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Philippe Mercier

 

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10 mars 2009 2 10 /03 /mars /2009 10:10
La figure dont on étudie ici la variation de l'aire est un hexagone contenu dans un carré.



I et J sont respectivement les milieux de [AB] et [CD]
Ce qui détermine la longueur des rayons DE et FB.

Il y a différentes manières de calculer l'aire de la figure marron.
Autant par soustraction (à l'aire du carré) que par calcul direct, puisque cette figure est constituée de deux trapèzes égaux.

Pour déterminer l'aire maximale, on peut étudier la variation de la formule qui donne sa mesure en "fonction" de la valeur (que l'on nommera x ) de la longueur AM.

Il y a une jolie considération de symétrie qui permet de déterminer graphiquement la valeur pour laquelle cette aire est maximale ...



A suivre ....







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9 mars 2009 1 09 /03 /mars /2009 00:11
Les deux questions évoquées dans le titre sont liées.

"Toute perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon est tangente au cercle" (énoncé d'H Boss 1900)
et
"La distance d'un point à une droite est le rayon du cercle tangent à cette droite ayant pour centre ce point"
peuvent être illustrer par la même figure, qui permet la démonstration.



Si B est un point de la droite, que A est le point en lequel celle-ci est tangente au cercle, si B' est le symétrique de B par rapport à A, alors la médiatrice du segment [BB'] passe nécessairement par O*.

Ce qui permet de conclure pour les deux théorèmes cités.












* (Sinon il y aurait deux cercles tangents en A ayant le même rayon)



Voir sur le manuel Sésamath 4ème le développement fait à propos de la notion de tangente et de distance.

On y retrouve la définition et la propriété

Distance
définition : c'est la plus courte
propriété : on l'obtient pour le segment perpendiculaire à droite ayant le point pour une de ses extrémités


Tangente
définition : c'est une droite qui n'a qu'un point commun avec le cercle
propriété : elle est perpendiculaire au rayon correspondant au point commun









Chapitre correspondant sur Maths En Poche

Distance
1. Découverte
2. Justification
3. Déterminer la distance
4. Mesurer la distance (quadrillage)
5. Mesurer la distance (règle et équerre)
6. Distance entre deux parallèles
7. Placer à distance
8. Placer à distance de deux droites parallèles
9. Placer à distance de deux droites sécantes


Triangle et cercle

1. Cercle circonscrit
2. Cercle inscrit (découverte)
3. Positionner le cercle inscrit
4. Tracés de cercles inscrits




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5 mars 2009 4 05 /03 /mars /2009 22:39
Un outil en ligne pour tracer une fonction lorsqu'on connait la formule qui donne l'image à partir de l'antécédant.

Il permet de tracer jusqu'à trois fonctions en même temps
(il faut choisir la fenêtre de la fonction : f , g ou h et la définir)



On peut utiliser un paramètre représenté par la lettre a dont on peut fixer la valeur entre deux valeurs que l'on choisit.
Il est utilisé ici pour la fonction h(x).




La courbe correspond ici a la valeur 0,05 pour a .


En déplaçant le curseur sous a on en change sa valeur (ici entre -1 et 1)

En déplaçant le curseur sous les graphiques, on voit le point qui correspond pour chaque fonction (hauteur différente) à la valeur de x (sur l'axe horizontal) repérée par ce curseur.

On peut ainsi déterminer (approximativement) le lieu où deux courbes se coupent.
C'est à dire la valeur de
x pout laquelle les deux fonctions donnent la même image.


Ici on voit que pour  x = -2, les fonctions f et g donnent la même image, qui est ici 1.

On peut vérifier par le calcul sachant que dans le cas donné

   
 
Fonction du premier degré,
qui correspond à une droite
  Fonction du premier degré,
qui correspond également à une droite.
 
 
Fonction du second degré (avec x²)
qui correspond à une courbe (ici une parabole)



Pour utiliser cet outil, cliquer sur le dessin ci-dessous
(il correspond à une courbe que l'on étudie par en collège et que l'on nomme hyperbole)




ou ici http://nlvm.usu.edu/fr/nav/frames_asid_109_g_4_t_1.html?open=activities





Chapitre correspondant sur le manuel de troisième Sesamath



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4 mars 2009 3 04 /03 /mars /2009 20:34
Etrange visite ce jour d'un représentant de chez xxxxx* souhaitant savoir en quoi le collectif des professeurs de mathématiques de notre collège est content du manuel sésamath 5 ème.

