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Philippe Mercier

 

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1 janvier 2011 6 01 /01 /janvier /2011 21:29

 

 

 

Deux démonstrations de la présence d'un angle droit.
La première utilise une propriété connue dès la sixième :
Si (dans le plan) deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

C'est d'ailleurs en se servant de cette propriété que l'on trace dès la sixième,
deux droites parallèles,
en faisant "glisser" l'équerre (l'angle droit) sur la règle
de manière à tracer
deux droites (deux positions de l'équerre)
perpendiculaires à une même droite (la règle)

 

Le cours de cinquième permet une démonstration plus élégante (que certains élèves ont utilisés).
En effet, si (DE) // (AC), alors, si on considère la droite (DA) qui coupe ces deux droites parallèles, les angles en D et en A, qui sont alternes - internes, sont donc égaux.
L'angle en D étant droit, l'angle en A l'est aussi.
(Extrait du manuel sésamath (définitions), pour la méthode avec les exemples cliquer ici )

Extrait du livre de cinquième qui donne la propriété utilisée :

  (Pour la méthode avec les exemples cliquer ici )

 

 

Avec l'aide du tableau on répond facilement aux questions du 2)
puisqu'il s'agit de voir pour quelles valeurs de x (colonne de droite)
le résultat en colonne de gauche est 0.

 



 

 

Pour la seconde figure, la propriété utilisée a été vue en quatrième lors de l'étude du cercle circonscrit à un triangle.

 

(Extrait du manuel sésamath (définitions), pour la méthode avec les exemples cliquer ici )

 

Pour cet exercice le barème était un point  pour chaque démonstration complête.

 

 

  Un exercice de Mathenpoche qui utilise cette propriété ici


 

Extrait d'une copie d'élève

 

 

La petite rectification"un côté" est motivée par le fait que si l'on parle d'hypoténuse (sans H) c'est qu'on suppose déjà qu'il s'agit d'un triangle rectangle.

 

La seule précision que l'on peut donner concernant ce côté est qu'il s'agit du plus grand.

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21 décembre 2010 2 21 /12 /décembre /2010 19:02

 

 

Il s'agit dans cet exercice de substituer à la valeur inconnue x trois valeurs différentes.
Voir la leçon de quatrième à propos des écritures littérales.
(Extrait du manuel sésamath, pour la méthode avec les exemples cliquer ici )

Le fait que le tableau des résultats soit presque totalement rempli aide beaucoup, notamment lorsqu'on se rend compte de la symétrie des résultats.
Ci-dessous le tableau d'un élève où figure l'un des développements (ce qui était exigé dans la question).

 

 

Avec l'aide du tableau on répond facilement aux questions du 2)
puisqu'il s'agit de voir pour quelles valeurs de x (colonne de droite)
le résultat en colonne de gauche est 0.

2) a) pour x = 2 le résultat n'est pas 0 mais 4 .                                                                                 
b) pour x = -2 le résultat est bien 0. Donc -2 est solution.                                                       
c) on voit dans le tableau que pour x = 1 le résultat est 0. Donc 1 est également solution.




Pour cet exercice le barème était.

 

1) un point pour tableau rempli avec le détail des calculs pour un des résultats .

 un demi  point  pour une erreur dans le tableau ou si aucun détail n'est donné,un quart de point 

 pour un seul résultat juste

 

2) un demi  point  pour chaque affirmation juste.

  

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21 décembre 2010 2 21 /12 /décembre /2010 16:40

 

 

 

 

 


 

Cette question est en rapport avec le programme de quatrième et plus précisément le chapitre Nombres en écriture fractionnaire.
Les connaissances utilisées sont
- la multiplication de deux fractions (vue en cinquième)
(Extrait du manuel sésamath quatrième , pour la méthode avec les exemples cliquer ici )
- l'addition de deux fractions
(Extrait du manuel sésamath cinquième , pour la méthode avec les exemples cliquer ici )
- et la priorité de la multiplication sur l'addition (vue en cinquième)
(Extrait du manuel sésamath cinquième , pour la méthode avec les exemples cliquer ici )
L'élève en difficulté avec les fractions peut faire ce travail entièrement ou partiellement avec une calculette.
Il y en a une ici
Pour l'exercice elle propose les résultats :
.
voir aussi ici Calcul en ligne


Ci-dessous, le travail d'un élève dont les réponses sont à la fois justes et correctement rédigées ... à un détail près.

