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17 avril 2009 5 17 /04 /avril /2009 17:57

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/----2008/sesamaths/6/le-manuel.jpg


Le voici, flambant neuf.


Toutes les pages sont visibles en diaporama (cliquer sur la couverture pour y accéder)


Comme pour les autres manuels, particulièrement utile : un lexique 




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5 avril 2009 7 05 /04 /avril /2009 23:36
Pour expérimenter la répartition des tirages d'un dé dans des cas simples
lancement d'un dé
ou un peu plus complexe
si on en lance deux et qu'on se pose la question de la somme, de la différence, du maximum (le dé qui donne la plus grande valeur).


Pour accéder au programme clique sur l'image.



Simulation du tirage de boules dans une urne
(étude des "arbres des possibles".)


Avec une seule boule

Avec deux boules






Autres outils disponibles sur le site du matou matheux



 

Pile ou face

Lancer de dé

Lancer de dés

Tirage de cartes (1)

Tirage de cartes (2)

Tirage de cartes (3)

Radar circulaire

Radar carré

Cible circulaire



Exercices proposés par le site sur ces thèmes

(on y utilise les outils précédents et on observe ou réfléchi à propos des probabilités d'un évènement)

Pile ou face

Lancer de dé

Lancer de dés

Un jeu de cartes (1)

Un jeu de cartes (2)

Un jeu de cartes (3)

Radar carré

Radar circulaire

Cible circulaire









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2 avril 2009 4 02 /04 /avril /2009 16:23
On peut avoir besoin (voir Probabilités en troisième - l'approche fréquentiste ) de nombres choisis au hasard,
par exemple pour simuler le lancement d'une pièce

Sur une calculatrice, il existe un certain nombre de calculs qui donnent des résultats imprévisibles (au moins en partie)

C'est le cas des fonctions trigonométriques.

Ainsi si je prends le nombre 88856 et que je calcule son sinus, il est difficile de prévoir par exemple les quatrièmes et cinquièmes décimales.


On peut donc utiliser ce procédé pour générer des nombres (à peu près) aléatoires de deux chiffres (ou un, ou trois, ou plus)

Ici le nombre de deux chiffres (au plus) qui correspond, est
   94  
(quatrième et cinquième décimale)

Sur un tableur, une fonction fournit des nombres aléatoires.
Il s'agit de    ALEA()
qui donnera par exemple le résultat suivant


Pour obtenir un nombre de deux chiffres (au plus) on multipliera le résultat par 100
puis on prendra la partie entière (sur le tableur c'est la fonction  ENT()

Ce qui donnera ici ENT( ALEA()*100)  et comme résultat :
   83  
 

--------------------
Note : Pour utiliser la calculette au-dessus, il suffit de cliquer sur son image.


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2 avril 2009 4 02 /04 /avril /2009 07:13
Beaucoup de collègues sont gênés comme je le suis, de ce mélange de modèles et de réel au limites floues et qui transforment parfois le cours de mathématiques en séance de justification des contours arbitraires donnés à la réalité de l'expérience.



     
  "Et si ça tombe sur la tranche ?" ... "C'est pas un évènement ça?"
(tentative de réponse) : "Dans ce cas, on relance !"
"Pourquoi ?" ... "et si ça retombe plusieurs fois sur la tranche ?"
"Et l'usure de la pièce, comment on la prend en compte dans le modèle ?" (et encore plus pertinent) "la valeur qu'on trouve est donc une moyenne entre l'état initial et l'état final (toujours en évolution l'un vers un autre), pourquoi cette moyenne est-elle alors le modèle ?" ... "modèle de quoi ?" ... "à quoi sert-il puisqu'il est dépassé ?" ..." comment intégrer ce qui tiendrait alors lieu d'accélération ? " (la modification du modèle dans le temps du fait de cette usure)
 
  Si on prétend ne pas modéliser à priori, il est difficile de ne pas recevoir et traîter ces questions.
A moins que le travail préalable en mathématiques (avant la troisième) ait pour objectif de faire disparaître ce genre de question, y compris lorsque les mathématiques prétendent s'ouvrir totalement à la réalité, sans concession (abstraction avant expérience)
 



Une des solutions à tout cela* pourrait-être l'étude d'objets qui ne sont pas sensibles au temps et à ces données du réel susceptibles de faire irruption.

