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28 avril 2009 2 28 /04 /avril /2009 18:43
Pour une révision des acquis de quatrième voir en fin de page



Dans cette séquence je te propose d'utiliser un tableur pour vérifier si le résultat qu'on te propose pour l'aire latérale ou le volume d'une boule est exact.


La méthode 1 du chapitre Géométrie dans l'espace du manuel Sesamath donne les formules dont tu as besoin.



La valeur exacte de pi n'ayant pas d'écriture décimale (on la désigne donc par la lettre grecque que tu connais) comme l'indique la méthode, seule la valeur approchée possède une écriture décimale.

Attention aux unités : celle de l'aire est le m² (ses multiples et sous-multiples)
qui correspond bien au calcul
(on peut aussi écrire dans le calcul de l'exemple
    A = 4 x pi x (5cm)2
qui fait comprendre pourquoi on obtient des m2

De même pour le volume
V = 4/3
x pi x (5cm)3

qui fait comprendre pourquoi on obtient alors des mètres cubes (m3)

Pour commencer l'exercice, clique sur l'image du tableau ci-dessous.


OO

Pour initialiser le tableau il faudra taper au clavier [Ctrl] et [Maj] plus la touche [D]
(maintenir les deux premières et taper un léger coup sur la dernière)
Les macrocommandes doivent être autorisées (voir dans les paramètres de sécurité du tableur)



Révision des aquis de quatrième concernant les volumes
sur
le matou matheux




Prismes droits et cylindres

Le moule à cake

La cuisine

La boîte de conserve

L'aquarium

Le tank à lait

La grume



Rappel des formules utiles
(sur le manuel sesamath)



clique sur l'image pour accéder à la méthode complète sur le manuel de cinquième.



clique sur l'image pour accéder à la méthode complète sur le manuel de quatrième.



Entrainement
(sur Maths En Poche )


Niveau cinquième
1. Formule pour le cylindre
2. Volume d'un cylindre
3. Volume d'un prisme
4. Volume d'un pavé
5. Volume d'un prisme (bis)


Niveau quatrième

7. Volume de cônes
8. Volumes de pyramides
9. Utilisation du volume de la pyramide
10. Utilisation du volume du cône
11. Volumes et solides


Niveau troisième
6. Aire
7. Volume


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26 avril 2009 7 26 /04 /avril /2009 11:01



Certains ont peut-être joué au chifoumi plus connu sous le nom de "pierre-feuille-ciseaux".
C'est à ce divertissement auquel joue le président de l'entreprise ou travaille l'héroine du film "Louise - Michel*", avec son responsable des ressources humaines.

Au début du film, avant que ... (je ne peux que vous conseiller d'aller le voir) ce dernier s'étonne de perdre constamment.
Il a tort d'être surpris ... il joue très mal.

Car si Chifoumi est un jeu de hasard, la bonne stratégie d'après les spécialistes, consiste à jouer de façon tout à fait aléatoire (ce ne serait pas l'avis d'un joueur de poker.)

Or, il est très difficile à un humain de jouer de façon purement aléatoire
(aux machines aussi, mais les programmeurs leur mettent au point des "ruses" qui donnent l'illusion de l'aléatoire).



Le tableau ci-dessous donne le combinaisons possibles et le résultat

      contre      
                     perdu Caillou   Feuille gagné                     
  perdu Caillou   Ciseaux gagné  
  égalité Caillou   Caillou égalité  
  perdu Feuille   Ciseaux gagné  
  égalité Feuille   Feuille égalité  
  égalité Ciseaux   Ciseaux égalité  
             


C'est-à-dire en langage des mains

      contre      
                     perdu Fichier:SssStein.jpg   Fichier:SssPapier.jpg gagné                     
  perdu Fichier:SssStein.jpg   Fichier:SssSchere.jpg gagné  
  égalité Fichier:SssStein.jpg   Fichier:SssStein.jpg égalité  
  perdu Fichier:SssPapier.jpg   Fichier:SssSchere.jpg gagné  
  égalité Fichier:SssPapier.jpg   Fichier:SssPapier.jpg égalité  
  égalité Fichier:SssSchere.jpg   Fichier:SssSchere.jpg égalité  
             


Avec la correspondance

         
  ciseaux Fichier:SssSchere.jpg  
                      pierre Fichier:SssStein.jpg                             
  feuille Fichier:SssPapier.jpg  
         




Pour des joueurs conscients, seul le résultat du premier coup est totalement aléatoire.
(quoi que ... car deux joueurs qui ont l'habitude de se rencontrer peuvent avoir un "passé de premiers coups")
Et comme la répartition des combinaisons gagnantes est équilibré, on peut en déduire, sans avoir besoin de recourir à une simulation, qu'il y a équi-probabilité (1/3 ; 1/3 1/3)
Il n'y a donc pas de stratégie particulière pour le premier coup.

