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Les aides en vidéo

Philippe Mercier

 

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19 décembre 2017 2 19 /12 /décembre /2017 23:07

Le dessin sous geogebra donné ci-dessous pourrait donner l'illusion de'illustrer le théorème de Pythagore.

En effet la somme des aires  des carrés construits sur les côtés de l'angle droit 

c'est à dire : 44,87 unités d'aires + 49,38 unités d'aires 

est bien égale à l'aire du carré construit sur l'hypoténuse,

soit : 94,25 unités d'aires  (tu peux vérifier le calcul)

Mais, 

si on n'y regarde de plus près l'aire de l'hypoténuse ne peut être la valeur affichée

en effet, sans faire le calcul, on sait que 9,71² 
1) ne peut donner un résultat se terminant par un 5
2) donnera un résultat avec 4 chiffres après la virgule

Et effectivement 
9,71² = 94,2841 et non pas 94,25

Mais ce n'est pas tout !

On peut aussi douter de la mesure du côté
et par exemple, demander une plus grande précision d'affichage à geogebra

On aura alors la surprise (ou pas) d'obtenir

L'ordinateur nous mentirait donc ?

Non ! ... mais il fait ce qu'il peut.

Et en général, si on construit un triangle rectangle "ordinaire" 
la mesure d'un au moins de ses côtés, n'aura pas d'écriture décimale (limitée)

Le mieux que peut faire Geogebra est d'afficher 15 décimales (dont la 15 ème sera un arrondi !)
et de donner comme résultat des calculs, des valeurs approchées.

Pas plus que nous ne le pouvons sur une de nos figures, Géogebra ne peut pas prouver par la mesure sur un dessin, la validité d'une affirmation et donc en particulier, le théorème de Pythagore.

 

---------------------- Pire ici ----------------------

La somme des aires ne correspond pas aux valeurs

Ce serait donc un "contre-exemple" qui invaliderait le théorème ?*

En ne regardant que le dernier chiffre 7 + 7 ne donne pas 5
Ici, il s'agit clairement d'une valeur "arrondie" au centième près.

 

* Bien sur que non. On voit seulement ici encore la limite de l'interprétation des mesures d'un dessin.

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19 décembre 2017 2 19 /12 /décembre /2017 22:57

En transformant les répartitions d'une surface et en conservant les aires,  on démontre la fameuse égalité de Pythagore. 
Egalité dont la plupart de ceux qui l'énoncent oublient qu'il s'agit précisément d'une relation liant des surfaces ( des carrés, à travers la valeur de leurs aires) construites sur les côtés un triangle rectangle.

 

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1 février 2017 3 01 /02 /février /2017 23:04

La vidéo dure en fait un peu plus de 12 minutes

Elle évoque un théorème que l'humain n'est pas encore parvenu à démontrer.


Raison pour laquelle
il a délégué une partie de cette recherche (étude des plus de 1000 cas à passer en revue)
à l'ordinateur.

En pratique c'est assez simple 
"Il suffit de 4 couleurs pour colorier n'importe quelle carte"
(avec quelques précisions cependant)

comme par exemple les régions de France

 

Merci Coyote

 

Le site d'origine

 

La vidéo

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9 octobre 2016 7 09 /10 /octobre /2016 18:01

Un ensemble très complet sous geogebra

Prévoir un peu de temps pour cette révision des additions et soustractions avec des nombres relatifs.

Une très bonne illustration des mécanismes de l'addition et une justification de la règle de la soustraction.

 

 

 

Démonstration de la règle de transformation de la soustraction en addition de l'opposé :

a - b = a + b + opp (b) - b    

          --------------------

en effet b + opp (b) =  0 
nous n'avons donc rien changé au résultat

En changeant l'ordre (avec conservation des opérations)

a - b = a + b - b + opp b 

   --------

or b - b =  0 
d'où l'on déduit que 

a - b = a + opp b

Soustraire un nombre (ici b) revient à additionner son opposé

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10 juin 2014 2 10 /06 /juin /2014 20:34

Une conférence d'Etienne Ghys

 

Où l'on voit 

  • Ce qu'est une démonstration
  • Ce qu'est un axiome
  • La "contestation" d'un des axiomes d'Euclide
  • D'autres géométries où le théorème de Pythagore  n'est pas vrai.