L'ensemble des développements est parfaitement correct.

Mais bien évidemment, la réponse à la troisième question ne nécessite aucun calcul,

Puisque N=M, le rapport des deux nombres est égal à 1

Comme on le voit sur la copie, le barème de l'exercice est

  un point pour le premier résultat juste à condition que le détail des calculs soit donné .

  un demi- point  si cette précision n'est pas donnée.

 

   un demi- point  pour le second calcul. (un quart de  point si le détail des calculs n'est pas donné)

 

  un demi- point  pour le dernier calcul. (un quart de  point  si le calcul est juste, mais que, comme l'un des deux résultats était faux le résultat final est cohérent mais faux.)


 


Voir dans Mathenpoche 
1. Priorités opératoires
2. Calculs (assistés)
3. Calculs
 

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19 décembre 2010 7 19 /12 /décembre /2010 14:27

 

 

 

 

 

identités remarquables - manuel sesamath


 

La question est directement liée au chapitre qui traîte des Identités Remarquables.
On reconnaît ici le produit d'une somme de deux nombres par leur différence* (à une inversion près -  puisque le premier membre est la différence et le second la somme - qui ne change rien au développement).

*(La dernière des trois identités remarquables ci-dessous.)
(Extrait du manuel sésamath, pour la méthode avec les exemples cliquer ici )

1)

En remplaçant a par x et b par 1, on obtient :

( x - 1)(x + 1) = x² - 

                    = x² -  1 

 

1) un demi-point pour le résultat juste .

 
Pour la question suivante, on remarquera que ces deux questions font partie du même exercice. On cherchera donc un rapport entre elles.
L'expression est un produit de deux termes, comme l'expression qui a été développée précédemment. On cherchera donc à rapprocher ces deux expressions.
2)

En remplaçant x par 1 000 000  dans ( x - 1)(x + 1) on obtient : 

( 1 000 000 - 1)(1 000 000 + 1) = 1 000 000² - 

                    et donc
                           999 999 x 1 000 001 = 1 000 000 000 000 - 1
                   d'où
999 999 x 1 000 001 = 999 999 999 999

1) un point pour le résultat juste à condition que le développement de 1) soit évoqué.

    un demi-point  si le résultat est obtenu d'une autre manière
Remarque : il est assez facile de voir ce résultat à partir de la manière dont on POSE une multiplication .

(Voir dans Mathenpoche  Identités et calculs astucieux  )

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18 décembre 2010 6 18 /12 /décembre /2010 14:58

 

 

 

 

 

 
L'ensemble des questions de cet exercice concerne le chapitre "statistiques" du programme de troisième.
Le résumé ci-dessous donne tout ce qu'il faut connaître pour y répondre.
(Extrait du manuel sésamath, pour la méthode avec les exemples cliquer ici )
1)

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.

 

On fera attention ici de ne pas confondre les effectifs (nombres d'élèves pour chaque valeur de la série) et les valeurs, qui elles, vont de 10kg à 1kg.

 

D'après la définition donnée ,

                                   l'étendue de la série est : 10kg - 1kg = 9kg

 

1) un demi-point pour le résultat juste à condition que le calcul figure.

    un quart de point  si l'unité n'est pas donnée, ou si le mode de calcul n'est pas précisé.

 

2)

Ici, les valeurs sont déjà ordonnées.

L'effectif total étant de 48 élèves (d'après l'énoncé) il n'y a pas de valeur qui la partage en deux parties de même effectif.

Dans ce cas on prend pour médiane la moyenne des deux valeurs les plus proches du milieu.

 

Pour cela, il est commode d'utiliser les effectifs cumulés croissants qui donnent par une lecture directe la valeur correspondant à un numéro d'ordre donné.