La rêgle qui veut qu'on "ne peut pas rejouer deux fois la même figure" influence beaucoup le jeu, comme on va le voir plus bas.

En restreignant les choix, elle en fait un jeu où l'historique des coups influence beaucoup les joueurs qui ne peuvent s'empécher de chercher à deviner l'idée qui, dans la boite en calcium de l'adversaire, a conduit au résultat.

 

***********

**** tournoi de chifoumi*******

Voyons le fonctionnement du jeu sur un début de partie.

Imaginons que

           
                       René joue Fichier:SssStein.jpg et que Hélène joue Fichier:SssPapier.jpg                 
           

Fichier:SssStein.jpg
                    
                      Non seulement René a perdu, mais il ne peut plus jouer
  :                                 Fichier:SssSchere.jpg  
                     Or
                    
ce coup
                                   est le seul coup qui permet de gagner contre

                    Donc, si Hélène joue ciseau elle ne peut pas perdre.
                    Et René doit absolument dans ce cas jouer également ciseaux.


                                  Mais comme Hélène désire gagner, il est possible qu'elle joue la figure
                    qui permet de gagner contre ciseaux et qui est "pierre".

                    S'il compte sur cette ruse, René peut jouer "feuille".
                    Si Hélène n'y a pas pensé ... (ou a "rusé x 2" ) il perd !

Le patron du directeur des ressources humaines de l'usine où travaille apparemment Louise gagne tout le temps parce qu'il connait bien son employé, alors que celui-ci a du mal à comprendre la stratégie de son chef.

Il est donc essentiel, pour ne pas perdre, de ne pas laisser voir de régularité à son adversaire, c'est à dire d'être imprévisible, et donc totalement aléatoire.

Mais pour gagner, on ne peut se contenter de ne pas perdre.
C'est tout l'intérêt de chifoumi :
"pour gagner il ne faut pas jouer (du moins pas toujours) suivant la stratégie qui permet d'éviter la perte"

Chi ... Fou ...

Une autre version du jeu (avec une figure supplémentaire) est plus intéressante à étudier du point de vue des probabilités parce que la répartition des combinaisons gagnantes n'est pas équilibrée.

La stratégie est donc un peu plus complexe, et pour notre étude des probabilités, cette version sera donc plus intéressante.

(à suivre ...)    

en attentant,
pour jouer à ChiFouMi en ligne

Cette version en ligne vaut le détour car l' "adversaire ordinateur" joue avec un rudiment de "intelligence simulée "(appelée également "intelligence artificielle" par ceux qui adoptent la définition anglo saxonne du mot "intelligence").
On peut s'en rendre compte en jouant plusieurs fois de suite la même figure, ou la même séquence (feuille puis ciseaux par exemple)

Ou encore en jouant toujours le même coup (ou la même suite de coups) et en calculant la répartition des réponses de l'ordinateur entre les trois figures.


Remarque : dans cette version du jeu, il est autorisé de jouer plusieurs fois de suite la même figure
(Petit travail : on peut se demander ce que cette règle change en ce qui concerne les probabilités de gain en rapport avec les évènements possibles)


Peu content de mes propres simulations sur tableur, je remercie d'avance celui qui proposera une simulation permettant de conserver les tirages déjà effectués et de totaliser les gains.

Une anecdote que rapporte l'encyclopédie wikipedia :

En 2005, le président d'une grande compagnie japonaise a fait jouer à ce jeu les représentants de Christie's et de Sotheby's pour décider laquelle des deux firmes pourra organiser la vente d'une collection de tableaux impressionistes. Les ciseaux de Christie's ont battu le papier de Sotheby's.[2




* Film qui fait écho (bien au-delà du clin d'oeil) à la formidable femme que fut Louise Michel

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24 avril 2009 5 24 /04 /avril /2009 23:39
Je te propose de revoir les méthodes de résolution des systèmes d'équations avec les exercices que propose sur ce thème Maths En Poche




Mais tout d'abord faisons le point.

Nous avons vu deux méthodes de résolution,
une qui propose d'isoler une des inconnues (calculer sa valeur en fonction de l'autre) dans une des équations
puis de la remplacer par cette expression dans l'autre équation.