 

***

 


Etienne Ghys - Et si le théorème de Pythagore n... par lesernest_lemonde

***

 

 


Un exemple illustrant une des géométries de poincaré

(géométrie hyperbolique)

 

 

Je publie ci-dessous une information transmise par Matéo
qui intéresse le contenu de cet article

 



 


Pour information, à destination des enseignants, une axiomatique sous le théorème de Pythagore vient d’être publiée en accès libre :
http://mathemagique-com.blogspot.fr/2014/09/special-profs-une-plongee-sous-le.html

Matéo

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2 avril 2011 6 02 /04 /avril /2011 11:30

99999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

9999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

99999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

999999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

9999999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

 


 

Un exemple suffit pour prouver qu'un théorème est faux

 

Alors que des milliards d'exemples ne prouvent rien

 

     
    

 

Théorème : tout nombre supérieur à 100 dont l'écriture décimale ne comporte que des 9 ne peut être écrit comme somme de trois carrés.
     
     

 

A toi de jouer ...

 


 

 

 

 

*

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10 février 2009 2 10 /02 /février /2009 19:08
A propos de la démonstration que je donnais comme l'une des plus simples en géométrie (tout en produisant un résultat utile et (apparemment) loin des données de départ), Valentine retournait en commentaire

  moi pour les démonstrations ma prof me fait utiliser:
"Je sais que" (on met les informations)
"Or" (on met la propriété)
"Donc" (on met la conclusion)

c'est bien utile parfois !
 
     


Bien évidemment, son professeur a tout à fait raison.

Cette manière de ranger les étapes de la réflexion est à la fois commode et fertile.

C'est pour cette raison qu'il faut toujours s'efforcer d'y faire entrer la rédaction finale.

Cependant, dans une phase de découverte et de recherche, il peut être difficile de faire ce tri, notamment entre les deux dernières phases
"ce que j'utilise comme outil (propriété) pour transformer l'énoncé vers la conclusion"
et
"la conclusion elle-même"

D'autant que, parfois il y a des étapes qui sont intermédiaires entre les deux.

Mais lorsqu'on peut, c'est ainsi qu'il faut procéder
avec parfois un assouplissement du vocabulaire qui permet un enrichissement de la syntaxe utilisée (comme des mots comme  "d'où je déduis" qui peut concerner une conclusion intermédiaire)

Comme je l'annonçais dans le titre, pour faire plaisir à Valentine, je vais reformuler avec les mots qu'elle proposait la démonstration qui concerne la médiane et l'aire des deux triangles qu'elle détermine.


D'après l'énoncé, je sais que (AI) est la médiane de [BC]
or la médiane passe par le milieu d'un côté
donc  BI = IC

(en fait il y a ici une petite démonstration intermédiaire avec ses trois temps)

Je sais que AH est la hauteur (longueur) associée au côté [BC]
or la hauteur est 
une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé
donc
AH est aussi hauteur des triangles AIB et AIC.

(en fait il y a ici une seconde démonstration intermédiaire avec ses trois temps)

Je sais que l'aire d'un triangle est côté x hauteur / 2
  d'où (ici ce n'est pas une démonstration, juste une sorte d'application d'un résultat)
l'aire de AIB est AH x IB / 2
et
l'aire de AIC est AH x IC / 2

or IB = IC
donc
ces deux aires sont égales.
donc
La médiane d'un triangle le partage en deux parties de même aire.


Il y existe des démonstrations plus courtes et plus simples, mais en général il y a si peu de distance de la situation de départ à la conclusion que l'élève se demande souvent "qu'est-ce qu'on a démontré ?" ou "pourquoi on a fait tout ça ?" (puisque cela lui semblait évident dès le début)
Ici, le point de départ
(AI) est une médiane du triangle ABC
et le point d'arrivée
les triangles AIB et BIC ont la même aire (en deux mots (sourire)²)
sont assez loin l'un de l'autre pour justifier le parcours déductif de la démonstration.








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9 février 2009 1 09 /02 /février /2009 11:37
Le principal objectif de l'enseignement à l'école primaire et au collège est
la maîtrise optimale des auxilaires (et prérequis) de la pensée.

Il s'agit en particulier des langages.
Lequels doivent être fins, denses, et capable de gérer
autant les ambiguités irréductibles que la présence de contextes susceptibles de perturber le sens établi
sens nécessairement maléable dans les premières étapes de l'apprentissage.