   
Cahier
  Cahier
  Cahier


J'ai tenté lorsqu'il m'a abordé de lui conseiller de ne pas chercher à aller trop loin dans l'entretien, déclarant que ce que je pourrais dire ne serait pas vraiment pertinent dans le cadre de son enquête, puisqu'avant d'utiliser le manuel Sesamath, je travaillais en général quasiment sans livre de mathématique.
Mais il a tout de même insisté.
...
A la fin de l'entretien, j'ai senti comme un léger malaise.
Il reviendra, comme je lui avais conseillé au début de notre échange, voir une de mes collègues pour avoir un point de vue plus ... objectif et pertinent.

Il est difficile de comprendre le concept d'ouverture tel que le pratique l'équipe de Sesamath à ceux qui ont toujours tout fermé.

Apparemment ils oeuvrent là pour chercher à saisir et capturer ce qui fait la richesse et la réussite de Sesamath.
C'est tout à fait contre leur nature**, et l'enjeu semble hors de portée.

A moins de fonctionner comme dans certaines industries où le produit qui gène est éliminé à l'aide d'une norme mise en place pour interdire sa pratique et la différence qui en résultat.


vederemo ...




* un scrupule me prend de citer le nom de cet éditeur tant la démarche me paraît ...
** aussi différent que notre démocratie de ce que propose le collège Matéo ici


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1 mars 2009 7 01 /03 /mars /2009 21:09
Il est vrai que parfois un problème
par exemple
"quelles sont les figures qui, pliées exactement sur elles-mêmes, gardent exactement la même forme"*
saisissent les bords de la boite en calcium
et font utiliser à certain l'expression mentionnée dans le titre

Mais avouez qu'il y a tout de même pire (sourire)²



                        
simple prise de tête par vous
 
              La prise de tête "simple" c'est déjà quelquechose !  
     
  Quant à la double prise de tête,
personnellement je préfère tout de même le problème des ressemblances (sourire)²²²
 
   







_____________________
* Ici la solution (les) sont relativement aisées à trouver. (L'imprimerie en utilise une chaque jour, l'autre possède un côté en moins.)
  La démonstration de l'unicité l'est un peu moins.

voir
Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose

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28 février 2009 6 28 /02 /février /2009 11:51
J'ai évoqué un problème qui pourrait très bien illustrer la notion de fonction et, dans un brevet des collèges un peu ambitieux, donner quelques questions nécessitant de la réflexion autant que du calcul.


Avec une recherche du côté du rectangle d'aire optimale.

Une version un peu plus difficile est celle où monsieur Voué choisit de clôturer un espace triangulaire.

Plus difficile notamment parce qu'il comporte deux variables comme on pourra s'en rendre compte en regardant les deux animations ci-dessous.




Ici on choisit pour l'un des morceaux de la clôture (un des côtés du triangle qui s'appuie sur le mur) la valeur 5,22m (AQ)
L'autre côté mesure donc 4,78m
(10m de clôture en tout).
Mais cela ne détermine pas entièrement le triangle puisqu'on peut faire varier les angles.
Ici, en déplaçant (sur trace en poche) le point P, on peut faire varier l'ange en A.

On voit que l'aire du triangle commence par augmenter, puis diminue progressivement jusqu'à devenir voisin de zéro.





Pour ce second cas, on choisit pour l'un des morceaux de la clôture (un des côtés du triangle qui s'appuie sur le mur) la valeur 3.27m (AQ)
L'autre côté mesure donc 4,78m (10m de clôture en tout).

Ici aussi, en déplaçant (sur trace en poche) le point P, on peut faire varier l'ange en A.

On voit que, comme pour l'exemple précédent, l'aire du triangle commence par augmenter, puis diminue progressivement jusqu'à devenir voisin de zéro.

On constate également que la valeur maximale obtenue est inférieure à celle du choix précédent.

En fait, la valeur maximale est obtenue pour une figure symétrique (on s'y attend un peu puisqu'il s'agit d'un maximum)
Et donc pour AQ = QD = 5m.