C'est la méthode de substitution
pour accéder à la méthode complète du manuel, clique sur l'image



L'autre méthode, qui a des points commun avec la réduction au même dénominateur pour les fractions, consiste à multiplier l'une et l'autre des équations, de manière à obtenir l'une des deux inconnues avec le même coefficient (dans les deux équations transformées).
On soustrait ensuite une équation à l'autre membre à membre pour obtenir une troisième équation dans laquelle il n'y aura plus qu'une seule  inconnue.

C'est la méthode par combinaison.
pour accéder à la méthode complète du manuel, clique sur l'image



Remarque : le principe reste le même dans les deux méthodes.
On ne sait résoudre que des équations à une seule inconnue. Il faut donc parvenir par l'un ou l'autre des moyens à faire "disparaître" l'une des deux inconnues (par substitution ou combinaison)


Les exercices de maths en poche


L'essentiel et les techniques de résolution


1. Couple solution ?
2. Mise en balance
3. Combinaison (assisté)
4. Substitution (assisté)
5. Synthèse
6. Systèmes complexes
7. Solutions particulières



Utilisation des systèmes d'équations dans des problèmes

1. Mise en système
2. Problèmes en deux temps
3. Problèmes (niveau 1)
4. Problèmes (niveau 2)




Tu peux poursuivre ce tour d'horizon avec le matou matheux
Qui évoque notamment un sens possible du "couple solution" d'un système d'équations à deux inconnues.
Tu dois savoir en effet que ces valeurs correspondent au point d'intersection des deux droites dont l'équation est la première et la seconde équation du système.

Ainsi si on trace la droite d'équation

(1)     y = 3x + 2  
puis la droite d'équation
(2)    2y + 3x = 1  

Les valeurs qui satisfont ses deux équations (et donc qui sont solution du système formé par ces deux équations) sont les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

(pour tracer ces deux droites à partir de leur équation, tu peux utiliser cet outil 
Il faudra tout d'abord transformer la seconde équation sous la forme où l'on donne y en fonction de x
C'est à dire sous la forme  y = -3/2x - 1/2  (qui est équivalente à (2) )


Tu obtiendras alors quelque chose de similaire à ce qui est ci-dessous






Les exercices du matou matheux

 Trouver le bon système

 
Approche graphique

 
Résolution par substitution (de x)

Résolution par substitution (de y)

Résolution

 
Des problèmes

 
Nombre de solutions






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24 avril 2009 5 24 /04 /avril /2009 20:21
Cette page ne concerne pas vraiment les élèves ... mais rien n'est interdit, ici.


Déjà évoquée ici, la question de la substitution, sans le dire, du discret au continu, c'est à dire de quelques milliers de valeurs à l'infinie des valeurs possibles supposées dans un énoncée.

Ainsi, dans cet exercice modèle proposé pour l'introduction des probabilités en troisièmes.

Peut-on réellement prétendre simuler ces deux points aléatoirement choisis sur un segment de longueur 1, lorsqu'on propose des valeurs nécessairement approchées qui ne sont pas considérées comme arrondies, mais comme les véritables données de l'expérimentation.

Un des "lumineux motifs" (pour éviter l'anglicisme) de l'enseignement des probas au collège est "montrer autre chose que l'équiprobabilité".

Pourtant, cette substitution du discret au continu ne suppose-t-elle pas, sans le dire, l'équiprobabilité des nombres réels autour de ces quelques valeurs approchées que saisi le logiciel bougeur de point ou le tableur ?


Image extraite de l'animation qui prétend rendre compte de la situation proposée plus haut.

Si les résultats que produit cette simulation sont exacts, alors il faut supposer que l'ensemble des nombres qu'approche la valeur affichée (ici AB = 0,3) a la même probabilité que l'ensemble des nombres qu'approche toute autre valeur arrondie au centième proposée par le programme informatique.

(Pour le tableau permettant la simulation proposée c'est ici )

En tout autre lieux des mathématiques, on pourrait considérer qu'il y a "pinaillage" mais comme il s'agit ici d'expérimenter dans l'ensemble des nombres réels, la question est au coeur de ce que l'on se propose de faire.

Les élèves de troisième ont à peine commencé à former dans leur esprit une représentation des nombres ... qu'on leur présente comme analogue cet objet que la géométrie nomme une droite, et patatras ! voilà qu'on prétend rendre compte de tout cela à l'aide de ces nombres décimaux (quasi entiers), seuls nombres que connaissaient les élèves jusqu'à la troisième (en quatrième, la racine carrée n'ouvre pas vraiment la porte de l'irrationnel)

Est-ce vraiment en mathématiques également la mort du continu ?*

Doit-on voir ici une justification de plus à la disparition de la géométrie "à figure" (celle où le calcul ne remplace pas tout) dans les nouveaux programmes de seconde ?






