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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

6 février 2011 7 06 /02 /février /2011 22:45

 

 

Pour télécharger le sujet et ses trois parties.

 

Version pdf

 

Thèmes abordés 

Travaux numériques : Factorisation et développement (double) ; équation produit ; réduction d'expressions littérales ; fonctions (notions générales) ; pourcentages.

 

Travaux géométriques : Solides (calculs de volumes, réduction, coefficient d'agrandissement) ; théorème de Thalès (réciproque) ; théorème de Pythagore ; calcul d'aire (carré, quart du disque)

 

Problème : Théorème de Thalès, fonctions (notions générales, calculs simples, lecture sur un graphique donné, variations d'aires, recherche d'une valeur satisfaisant une répartition donnée), problème simple utilisant la division.

 

 


Une version de cette correction est téléchargeable

(avec les outils utilisés, et des liens vers des rappels de cours)

au format open office - word - pdf

 

 

 

Première partie : Travaux Géométriques

 

 

 


 

 

 


 


 


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6 février 2011 7 06 /02 /février /2011 00:00

Pour télécharger le sujet et ses trois parties.

 

Version pdf

 

Thèmes abordés 

Travaux numériques : Factorisation et développement (double) ; équation produit ; réduction d'expressions littérales ; fonctions (notions générales) ; pourcentages.

 

Travaux géométriques : Solides (calculs de volumes, réduction, coefficient d'agrandissement) ; théorème de Thalès (réciproque) ; théorème de Pythagore ; calcul d'aire (carré, quart du disque)

 

Problème : Théorème de Thalès, fonctions (notions générales, calculs simples, lecture sur un graphique donné, variations d'aires, recherche d'une valeur (antécédent) satisfaisant une répartition donnée au moyen d'une équation), problème simple utilisant la division.

 

 


Une version de cette correction est téléchargeable

(avec les outils utilisés, et des liens vers des rappels de cours)

au format open office - word - pdf

 

 

Première partie : Travaux Numériques


 

 

 

 

 

 


Correction détaillée de l'exercice, méthodes et outils de vérification


 

(Pour télécharger le tableau de calcul utilisé ici )

 

 

 


 

 

(Pour télécharger le tableau de calcul utilisé ici )

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

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24 janvier 2011 1 24 /01 /janvier /2011 17:00

Temps important de préparation à l'épreuve de cette fin d'année de troisième, le brevet blanc est un véritable entrainement à ces deux heures de travail en continu.

 

http://a34.idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/Diplome-brevet-.jpg

 

Ce qu'il faut parfaitement maitriser pour une bonne efficacité d'action au moment de l'épreuve.

 

(le A entre parenthèses permet d'accéder à une aide animée, le E à un exercice corrigé pas à pas, I exercice interactif, P perfectionnement )

 

Les règles d'addition ( A E  E I  I  I de multiplication ( A E  E ) et de division  ( A E   I  I  I ) en écriture fractionnaire. (P)

Appliquer un pourcentage  ( A A E    ) et calculer un pourcentage ( A E    I  I  I )  

Utiliser la proportionnalité  ( A     )  et les produits en croix ( E )

(Exercices de synthèse sur Mathenpoche) 

 

Les règles de base du calcul littéral :

Réduire une somme, ( A E I )     un produit ( A E I )

Développer une expression au moyen de la simple distributivité ( A E I )ou double distributivité ( I ) ou des identités remarquables.

Factoriser une expression par mise en facteur commun  ( A E E )  ou en se servant des identités remarquables ( A )

Résoudre une équation du type

ax+b = cx + d  (premier degré) ( A E I I

ou

une équation produit nul  ( A ) (en particulier du second degré)

(Exercices de synthèse sur Mathenpoche)

 

Notion de fonction : (Exercices sur Mathenpoche)


(Pour cette partie,  les liens vers une aide animée, un exercice corrigé, des exercices interactifs, se trouvent en haut de chaque page de cours, ce sont de petites icones circulaires)

 

En statistique, les formules ou méthodes pour calculer

  les fréquences relatives à une série de valeurs d'une série statistique

la moyenne simple ou la moyenne pondérée d'une série statistique

la médiane, le premier et troisième quartile et l'étendue d'une série statistique.

(Exercices sur Mathenpoche)


la propriété de Pythagore, sa contraposée et sa réciproque (synthèse courte)

(Exercices sur Mathenpoche)


la propriété de Thalès et sa  réciproque (synthèse courte)
(Exercices sur Mathenpoche)


La propriété du cercle circonscrit d'un triangle rectangle et sa réciproque

 


les formules de calcul d'aires (rectangle, parallélogramme (E), triangle (E), cercle)


et de volume (Boule et sphère ; pyramide et cône ; prisme et cylindre) .