Pour rechercher ce maximum de l'aire, je te propose de recopier le script ci dessous dans
Trace En Poche  :
  @figure;  
 
   A = point( -5 , 6 )  { fixe };
  B = point( 5 , 6 )  { fixe };
  sAB = segment( A , B )  { sapin , 3 };
  ceAB = cercle( A , B )  { bleuciel };
  P = pointsur( ceAB , 356.94 );
  dAP = droite( A , P )  { bleuciel };
  sAP = segment( A , P );
  Q = pointsur( dAP , 0.33 );
  ceAQ = cercle( A , Q )  { bleuciel };
  C = intersection( sAB , ceAQ , 1 )  { sansnom };
  C1 = intersection( sAB , ceAQ , 2 );
  ceQP = cercle( Q , P )  { bleuciel };
  D = intersection( sAB , ceQP , 1 )  { sapin };
  D1 = intersection( sAB , ceQP , 2 )  { sansnom };
  sQD = segment( Q , D )  { sapin , 3 };
  sAQ = segment( A , Q )  { sapin , 3 };
  sAD = segment( D , Q )  { sapin , 3 };
  sDB = segment( D , B );
 
     
  (dans la fenêtre Analyse, les formules qui donnent les mesures et notamment celle de l'aire du triangle)  
  aire(ADQ) =
AQ =
QD =
périmètre(ADQ) =
 
  Il faudra ensuite cliquer sur le sigma majuscule (S grec) pour obtenir ces mesures  

Surprise, la valeur maximale est celle que l'on obtient pour le plus grand des rectangles (voir Fonction - Aire d'un champ pour une cloture de longueur donnée)

Et dans le cas du triangle, les poules ont un plus grand périmètre disponible !
(bien évidement, la partie qui donne sur un espace visible reste la même puisqu'il s'agit des 10 m de clôture, le reste étant en appui sur le mur)

Pour calculer ce périmètre, puisque l'angle en A sera connu (si tu me le proposes en commentaire, je confirmerai éventuellement), on pourra utiliser les rapports trigonométriques*.



dans le triangle AHQ, dès lors qu'on a déterminé l'angle qui correspond à l'aire la plus grande, on peut se servir du cosinus de l'angle en A
(rapport du côté adjacent à l'angle, sur l'hypoténuse AQ du triangle)


Comme dit si bien le manuel sésamath : ATDJ*

____________
A Toi De Jouer





* Chapitre du manuel sésamath pour une petite révision :
G2 : Trigonométrie
    Sur Math en Poche : G2 : Trigonométrie
  Sur le matou matheux :  La trigonométrie

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23 février 2009 1 23 /02 /février /2009 22:20
Ce pourrait être un problème du brevet, il est en rapport direct avec la notion de fonction.


Fichier:Illustration Prunus persica0.jpg
Monsieur Voué a un pêché dont il a donné la moitié à son voisin* mais c'est d'une autre de ses propriétés que nous allons parler.

Ce qui nous préoccupe ici c'est son petit champ carré qui s'appuie sur un mur de 10 m de long et que monsieur Voué voudrait bien entourer.

Malheureusement il ne dispose que de 10 m de cloture
(un rouleau de 10m de grillage).

Il décide donc d'utiliser au mieux ces dix mètres en se servant de son mur et d'entourer le rectangle le plus grand possible.

Cela donne différentes solution, dont tu peux voir quelques unes sur l'animation  ci-dessous :

Le mur est ici le segment [AB]
Je n'ai pas représenté tout le champ
c'est inutile avec ce qu'on a de clôture on ne peut arriver qu'à la moitié de sa seconde dimension.

Suivant la manière dont on utilise la clôture pour les deux côtés perpendiculaires au mur, il reste plus ou moins de longueur pour le troisième.
Et l'aire du rectangle dépend de ces mesures on dira "est fonction" de (ici fonction du premier côté choisi).

En faisant varier la longueur de MM',
 on définit aussitôt NN' (qui a la même longueur)
ce qui reste alors est utilisé pour le troisième côté.

Si on nomme
x la longueur NN'
on a donc MM' = x (même longueur)
et
M'N' = 10 - (
x + x )
C'est à dire M'N' = ...


Connaissant les deux dimensions du rectangle
(longueur et largeur)
on peut donc calculer l'aire de la figure correspondante.


(2 fois le côté 1 + le côté 2 correspond à la totalité de la clôture
c'est à dire à 10 m)

Ce tableau tu peux le réaliser avec un tableur
il te permettra de trouver la meilleure figure possible
pour une aire optimale.

Tu peux également tracer la figure avec Trace En Poche
en utilisant le script ci-dessous.