* Il doit se régaler (là où il repose) celui qui a pu écrire "Cantor a tort" !

Voir ici
ou ici

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23 avril 2009 4 23 /04 /avril /2009 06:21
Je te propose de faire le point de tes connaissances à propos des polygones en utilisant les exercices que propose sur ce thème Maths En Poche

Tout d'abord un travail sur le vocabulaire
Des triangles
1. Vocabulaire du triangle quelconque
2. Vocabulaire des triangles particuliers
3. Retrouver les points et les segments
4. Tracer le bon triangle


Des quadrilatères
1. Vocabulaire des quadrilatères quelconques
2. Vocabulaire des quadrilatères particuliers
3. Retrouver les points et les segments
4. Tracer le bon quadrilatère
5. Conjecture des propriétés des diagonales (Tracenpoche)
6. Compléter les propriétés des diagonales
7. Utiliser les propriétés des diagonales



Puis à propos du codage des figures

Des triangles
1. Inscrire les mesures sur la figure
2. Déduire les mesures de la figure
3. Figures possibles
4. Codage des triangles particuliers


Des quadrilatères
1. Inscrire les mesures sur la figure
2. Déduire les mesures de la figure
3. Figures possibles
4. Codage des quadrilatères particuliers
5. Codage des diagonales
6. La bonne figure






N'oublie pas de noter le titre de l'exercice sur ta feuille, ainsi que les éventuelles difficultés que tu rencontres et la note qui t'est donnée à la fin du travail.




* D'après sesamaths sixièmes

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22 avril 2009 3 22 /04 /avril /2009 07:20

Je te propose avec le matou matheux
de poursuivre le travail que nous avons fait sur les puissances

Tout d'abord une illustration de l'utilisation des puissances de 10 dans des applications scientifiques :

Exemples de puissances de 10 sur le site du CERN


Donne en commentaire

un exemple d'utilisation des puissances positives de 10
et
un exemple d'utilisation des puissances négatives de 10

De même, répond en commentaire aux questions :


combien d'étoiles de la taille de notre soleil  y a-t-il dans notre galaxie
(ordre de grandeur en utilisant les puissances de 10) ?
 
Quelle est la taille d'une facette de l'oeil de la mouche ?




Un travail sur l'écriture des puissances de 10
(rappel de la méthode sur sésamaths ici)






Quelques mots (des préfixes) en rapport avec les puissances de 10 et qui permettent de désigner des grands nombres. Avec des applications simples





Ici tu vas utiliser les puissances de 10 dans des conversions d'unités de mesure.


Des unités de mesure moins classiques



Le matou matheux te propose ici un exercice où tu auras à utiliser les puissances de 10 dans des calculs d'aire et de volume.




Pour finir, une utilisation des puissances de 10 en rapport avec la mesure des résistances électriques (voir sciences physiques)



Si tu as terminé, quelques calculs concernant les puissances de 10.

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22 avril 2009 3 22 /04 /avril /2009 07:02

Je te propose de faire le point de tes connaissances dans le domaine des probabilités en utilisant les exercices que propose sur ce thème Maths En Poche


1. Une chance sur ...
2. Avec un jeu de 32 cartes
3. Avec deux lancers
4. Avec une urne

(Tu peux éventuellement t'aider en utilisant les outils dont je parle en dessous pour faire cette partie)






Pour continuer, je te propose de répondre à quelques questions en utilisant les outils que propose le
matou matheux. (ici)


1) Si on lance deux dés identiques et réguliers (à 6 faces) et qu'on fait le total des valeurs obtenues, quel est le nombre que l'on obtiendra le plus souvent sur un très grand nombre de tirages ?


2) Dans cette même situation, essaie de donner la fréquence en pourcentage de laquelle on s'approchera pour chaque somme possible, sur un très grand nombre de tirages ?


3) On choisi un point au hasard dans un cercle.
De quelle fréquence en pourcentage s'approchera-t-on pour les cas où le point se trouve dans un cercle situé à l'intérieur, de rayon égal à la moitié du rayon du premier cercle ?
 .
4) On choisi un point au hasard dans un carré.
De quelle fréquence en pourcentage s'approchera-t-on pour les cas où le point se trouve dans un carré situé à l'intérieur, de côté égal à la moitié du rayon du premier carré ?