 


 

 

 

* à la manière de tables de multiplications, c'est à dire sans avoir à y réfléchir longtemps, dont les résultats viennent spontanément.

 

 

 


 

Exemple de ce qu'un élève de troisième doit savoir faire en fin d'année :

(travail de l'équipe du collège de Forbach -Moselle)

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20 janvier 2011 4 20 /01 /janvier /2011 19:22

Calcul littéral et équation
 
Le manuel Sesamaths propose un QCM très utile en période de révision

Avoir la calculatrice à portée de main est tout à fait indispensable
calculette scientifique
Wiris

 


Pour une correction interactive de ce QCM cliquer ici

 

 


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14 janvier 2011 5 14 /01 /janvier /2011 22:58

Pour simplifier un programme de calcul, dans le but de le remplacer par un autre qui fait le même travail (a la même fonction) mais qui est plus simple, il est très utile de savoir 

- utiliser des lettres dans des calculs littéraux

- développer des écritures littérales

- simplifier des écritures littérales

ou

- encore factoriser des écritures littérales, notamment en utilisant les identités remarquables.

 

Par exemple, si on donne le programme de calcul suivant

 

  1 2 3 4  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 mettre au carré additionner 12 fois
le nombre en entrée
additionner 4

Nombre

en sortie

 

On peut tester ce programme avec un certain nombre de valeurs.

 

On obtiendra ainsi les résultats ci-dessous.

 

  1 2 3 4  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 mettre au carré additionner 12 fois
le nombre en entrée
additionner 4

Nombre

en sortie

-5

-5 x 3 = -15 (-15)²=225 225 + 12x(-5)=165 165+4=169

169

1

3 9 21 25

25

4

12 144 192 196

196

 

Pour cela tu peux aussi utiliser le tableau de calcul que j'ai  proposé précedemment

 

 

Utilise la seconde feuille, celle qui sert pour essayer d'autres programmes que les deux proposés ici.

 

 

 

Une petite observation rapide des résultats fait apparaitre que ceux-ci sont toujours des carrés.

L'étude de la relation entre le nombre de départ et le carré de fin, montre à celui qui est courageux et perspicace, que le carré final est celui de

"trois fois le nombre de départ auquel on a ajouté 2"

 

En effet pour -5 on obtient

(3x(-5)+2)² = (-15 + 2)² = (-13)² = 169

 

Pour 1 on obtient

(3x(1)+2)² = (3 + 2)² = (5)² = 25

 

Pour 4 on obtient

(3x(4)+2)² = (12 + 2)² = (14)² = 196

 

Les résultats sont bien ceux que l'on a obtenu

avec le programme de calcul en quatre étapes.

 

On peut donc remplacer le premier programme de calcul

par celui, beaucoup plus simple


 

  1 2 3  

Nombre

d'entrée

Multiplier par 3 additionner 2 mettre au carré

Nombre

en sortie

 

Programme qui peut aussi s'écrire sous la forme d'une fonction (que je choisis ici d'appeler f)

 

La fonction qui à un nombre x fait correspondre (3x+2)²

 

Que l'on peut également écrire :

f : x -----> f(x) = (3x+2)²

 

Ici nous n'avons rien démontré

nous sommes parti de trois exemples qui semblent prouver ce que l'on pense.

 

Pour démontrer que les deux programmes sont équivalents,

il faut montrer sur une valeur non particulière (écriture littérale)

que ces deux programmes "font la même chose".

 

Commençons par le premier

 

Si le nombre en entrée est x ,

alors, après la première étape du programme (le premier pas) on obtient

3 x x 

(nombre d'entrée multiplié par trois)


après la seconde étape, on obtient

(3 x x)² = x x² = 9 x²

  (résultat précédent au carré) 

 

après la troisième étape, on obtient

 9 x² + 12x 

  (résultat précédent  plus douze fois le nombre en entrée) 

 

 

après la quatrième étape, on obtient

 9 x² + 12x + 4

  (résultat précédent  plus quatre)

 

 

Le second programme donne, à partir du nombre x en entrée

le résultat final :

 (3x+2)²

 

Or, si on développe ce résultat

par exemple en se servant de l'identité remarquable

(a + b)² = a² + 2ab + b²

on obtient

(3   x)² + 2x 3xx  2 + 2²

Ce qui donne

9x ² + 12x  + 4

 

Les deux programmes de calcul

donnent le même résultat pour une valeur quelconque x.