Ces objets, les mathématiques en disposent, ce sont les nombres.

Ainsi, plutôt que d'étudier la chute d'une punaise, dans laquelle les paramètres qui rendent la situation difficile à gérer pour certains élèves sont très nombreux, on peut par exemple étudier l'apparition des différents chiffres dans un nombre choisi au hasard, auquel on aura appliqué un certain traîtement.
Traîtement analogue à la chute, mais bien plus limpide, bien que ne permettant pas de prévoir "a priori" une régularité, une loi, un modèle.

Un exemple parmi d'autres :

Choix d'un nombre au hasard parmi les nombres entiers,
Calcul du carré
On prend alors le chiffre des dizaines du résultat.

Les évènements sont bien sur "le chiffre est un 0", "le chiffre est un 1", ... , "....9"

L'étude donne un résultat intéressant, que l'élève peut difficilement prévoir, et qui permet d'en passer par toutes les notions théoriques que le programme entend toucher.

(A moins que l'objectif soit tout autre ?)


Exemple de traîtement de cette activité sur un tableur
(on peut donner une partie du travail à faire ou s'en servir pour l'observation, qui ici ne peut-être discutée comme faisant des coupures dans le réel. Puisque ce réel est sans épaisseur ... et donc sans tranche )

Nombres de 0,1,2 ... 9 obtenus pour 1000 tirages,
 en chiffre des unités du nombre

et fréquence correspondante


Nombres de 0,1,2 ... 9 obtenus pour 1000 tirages,
 en chiffre des unités du carré

et fréquence correspondante



Nombres de 0,1,2 ... 9 obtenus pour 1000 tirages,
 en chiffre des dizaines (du carré)

et fréquence correspondante


Les résultats sont assez intéressants et justifient parfaitement la méthode utilisée (expérimentation) pour découvrir un résultat relativement inattendu.

Notamment parce que si ceux concernant le chiffre des unités du carré peuvent être déterminé par une exploration des cas
pour le chiffre des dizaines il en va tout autrement
Cette exploration expérimentale est donc tout à fait pertinente.


Ces résultats justifient également le fait que pour générer des nombres aléatoires il vaut mieux ne pas user d'une série de calcul qui utise le carré.


Pour charger le tableau sous open office cliquer sur l'image




Pour excel c'est ici


* Pierre higelé, dans son outil de remédiation "les Ateliers de Raisonnement Logique"**, se garde bien de travailler tout de suite avec le réel, qui est pourtant le but visé, et propose dans un premier temps des objets aux attributs ayant des états discrêt et eux-mêmes dénombrables.
C'est de la même manière qu'il conviendrait de procéder dans le domaine des statistiques si on ne veut pas introduire une confusion préjudiciable (elle l'est si l'on ne dispose pas de suffisamment de temps pour "faire le tour" du modèle)

** Créé avec Elisabeth Perry Patrick Tabary et Gérard Hommage

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31 mars 2009 2 31 /03 /mars /2009 14:55
Pour accéder à la simulation, cliquer sur son image



Voilà un petit programme qui te permettra de simuler le lancement d'une pièce.

Comme tu peux le voir, il suppose quelque chose à propos de cette pièce, puisqu'il définit "a priori" la "probabilité de tirage" (il est assez facile de comprendre ce que cela veut dire ici*)

Donne simplement le nombre de tirages que tu souhaites, (s'il dépasse 9999 il faudra en faire plusieurs)
puis appuie sur DEMARRER


Si tu désires simuler le tirage de deux pièces, il suffit de noter deux tirages successifs (que l'on supposera faits en même temps)


Autre programme qui permet la simulation d'un lancer



Ici, je te propose un fichier qui te permettra de simuler le tirage et de voir quelques observations que l'on peut faire à partir des données obtenues. (Notamment la répartition "deux piles" ; "deux faces" et "une de chaque")


Clique sur l'image pour le tableau au format open office

sinon ici pour excel

Les travaux de maths en poche sur ce thème

1. Une chance sur ...
2. Avec un jeu de 32 cartes
3. Avec deux lancers
4. Avec une urne




*Le 0,5 suppose que la pièce est symétrique et donc tombe aussi bien d'un côté que de l'autre
(le modèle de pièce est donc supposé a priori)
 


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27 mars 2009 5 27 /03 /mars /2009 21:32
(en matière de correction du travail fait en classe, pour ceux qui ont été jusqu'au bout de l'activité proposée)



ABEF et BEDC sont des carrés de 1m de côté.