@options;

@figure;
  A = point( -5 , 6 )  { fixe , car+4 };
  B = point( 5 , 6 )  { fixe , car+4 };
  sAB = segment( A , B )  { grisfonce , 3 };
  I = milieu( sAB )  { bleuciel };
  sAI = segment( A , I );
  sIB = segment( I , B );
  M = pointsur( sAI , 0.98 );
  ceMA = cercle( M , A )  { bleuciel };
  perpMsAB = perpendiculaire( M , sAB )  { bleuciel };
  M'1 = intersection( perpMsAB , ceMA , 1 )  { bleuciel };
  M' = intersection( perpMsAB , ceMA , 2 );
  N = symetrique( M , I );
  perpM'perpMsAB = perpendiculaire( M' , perpMsAB )  { bleuciel };
  perpNperpM'perpMsAB = perpendiculaire( N , perpM'perpMsAB )  { bleuciel };
  N' = intersection( perpM'perpMsAB , perpNperpM'perpMsAB );
  sMM' = segment( M , M' )  { 3 };
  sM'N' = segment( M' , N' )  { 3 };
  sN'N = segment( N' , N )  { 3 };
  sMM'1 = segment( M , M' );
  sM'N'1 = segment( M' , N' );
  sN'N1 = segment( N' , N );

@analyse;
aire(MNN'M') = 1.16
périmètre(MNN'M') = 10.24

Les lignes de la partie analyse te permettent d'obtenir directement la valeur de l'aire du rectangle qui est enclôt.

(solution en commentaire )











* Dans le village on dit souvent pêché à Voué, à demie part donnée ! (sourire)²

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19 février 2009 4 19 /02 /février /2009 17:01
Vers des exercices en fin d'article


L'expression écriture littérale est très claire dans l'esprit d'un professeur qui enseigne au collège

Elle l'est aussi dans celui d'un professeur d'école.


Le problème est que ces deux clartés ne sont pas faites de la même lumière !

Il n'est pas étonnant dès lors, que dans l'esprit de celui, l'élève, qui passe de l'un à l'autre il y ait parfois quelques difficultés transitoires, voire pire.

En effet,
écriture littérale d'un nombre signifie (souvent) à l'école primaire : écriture d'un nombre avec des lettres.

C'est ainsi que l'on peut lire sur des sites correspondant à ce niveau.


(pour une petite révision à propos des règles d'orthographe, cliquer sur l'image)

ou encore ceci, à un niveau encore plus élémentaire


Fiche très bien conçue pour réviser les notions élémentaires concernant l'écriture en lettres
c'est à dire effectivement
l'écriture littérale des chiffres
(une autre fiche du même auteur qui combine trois type d'écriture ici )


Pire,
un élève peut rencontrer dans un questionnaire une interrogation dans laquelle ces deux définitions sont en conflit :


L'article indéfini pose déjà problème, car dans le cas de
  73 
par exemple, il n'y a qu'une seule écriture littérale qui est
  soixante treize 

En français bien sûr, car il y a dans le cas de ce nombre et de quelques autres, la variante francophone - d'ailleurs bien plus cohérente avec le reste des écritures littérales françaises - "septante trois"

Pour ce qui est de la réponse, bien évidemment, un élève de l'école primaire répondra FAUX.

Et le questionnaire corrigé lui renverra un mauvais point pour cette réponse, avec le commentaire (dans lequel il manque un minimum d'explications !)



Ici, l'élève qui a parfaitement répondu à la question ne comprendra pas forcément pourquoi "il a faux"



On peut résoudre le problème posé en ne parlant plus dans le cas d'écriture du type
   11a + 7b - 2c   
d'écriture littérale (sous-entendue "d'un nombre" )
mais d'expression littérale

En effet, rien ne nous dit que cette expression désigne un nombre !
Elle peut très bien par exemple si
 a correspond à une pièce de 2€ (deux euros)   
 b correspond à un billet de 5£ (cinq livres)
 et que
 c correspond à une pièce de 1$
désigner alors la quantité qui correspond à
11
pièces de 2€ et 7 billets de 5£ auxquels on soustrait 2 pièces de 1$
ce qui s'écrit, même pour quelqu'un qui n'aurait jamais utilisé d'expressions avec des lettres
    11 x 2€ + 7 x5£ - 2 x1$   

Qui s'écrit plus simplement
(ici aussi, pour n'importe quelle personne qui sait compter ses sous)

    22€ + 35£ - 2  

Après, bien sûr, comme dirait Kipling,
"c'est une autre histoire"


(Comme pour les fractions, il s'agit de trouver une  unité (un dénominateur) commune )




A propos de ce chapitre (voir sur le manuel sésamath ici)
On peut considérer que la principale difficulité des "expressions littérales" au collège

se trouve dans le passage bien trop rapide de   1x  à  x 
souvent traîté "au passage" comme un point annexe du cours
alors que cette convention d'écriture devrait probablement intervenir bien plus tard
après un grand nombre de calculs du type de celui proposé plus haut.