L'acquisition précoce de techniques en rapport avec les différentes matières enseignées par la suite, qu'elles soient générales ou professionnelles, est une erreur similaire à celle qu'ont pu faire en sport, par le passé de grands entraîneur
(notamment au football et au tennis)
et dont nous sommes heureusement en grande partie revenus.


complément




La démonstration en géométrie est source de difficulté pour beaucoup
(et pas seulement pour des élèves ... demandez aux parents qui les assistent dans les devoirs)

Je propose ici une démonstration d'une grande simplicité et qui produit pourtant un résultat important
à savoir l'endroit où l'on doit poser un triangle pour qu'il soit en équilibre en un point.


     
  Sur une pointe
ou au bout d'un fil  

Ici encore, mais pas cette fois-ci pour montrer l'impossibilité de suivre une démonstration de cette manière, tout au contraire, je vais donner la démonstration exclusivement "en mots" et, si on se souvient de la définition de la hauteur* celle-ci est assez immédiate et facile à suivre (plutôt pour les adultes ayant une bonne maîtrise de la langue, mais il n'est pas interdit aux élèves de s'y confronter.).

Démontrons d'abord que la médiane d'un triangle le partage en deux triangles d'égales surfaces.

La médiane** d'après sa définition, partage un côté du triangle en deux parties égales qui sont chacune le côté d'un des deux triangles que cette médiane définit (il est important que tu te fasses une figure dans la tête***), ces côtés étant portés par une même droite, leur distance au sommet (égale à la hauteur du triangle*) est la même.

Or, l'aire d'un triangle  dépend d'un côté et de sa hauteur**** les deux triangles définis par la médiane ayant même hauteur et même (longueur de) côté, ils ont la même aire.

Si on recommence ce raisonnement une  fois, on en déduira que leux médianes partagent la surface d'un triangle en deux triangles de même surface.

Sur un couteau, le triangle serait en équilibre si on le pose sur une de ces deux médianes
sur une pointe, l'équilibre est donc obtenu au point d'intersection de ces médianes.

Accessoirement on en déduit que cette démonstration ne dépendant pas des deux médianes choisies (sur les trois) la troisième passe nécessairement par le même point (il n'y a qu'un point d'équilibre. C'est à dire d'équi-répartition de la matière  du triangle autour de lui.
d'où :
"Les trois médianes d'un triangle sont concourantes."

(point B de la figure "au bout d'un fil")

Pour les élèves :
Bien évidement la démonstration est plus simple avec une figure pour appuyer sa pensée.

Pour cela nous allons utiliser Trace en Poche


I est le milieu de [BC] donc BI = IC
[AH] est une hauteur commune aux triangles AIB et AIC

D'où :
l'aire de AIB est AH x IB / 2
et
l'aire de AIC est AH x IC / 2
BI = IC permet de conclure que
ces deux aires sont égales.
et donc :

La médiane d'un triangle le partage en deux parties de même aire.
 
En refaisant le même raisonnement pour une autre médiane on arrive à la conclusion que :

Les médianes d'un triangle se coupent en un même point.
  (ce qui se dit "sont concourantes")



et donc

Le centre de gravité***** d'un triangle
est au point de concours de ses médianes.




Pour éprouver cela avec Trace en Poche


clique droit sur la figure précédente pour ouvrir dans un nouvel onglet

Le script de la figure est ici (ce qui est en vert, à recopier dans la partie Script de trace en poche)

  Script  
       @figure;
  A = point( -3.97 , 4.53 )  { violetfonce , car+3 };
  B = point( 6.37 , 3.93 )  { violetfonce , car+3 };
  polyABC = polygone( A , B , C  )  { 3 };
  C = point( -2.47 , -3.33 )  { violetfonce , car+3 };
  I = milieu( B , C )  { violetfonce };
  sAI = segment( A , I )  { 3 };
  sCB = segment( C , B )  { rouge , 3 };
  perpAsCB = perpendiculaire( A , sCB )  { 7 };
  H = intersection( sCB , perpAsCB )  { violetfonce };
  sAH = segment( A , H )  { vertfonce , 3 };
  sIB = segment( I , B );
 
  Analyse  
  aire(ABC) = 40.19
aire(ABI) = 20.09
aire(AIC) = 20.09
 

(On voit dans la case d'analyse qu'avec la figure tracée les aires des deux triangles que définit la médiane ont même aire*)



* En fait, il s'agit d'une hauteur , puisqu'un triangle en possède trois.
** Même chose que *
*** Avec :  le triangle de départ, une médiane, celle-ci passe par un sommet, coupe le côté opposé en son milieu, et découpe donc le triangle en deux triangles ayant deux côtés égaux
**** La formule est ici

***** Point d'équilibre

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