Le point P est mobile sur le segment [AB] et l'on nomme x la distance AP.

GB = PBPBG est donc un triangle isocèle rectangle

HI = IP' = P'B = BH , HIP'B est donc un carré.




On étudie l'aire (variable) de ces deux figures
et en particulier la valeur de
x pour laquelle leurs aires sont égales.

Dans la fenêtre d'analyse de Trace En Poche, on peut voir que cette égalité est obtenue pour une valeur de
x comprise entre 4 et 5.

Une étude des formules associées aux aires de ces deux figures permet de calculer plus précisément la valeur de
x recherchée.

(Ce sont toutes les deux des "fonctions" qui font correspondre au nombre
x,  l'une l'aire du triangle et l'autre celle du carré)
 

Puisque le triangle a pour base et pour hauteur 1- x  (en mètre)
d'ou la valeur de son aire ...

Quant au carré, son côté vaut
x  (en mètre)
d'où la mesure de son aire ...


L'égalité est donc obtenue lorsque ces deux formules donnent le même résultat.

Ce qui conduit à l'égalité ...

Une étude avec excel des valeurs que l'on obtient donne le tableau suivant



Tableau auquel correspondent les trois graphiques qui permettent de visualiser la variation de l'aire du triangle, du carré et de leur somme, en fonction de
x  .



On voit qu'il ne s'agit pas du tout d'une situation de proportionalité et donc d'une fonction qui n'est pas linéaire, (elle n'est pas non plus affine, puisque c'est une courbe).
.




On peut obtenir bien mieux si l'on utilise un véritable traceur de courbe, à partir de l'expression qui donne l'image de x pour chacune des trois fonctions et qui est assez facile à déterminer d'après ce qu'on a dit des deux figures
.




On voit bien mieux ici la valeur minimale pour l'aire totale (entre 3,25 et 3,5)
ainsi que celle pour laquelle l'aire du triangle est égale à celle du carré.


Tu trouveras un grapheur multifonction (permettant de tracer plusieurs courbes en même temps)  en cliquant sur ce graphique.

Pour avoir une idée encore plus précise de la valeur pour laquelle les deux aires sont égales, tu peux demander à un outil de Wims de te calculer la valeur minimale que prends la différence de ces deux aires.

C'est ce qui a été fait ci-dessous.


 
On voit que la valeur approchée de x  pour laquelle la différence des aires est nulle (et donc pour laquelle elles sont égales) est 0,414  (au millième près.)
 
Pour le voir par toi même, clique sur la figure

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25 mars 2009 3 25 /03 /mars /2009 10:28
Avant de commencer,  si tu as un peu de temps, un petit détour par
cette visualisation des pourcentages






Aujourd'hui tu vas avoir l'occasion d'évaluer ce que tu as compris des notions "d'échelles" en rapport avec la proportionnalité de deux figures géométriques.


Pour cela, Maths En Poche  propose un ensemble d'exercices


1. Calculer l'échelle
2. Calculer la dimension réelle
3. Calculer la dimension représentée
4. Echelle d'agrandissement
5. Mesures et échelles


A toi  ...

___________________
Autres ressources

Echelle II  déterminer une distance réelle lorsqu'on connaît l'échelle et la distance sur la carte

Avec le Matou Mateux

La notion d'échelle sous toutes ses coutures
Agrandissement ou réduction ? Exercice simple, de mise en condition
Modifier une image Une démonstration qui sert pour l'exercice suivant
Mettre à la bonne échelle Attention la question est en bas de la page.
Retrouver une échelle Ici, un peu de bon sens est nécessaire.
Différentes représentations On change la couleur de la case (du milieu) en cliquant dessus (trois couleurs au choix)
Une image numérique Utilisation de l'échelle pour réduire ou agrandir une image


 

 

 

 

 

Des calculs utilisant cette notion
Calculer la distance sur le plan Tu disposes d'une carte et de son échelle
Calculer une longueur On te donne une image et la longueur visible ainsi que l'échelle
Calculer l'échelle Même travail que dans l'exercice précédent, mais c'est l'échelle qu'il faut calculer à partir des longueurs réelles et du dessin.
Problèmes divers Mélanges de situations.
Si tu t'en sors, alors rien ne t'échappe des subtilités de la notion d'échelle.