En effet, si l'on permet de conserver la notion
1x le reste va de soit,
et en particulier le fait que  trois fois la quantité    (1x + 2y) 
c'est à dire 3 x (1x + 2y).

vaut  3(1x + 2y)
et par suite
3x + 6y





Pour une
un exercice élémentaire sur Maths en Poche :





Expressions littérales

1. Simplifier le produit précédant une lettre
2. Simplifier le produit précédant une parenthèse
3. Simplifier le produit entre deux lettres
4. Produits particuliers
5. Simplifier une écriture littérale
6. Localiser des produits dans des écritures littérales
7. Substituer dans une écriture littérale


Tous les exercices du chapitre

ici

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16 février 2009 1 16 /02 /février /2009 12:00



"Tous les hommes ont une égale intelligence"

voilà la croyance de base qui fonde les principes d'enseignement de  Jean-Joseph Jacotot et c'est précisément ce qui, pour beaucoup, fait douter de l'utilité de l'enseignement émancipateur de ce docteur en droit et en science qui a fait écrire à Jacques Rancière "Le maître ignorant"

Le malheureux professeur qui oserait émettre une telle proposition en présence de ses collègues ou même d'un inspecteur de l'éducation nationale (... ceux que je connais, il y en a bien sur nécessairement d'autres), se verrait envoyer dans les cordes de la même manière que le pauvre boxeur du "combat avec l'ange" de Jacques Prévert.

Tout de même, une occasion de relancer le débat : les propos d'un jeune prodige autiste, Daniel Tammet qui  a les mêmes conviction que Joseph Jacotot et les développe avec les mots de notre temps à savoir   :
"nous sommes dotés des mêmes capacités à la naissance, mais les conventions sociales, l'éducation et même la biologie brident nos instincts primitifs."



Installé depuis peu à Avignon, ce jeune savant anglais de 30 ans est atteint du syndrome d'Asperger, une forme d'autisme caractérisée par des capacités intellectuelles hors normes. Comme le personnage incarné par l'acteur Dustin Hoffman dans le film Rain Man, Daniel Tammet est un génie des nombres. Il parle aussi une douzaine de langues.


  "Le propre des génies, c'est d'être compris de tous, pas le contraire", martèle Daniel Tammet. Dans son dernier livre intitulé Embrasser le ciel immense et publié aux éditions Les Arènes, le jeune Britannique tente d'expliquer le fonctionnement très particulier de son cerveau et d'enseigner ses techniques d'apprentissage.
Son postulat est simple : nous sommes dotés des mêmes capacités à la naissance, mais les conventions sociales, l'éducation et même la biologie brident nos instincts primitifs. Une théorie qui pourrait bien révolutionner les connaissances sur l'intelligence humaine. Un schéma que le jeune savant est même prêt à soumettre aux scientifiques.
 
  http://ledauphine.com/avignon-daniel-tammet-serait-l-8217-un-des-plus-grands-cerveaux-au-monde-un-autiste-de-genie-se-devoile-@/index.jspz?chaine=14&article=99851  



Pour écouter une courte intervention de Daniel Tammet clique sur sa photo :








Pour les angliscistes une longue vidéo dédié à ce personnage étonnant et sympathique.


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16 février 2009 1 16 /02 /février /2009 11:41
Pour t'entraîner un peu à l'addition de deux fractions
à partir de celles que l'on peut visualiser graphiquement par un (équi)partage d'un rectangle
Je te propose un programme qui vient des USA, mais qui est heureusement traduit en français.

Tu devras
1) trouver un dénominateur commun aux deux fractions proposées.
Tu pourras pour cela te servir de leur visualisation sous forme de fraction d'aire

2) additionner les aires correspondantes

3) en déduire la fraction résultat (
somme)



Pour accéder au programme, clique sur l'image

Tu pourras choisir le niveau de difficulté
(en cochant la case facile; moyen; difficile)

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