 

Poids en kg

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Effectif

1

2

4

2

5

11

8

8

3

4

Effectif cumulé croissant

1

3

7

9

14

25

33

41

44

48

 

 

Ici on fait donc la moyenne des valeurs correspondant aux élèves n° 24 et n°25

Celle-ci est facile à faire puisqu'à ces deux élèves correspond la même valeur : 6kg

 

La médiane de la série est donc 6kg

 

2) un demi-point pour le résultat juste à condition que la précision concernant les valeurs 24 et 25 figure.

    un quart de point  si l'unité n'est pas donnée, ou si le mode de calcul n'est pas précisé.


3) Premier quartile

Pour calculer le premier quartile, on calcule le quart de l'effectif total

                         et donc       48 : 4 = 12

Le premier quartile correspond donc à la 12ème valeur.

        .

Dans le tableau des effectifs cumulés croissants, on lit directement le résultat

(puis que de l'élève n°10 à l'élève n°14 le poids du cartable est 5kg.

 

Le premier quartile est donc 5kg

 

  un point pour le résultat juste à condition que la précision concernant le quart de l'effectif figure.

    un demi- point  si cette précision n'est pas donnée.

  un quart de  point   en moins, si l'unité n'est pas donnée.

 

Troisième quartile

Pour calculer le troisième quartile, on calcule les trois quarts de l'effectif total

                         et donc       (48 : 4) x 3 = 36

Le troisième quartile correspond donc à la 36ème valeur.

        .

Dans le tableau des effectifs cumulés croissants, on lit directement le résultat

(puis que de l'élève n°26 à l'élève n°33 le poids du cartable est 8kg.

 

Le premier quartile est donc 8kg

 

  un point pour le résultat juste à condition que la précision concernant les trois quarts de l'effectif figure.

    un demi- point  si cette précision n'est pas donnée.

   un quart de  point   en moins, si l'unité n'est pas donnée.

 

4)

D'après la définition du premier quartile au moins 25% des valeurs sont inférieures à 5kg.

On en déduit que 75% des valeurs sont supérieures ou égales à 5kg.

 

La personne qui affirme que

«Plus des trois quarts des 48 élèves viennent en cours avec un cartable qui pèse 5 kg ou plus»

a donc tout à fait raison.

 

4) un point pour le résultat juste à condition qu'il soit justifié par l'utilisation du premier quartile.

    un demi- point  si cette précision n'est pas donnée.

 

 


 

Voir pour cet exercice dans Mathenpoche  

1. Etude d'une liste.
2. Etude d'un diagramme.
3. Etude d'un tableau.
4. Etude d'un tableau (bis).


 

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17 décembre 2010 5 17 /12 /décembre /2010 20:22

 

 

 

 

 

 

 

  1)

La première question de cet exercice est du niveau cinquième (où l'on précise ce qu'est le carré d'un nombre)

 

Il suffit de remplacer les quantités désignées par des lettres (a et b ) par la valeur qu'on leur donne dans cette question.

 

(Voir dans Mathenpoche Substituer dans une écriture littérale )

 

 

  2)

Pour la seconde question, nous avons, si ce n'est une preuve, au moins une vérification.

 

En effet, pour a = 2 et et b =5 nous avons bien  E = a x b  c'est-à-dire  E = 2 x 5 = 10.

 

Il reste à démontrer que l'affirmation d'Alex est vraie quels que soient les valeurs de a et de b.

 

Pour cela nous allons, comme le suggère l'énoncé, développer l'expression E

 

 


(Pour le rappel concernant les deux identités remarquables utilisées ici, voir dans Mathenpoche

   Carré d'une somme    et  Carré d'une différence)

 


 

Ces exercices étaient tous deux notés sur un point suivant la répartition suivante :

 

1) un demi-point pour le développement des calculs et un demi-point pour le résultat (celui qui ne donne que le résultat n'a donc qu'un demi-point)

  

2) un demi-point pour le développement correct dans les parenthèses intérieures et un demi-point pour le résultat final et sa conclusion

 

Celui qui ne parvient pas au bout du développement mais a utilisé le résultat du 1) à l'appui de l'affirmation "Alex a raison", obtiendra tout de même un demi-point .