 

 

 

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25 mars 2009 3 25 /03 /mars /2009 07:23

Je te propose aujourd'hui une séance de consolidation autour des racines carrées
et pour commencer,

sur
Maths En Poche

Quelques travaux sur la définition de racine carrée.

1. Découverte, définition, notation
2. Carré d'un radical
3. Radical d'un carré
4. Radicaux et additions ou soustractions (conjectures)
5. Radicaux et multiplications ou divisions (conjectures)
6. Radical et produit
7. Radical et quotient

Si un exercice te semble trop facile, passe le, il s'agit ici d'un travail à la carte.

Continuons en calculant quelques valeurs approchées.

Valeur approchée d'une racine carrée.
(je te conseille de faire entre 5 et 10 calculs
tu peux bien sur utiliser la calculatrice qui se trouves dans tes accessoires)

Pour toucher plus précisément du doigt (celui qui est dans la tête) ce qu'est la racine carrée d'un nombre (positif) poursuis par quelques travaux numériques.

Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau I Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau II Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau III



A présent que tu as quelques repères numériques en tête,

avec 
Maths En Poche,  voici un travail sur le produit et le quotient de deux radicaux



6. Radical et produit

7. Radical et quotient


Après ce petit point de révision, une série d'exercices qui te permettront
de revoir les règles concernant les racines carrées
et de te familiariser avec les exercices types en rapport avec cette notion.


1. Calcul mental
2. Calculs liés à la définition
3. Carrés de produits
4. Carrés de quotients
5. Radicaux complexes
6. Radicaux et produits
7. Radicaux et quotients
8. Synthèse (produits et quotients)


Autres exercices à la carte pour ceux qui voudraient complêter ce travail

Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau I
Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau II
Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau III
Tableau de décimaux.

 Nombre, carré et racine carrée,
compléter un tableau en utilisant des valeurs proposées (décimales)

Développer/réduire   Développer et réduire des expressions comportant des radicaux  niveau I.
Développer/réduire   Développer et réduire des expressions comportant des radicaux  niveau II
Ecriture réduite   Ecrire une expression comportant un radical sous une forme dans laquelle le nombre "sous la racine" est le plus petit possible.
Tableau d'entiers   Nombre, carré et racine carrée,
compléter un tableau en utilisant des valeurs proposées (entières)





L'ensemble des exercices du chapitre Racines carrées de

M
aths En P
oche

se trouve en lien ci-dessous

Maths en Poche Troisièmes : Chapitre Racines Carrées

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24 mars 2009 2 24 /03 /mars /2009 21:19
Il est d'usage en mathématiques de raisonner pour avoir une idée du résultat, voir même le prévoir.
Cela suppose l'usage de catégories et donc de la généralisation (CF. Abstraction)

En statistiques on peut ainsi en considérant les possibilités qu'une pièce de monnaie a de tomber sur l'une ou l'autre face, modéliser cette pièce en la considérant comme un cylindre d'épaisseur suffisamment petite pour être négligée.

Cela permet
1) de ne pas prendre en compte la possibilité de s'immobiliser sur la tranche
2) de supposer comme équi-probables (aussi probable l'une que l'autre) les possibilités de s'immobiliser sur face ou sur pile.


Dès lors la question en rapport avec la "probabilité" de l'un ou l'autre évènement est réglée sans avoir besoin d'expérimenter.

Une autre approche elle s'interdit la modélisation raisonnée.
Elle s'interdit donc également la généralisation (ou devrait se l'interdire)

On part donc d'une pièce de monnaie à laquelle on fait subir un grand nombre d'expériences (chute)
puis, à partir des résultats obtenus, on définit le modèle de la pièce qui correspond dans le cas d'une pièce de monnaie, le plus souvent au fameux 50%  50%.

Pourtant même dans ce cas, si l'exigence de précision était celle dont ont besoin ceux qui souhaitent envoyer un objet à des milliards de kilomètres, et qui ont donc besoin d'un grand nombre de décimales, alors il est tout à fait évident que notre pièce réelle, n'étant pas totalement symétrique (souvent le côté face, et pour cause, a plus de volume et donc de poids), le modèle serait lui aussi, à partir d'un certain nombre de décimales, dysymétrique.
Pire, à partir d'un certain rang, il est probable qu'il faudrait tenir compte également de l'usure de la pièce (usure qui amortirait la dysymétrie)
Comment les savants probabilistes prennent-ils en charge dans leur approche fréquentiste cette variation dans le temps de leur modèle, eux qui prétendent ne faire émerger leur modélisation que des évènements du réel ?