(réponses en commentaire avec le numéro de la question)


__________________
*
pour les élèves qui préfèrent ne pas utiliser l'ordinateur (extrait des cahiers de Sesamath)

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22 avril 2009 3 22 /04 /avril /2009 06:25

Je te propose dans cette séance de travailler en géométrie sur ce quadrilatère qui possède un centre de symétrie et qui se nomme ......  (met le nom en commentaire)

Tout d'abord avec
Maths En Poche

1. Nommer un quadrilatère
2. Noms possibles
3. Tracer en fonction du nom
4. Retrouver les éléments
5. Nommer les éléments


Puis sur le site du Matou Matheux



1. Interpréter un codage
2. Définitions et propriétés
3. Autour des propriétés
4. Reconnaître un quadrilatère
5. Justifier de la nature d'un quadrilatère


Si tu as besoin de faire un tracé, n'hésites pas à utiliser Trace En Poche


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20 avril 2009 1 20 /04 /avril /2009 23:00
Vince Joly te propose une série d'exercice sur l'addition des nombres relatifs
avec un outil qui te permet d'évaluer géométriquement le résultat sur un axe gradué.
geombre.com

Place le premier terme de l'addition sur le repère (ici c'est le nombre -0,1)
Ajoute la distance correspondant au second terme de l'addition en tenant compte du signe pour le sens du déplacement (ici c'est le nombre 8 on a donc déplacé le triangle jusqu'à ce que d = 8)

J'ai rempli en partie le résultat, que l'on peut évaluer sur l'axe ... où l'on voit qu'il est un peu inférieur à 8.
(Tu peux donner la réponse en commentaire) .



Pour accéder à la série d'exercices, clique sur l'image de l'exemple.






Les exercices de Maths En Poche sur l'addition des relatifs



1. Additions d'entiers
2. Additions de décimaux
3. Succession d'additions

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18 avril 2009 6 18 /04 /avril /2009 17:53
Soit un segment de longueur 1 unité

Supposons qu'il soit brisé en trois parties, l'inégalité triangulaire nous donne les conditions pour pourvoir construire avec les morceaux un triangle.


http://accel21.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/----2008/sesamaths/5/geometrie/triangle/in-galite-triangulaire.jpg(manuel sesamath. Pour la méthode complête, cliquer sur l'image)

On peut utiliser un tableur pour approcher cette situation.

La fonction  "=alea()" fournit en effet (d'après le mode d'emploi du tableur et ceux qui en répêtent le contenu sans précaution) un nombre aléatoire entre 0 et 1.

Ici je ne discuterai pas le caractère aléatoire (une machine est incapable de choix et donc de hasard) mais du nombre réel de valeur que propose un programme tel qu'un tableur.

L'affirmation citée est-elle vraie ?

Les nombres fournis par le tableur sont en fait des nombres "quasi entiers"
c'est à dire des nombres avec quelques décimales (au maximum 17 pour les tableurs communs)

Il n'y a donc pas correspondance (et loin s'en faut) entre mon segment de départ et le nombre de possibilités maximales que propose le tableur et qui se chiffrent à 1017 (17 décimales)

Ainsi par exemple, le triangle équilatéral, correspondant à une "cassure" de mon segment de départ en trois parties égales, ne peut pas être donné par le tableur qui ne propose que des nombres correspondant à des fractions décimales ( dénominateur de la forme 100000... avec au plus 17 zéros)

Ce que l'on fait donc sur le tableur n'est donc valable que si l'on prouve que les
1017
nombres que propose l'ordinateur rendent bien compte de la réalité des autres nombres que le tableur ne sait atteindre, à savoir
les fractions irréductibles non décimales
les fractions décimales de dénominateur supérieur à
1017
ainsi que les nombres irrationnels.

En fait, le tableur ne peut certifier vraiment que des résultats qui n'ont pas rapport avec le domaine du continu.

Malgré tout, on supposera que cette énorme approximation (qui ressemble - en bien plus important - à l'écart de qualité d'une musique en mp3 avec son original) ne change rien au résultat en acceptant les résultats que propose le tableur.

Ici dans le cas où le segment est cassé en deux fois.

http://accel21.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/----2008/3eme/statistiques/baton-casse-en-trois-parties-.jpg
(résultat pour 10 000 valeurs)

Les valeurs affichées sous les titres sont les moyennes des 10 000 résultats aléatoires obtenus.

On voit que la probabilité d'obtenir un triangle est approximativement de un sur cinq
 
Dans le cas où l'on casse le bâton en une seule fois, le résultat est très différent ...



____________

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