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11 janvier 2010 1 11 /01 /janvier /2010 17:19

Calcul littéral et équation
 
Le manuel Sesamaths propose un QCM très utile en période de révision

Avoir la calculatrice à portée de main est tout à fait indispensable
calculette scientifique
Wiris

 


Pour une correction interactive de ce QCM cliquer ici

 

 


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6 mai 2009 3 06 /05 /mai /2009 16:40
Le second brevet blanc a eu lieu ces derniers jours.
L'épreuve de mathématiques s'est déroulée de 8h à 10h ce jour.

Classiquement, les Activités Numériques et Activités Géométriques ont été des occasions de vérifier les acquis de base dans ces deux domaines.

Je ne donnerai ici que les énoncés et les résultats. Les exercices sont en provenance des annales du brevet.



(pour avoir l'ensemble des exercices de cette partie cliquer sur l'image)





Ce premier exercice est très classique
une partie importante est du niveau quatrième




Ce calcul est typique de l'épreuve du brevet.
Il est en rapport avec un travail de révision du programme de quatrième
ici (deux premiers exercices)

En cas de difficulté, ce calcul qui comporte des fractions peut se faire
dans un premier temps à la calculette, pour connaître le résultat
puis par étape comme c'est demandé dans l'énoncé.
Cela évitera d'oublier la priorité de calcul de la multiplication sur l'addition.

Le résultat est ici  5/2






Ce second calcul est également un classique du brevet.
Il est en rapport avec un travail de révision du programme de troisième
ici
(en particulier le 4ème exercices. Voir pour commencer la méthode du livre donnée avant les exercices.)

Il s'agit de découvrir une partie commune aux trois racines
cette partie commune est ici   "racine carrée de 5"

Le résultat final est   9 racine carrée de 5 

Les calculatrices récentes donnent ce résultat lorsqu'on utilise la notation algébrique (bien connaître sa calculette) si on se contente de recopier ce résultat on obtient tout de même une partie des points


Ce calcul est typique du brevet.
Il est en rapport avec un travail de révision du programme de quatrième
ici (voir le manuel méthode )

La encore, le résultat peut s'obtenir à la calculette, il ne reste plus qu'à retrouver le chemin pour y parvenir ... à la main.

Le résultat final est    1,6 x 10-4




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6 mai 2009 3 06 /05 /mai /2009 13:50
Le Troisième exercice est une des applications souvent utilisées pour travailler la notion de Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres

Un problème de carrelages tout à fait semblable à ce que propose    par exemple ici, dans la série de problèmes sur ce thème.
(pour s'entrainer sur ces exercices, cliquer sur l'image)
 
L'exercice 3 du brevet blanc est un peu plus facile puisqu'il propose (comme pour le 2) progressivement les outils nécessaires pour résoudre la question qui suit.



Ainsi il demande d'abord le calcul du PGCD qui va servir à la question suivante.

Ici l'élève très à l'aise pourra utiliser
la méthode des soustractions pour les deux premiers calculs
et la méthode du reste (dans la division) pour le dernier

en effet, en 540 il n'y va qu'une fois 300
donc autant soustraire

                                  nombre 1 nombre 2   différence                                   
  540   300   240 (je conserve les deux plus petits
  300   240   60 idem
          240 est multiple de 60
donc 60 est le PGCD
  nombre 1   nombre 2   reste de
la division
de l'un par l'autre
60

Le PGCD de 540 et 300 est donc 60

540 : 60 = 9 et 300 : 60 = 5

Donc Si un carré mesure 60cm de côté, on peut donc en mettre
9 sur la longueur et 5 sur la largeur.

Ce qui donne  9 x 5 = 45 carreaux


L'exercice 4 est un exercice de statistique, qui concerne le vocabulaire (la définition d'effectif) la lecture d'un diagramme en bâton et la moyenne coefficientée.



Du billard !

Pour l'effectif, on additionne ce qu'on lit sur le tableau
(un tel exercice permet de repérer l'élève totalement démotivé !)
On obtient alors 25 élèves
(si on est suffisamment concentré pour ne pas oublier une barre ...)

Quand à la moyenne, il ne faut pas oublier de multiplier chaque note par le nombre d'élève qui l'a obtenue.
On divise alors par l'effectif total de la classe, ce qui donne
la moyenne de 10,28




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4 mai 2009 1 04 /05 /mai /2009 21:00

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