Dès que je rencontre un de ces éminents personnages assurément, c'est la question que je lui poserai.
 

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23 mars 2009 1 23 /03 /mars /2009 17:31

Voici une proposition de travail sur Trace En Poche en rapport avec la proportionnalité.

Pour calculer le quatrième terme d'une proportion, donnée par deux fractions (dont on ignore un des numérateurs ou dénominateur)  ou par un tableau incomplet, on peut obtenir une valeur approchée en procédant de la manière suivante.

8 14
5 ?


1) On place dans le repère le point dont les coordonnées correspond aux deux valeurs connues d'une colonne (Ici c'est le point A(8,5) )
2) On place sur la droite (OA) le point M tel que la première coordonnée correspond à la troisième valeur. (Ici on le fait en déplaçant Mx première coordonnée du point en 14)
3) On lit alors directement la valeur correspondant à 14 comme seconde coordonnée du point M.







Pour faire ce travail, il suffit de charger Trace En Poche
puis de recopier le script donné ci-dessous (copier-coller)

  Script
    O = point( 0 , 0 );
  U = point( 1 , 0 )  { fixe , sansnom };
  V = point( 0 , 1 )  { fixe , sansnom };
  demiOV = demidroite( O , V )  { sansnom };
  demiOU = demidroite( O , U )  { sansnom };
  Mx = pointsur( demiOU , 14 )  { vertfonce , rond2 };
  A = point( 8 , 5 )  { rougefonce , rond2 };
  demiOA = demidroite( O , A )  { violetfonce , 2 };
  perpPdemiOU = perpendiculaire( Mx , demiOU )  { vertfonce , 7 , sansnom };
  M = intersection( demiOA , perpPdemiOU )  { rond2 };
  sOP = segment( O , Mx )  { vertfonce };
  sPM = segment( Mx , M )  { vertfonce , 7 };
  perpAdemiOU = perpendiculaire( A , demiOU )  { rougefonce , 7 , sansnom };
  perpAdemiOV = perpendiculaire( A , demiOV )  { rougefonce , 7 , sansnom };
  perpMdemiOV = perpendiculaire( M , demiOV )  { vertfonce , 7 , sansnom };
  My = intersection( perpMdemiOV , demiOV )  { vertfonce };
  Ay = intersection( perpAdemiOV , demiOV )  { rougefonce };
  Ax = intersection( perpAdemiOU , demiOU );
  texte1 = texte( 0.9 , 16.6 ,"Déterminer le quatrième terme d'une proportion")  { noir , dec2 , car+3 };
  texte11 = texte( 1.1 , 15.8 ,"Placer A pour que les coordonnées du point")  { noir , dec2 };
  texte12 = texte( 1 , 15.2 ,"correspondent aux deux valeurs d'une colonne (ou de la première fraction)")  { noir , dec2 };
  texte13 = texte( 1 , 13.6 ,"Déplacer Mx pour que la valeur corresponde à la troisième valeur connue (MxO)")  { noir , dec2 };
  texte14 = texte( 1 , 12.8 ,"La position My donne la quatrième valeur (MyO)")  { noir , dec2 };
  texte15 = texte( 1 , 14.7 ,"(ces valeurs sont alors AxO et AyO)")  { noir , dec2 };
  texte16 = texte( 0.2 , 2.5 ,"Pour vérifier : le point A(8;5) et Mx en 14  (et donc MxO=14) donne MyO=8,75")  { noir , dec2 };
  Analyse
  AxO = 8
AyO = 5
MxO = 14
MyO = 8.75

Si les valeurs sont trop grandes ou trop petites, on peut prendre un multiple ou un sous multiple.

Ainsi pour les valeurs du tableau ci-dessous

812 122
516 ?

Il suffit de remplacer les valeurs de la première colonne par 8,12 et 5,16
pour obtenir la valeur qui correspond à 12,2 et qui est 7,75

On en déduira le quatrième terme de la proportion
812 / 516  = 122 / ?  


(- pour les élèves de cinquième-  : tu peux me donner cette valeur en commentaire avec ton nom )

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