
La probabilité qu'il soit pair étant de 1/2 , un nombre qui est "monté" a donc une probabilité de 3/4 de descendre deux fois.
Or, quand un nombre monte, il le fait d'un facteur inférieur à 4 et quand il descend d'un facteur 2, ce qui donne un pas moyen inférieur à 1/4 x 4 - 3/4 x 2 = 4/4 - 6/4 = -2/4

en moyenne, le mouvement se fait davantage (valeur absolue) vers le bas que vers le haut.
...
Quelque soit le nombre N il existe donc une séquence


cherchez l'erreur !


* 10 mille milliards de milliards non plus d'ailleurs.

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24 décembre 2008 3 24 /12 /décembre /2008 20:53
Comme tous les tableurs open office calc fait correspondre à chaque date un nombre.

Aujourd'hui nous sommes le 24 Décembre 2008, et le nombre correspondant est


Que faire avec un tel nombre lorsqu'on dispose d'un ordinateur et d'un peu de ce temps libre que procurent des vacances chèrement gagnée (sourire)² ?

Jetter un coup d'oeil par exemple

Sur un moteur de recherche dans la partie image :   39806


Sur l'encyclopédie des suites :   39806 (la récolte sera bien maigre en quantité mais pas en qualité)

Sur sa décomposition en facteurs premiers :   39806 (il faudra recopier le nombre dans la case)

Rien de bien extraordinaire pour la veille de Noël
(à part cet excellent western avec James Stewart - mais ce n'est que le numéro de référence du produit)
...
(Mais il y a bien autre chose à remarquer avec ce nombre,
pour peu qu'on le triture un peu dans son écriture
...)

vederemo domani.

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24 décembre 2008 3 24 /12 /décembre /2008 12:56
Un article très complet que tout utilisateur devrait impérativement lire, notamment dans les établissements à la pointe du progrès où les élèves peuvent passer successivement quatre heures dans des salles où cet outil est mis en oeuvre.

Le vidéoprojecteur peut présenter quatre risques. Un risque de brûlure, un risque électrique, un risque sonore et un risque lié à la puissance de sa source lumineuse.
Les deux premiers peuvent être évités en respectant les consignes usuelles de sécurité.
Il convient de donner quelques précisions sur le problème du bruit et surtout de la lumière.

Vidéoprojecteur et bruit

En ce qui concerne le bruit, on n'est bien en deçà des normes qui imposent des protections (à partir de 85 dB(A)). Cependant, le bruit du ventilateur du vidéoprojecteur peut être une véritable gêne dans une classe.
Pour éviter cela, on utilisera le vidéoprojecteur le plus souvent possible en mode économie.
Un niveau sonore de 35 dB(A) semble un maximum pour un usage scolaire (notons qu'un écart de 3dB(A) correspond au double ou la moitié de pression sonore).
Ceci est particulièrement important lorsque le vidéoprojecteur est utilisé avec un TBI, car alors le niveau sonore de la classe est relativement faible.
Lorsqu'il s'agit de projeter un film avec un système Surround puissant, la question du bruit du vidéoprojecteur devient secondaire...

Dans quelques années, peut-être que les vidéoprojecteurs à LED règleront définitivement ce problème...

Vidéoprojecteur et lumière

La présence dans le champ visuel de la lampe du vidéoprojecteur est gênante. Cette gêne existe pour la personne qui manipule sur un TBI et qui se tourne accidentellement vers la lampe du vidéoprojecteur, mais aussi pour les spectateurs lorsque le vidéoprojecteur est pointé sur une surface brillante (voir article sur le point chaud).

Consignes de sécurité et de bon sens

Suite :  http://tableauxinteractifs.fr/videoprojecteurs/sante.htm#consignes


.

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23 décembre 2008 2 23 /12 /décembre /2008 20:12
De nombreux sites proposent de s'initier ou même de devenir un expert dans le maniement du rapport, cet outil qui, une fois que son zéro central est bien placé, c'est à dire sur le sommet de l'angle considéré, permet de donner la mesure, le plus souvent en degrés, de l'angle.

Pour commencer sur le site de Vince, une progression très douce qui commence par l'utilisation d'un rapporteur gradué en 6 divisions.



Clique que le rapporteur pour commencer.
(pour le tourner il faudra utiliser les flèches du clavier)

Tu es peut-être prêt(e) après cela à passer ton permis rapporteur.
Pour cela, la bonne adresse, c'est ici 
permis rapporteur




Pour finir (tu peux revenir plus tard pour cela)
sur math en poche, toute une série d'exercices permettent de t'entraîner dans diverses situations.
Dans le dernier il s'agira de mesurer un angle sans avoir le zéro du rapporteur.
(Ce qui se produit de temps en temps lorsque celui-ci est utilisé ... pour autre chose que pour mesurer des angles et dans des combats où il rencontre des matériaux plus résistants que celui qui le constitue)

1. Mesurer "à l'oeil".
2. Comparaison"à l'oeil".
3. Mesure à dix degrés.
4. Mesure à cinq degrés.
5. Mesure au degré près.
6. Mesure approchée.
7. Construction d'un angle au degré.
8. Mesurer sans utiliser l'origine du rapporteur

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