(et pas seulement pour trois valeurs exemples particulières)

 

Nous avons donc démontré que l'on peut remplacer l'un par l'autre.

 


La remarque qui rassure un peu : Dans un exercice de type brevet, la démarche générale aurait été largement guidée par des questions annexes pour permette de parvenir à cette conclusion.

 

 


 

 

 

 

 

Un outil aurait pu aider ceux qui ont des difficultés à développer

ou à factoriser une expression

c'est la fameuse calculatrice wiris

 

 

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Ci dessous, les résultats des quatre étapes du premier programme de calcul

 

La dernière étape correspond au résultat final que nous avons trouvé, à savoir :

9x ² + 12x  + 4

 

La calculette permet de calculer le développement
correspondant au second programme  :

 

Et si nous n'avions pas trouvé
(ce qui n'est pas vraiment évident)

cette version simplifiée du programme,

en demandant à la calculette de factoriser on l'aurait obtenu :


 

Ce résultat s'obtient en utilisant l'identité remarquable  :

(a + b)² = a² + 2ab + b²

avec a = 3   x et b = 2


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10 janvier 2011 1 10 /01 /janvier /2011 22:41

Notion de fonction
 
Le manuel Sesamaths propose un QCM très utile en période de révision 

Avoir la calculatrice à portée de main est tout à fait indispensable
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Pour une correction interactive de ce QCM cliquer ici

 

 


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9 janvier 2011 7 09 /01 /janvier /2011 15:22

Le contrôle prévu pour lundi 10 janvier (en vue du brevet blanc de février) sera très semblable à ce qui suit.

 

 Puissance - exposants - écriture scientifique

 

 

Mais pas identique, bien sur.

 

Dans ce genre d'exercice, la calculatrice est très précieuse

calculette scientifique
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Mais il faut aussi être capable de maîtriser les étapes de calcul.

 

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7 janvier 2011 5 07 /01 /janvier /2011 22:50

Dans toute la France, un certain nombre de classes de troisièmes doivent actuellement préparer un brevet blanc pour s'entrainer à l'épreuve qu'ils passeront en fin d'année.

 

Dans les travaux numériques, un point de passage quasi obligé est le calcul d'expression comportant des puissances.

 

Comme par exemple

 

Extrait du manuel sésamath 3ème

 

 

 

Un rappel des règles de base n'est pas inutile.

 

 

.

 

Pour la méthode complète cliquer ici

 

 

Dans l'exercice (n°33), on demande le résultat sous la forme de sa notation scientifique.

Cette notation a été étudiée en quatrième.

Il s'agit d'une écriture utile pour les très grands et les très petits nombres.

 

 

 

 

Ici un outil qui remplace avantageusement la calculette

Il donne pour le premier calcul le résultat suivant :

 

 

Ce résultat n'est pas écrit en notation scientifique puisque 64 a deux chiffres avant la virgule.

 

La notation scientifique correspondante est ici  :  6,4 x 108.

 

Tu peux vérifier les autres résultats en utilisant le même outil,

ou t'entrainer sur mathenpoche à ce type de calculs.

 

1. Puissances de 10, notations scientifiques
2. Fractions et puissances (niveau 1)
3. Fractions et puissances (niveau 2)

 

 

 

 


 

Le mode d'emploi du calculateur WIRIS

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5 janvier 2011 3 05 /01 /janvier /2011 20:48
1) Nature de la section
Cette question est une application directe du cours, où ce type de section - un pavé droit coupé par un plan parallèle à une de ses arêtes - est étudié et figure dans les résumés de cours.
(Extrait du manuel sésamath , pour la méthode complète  cliquer ici )
La section  obtenue est donc un rectangle.
(Précision non demandée : l'un de ses côtés mesure AB )
2) Dessin de la section en perspective (sur la figure tracée)
Il est indiqué dans l'énoncé que la section passe par les point M et H, parallèlement à (AB)
Elle "entre" donc dans le pavé par un segment qui joint M à un autre point du pavé et qui est parallèle à (AB)
et "sort" par un segment qui joint H à un point du pavé et qui est parallèle à (AB).
(Ce dernier segment est [HG].)
On obtient donc la section donnée sur le dessin ci-dessous.
Section qui est conforme à l'énoncé (le traît de la coupe est bien parallèle à (AB) )
(Les traits en pointillés correspondent à des côtés non visibles).
3) Dessin de la section en vraie dimension.
Dans la question 1) nous avons pu remarquer que l'un des côtés du rectangle mesure AB, l'autre, MH n'est pas connu, mais peut être tracé à partir du triangle rectangle MEH dont on connait la mesure des deux côtés de l'angle droit (ME et EH) et dont MH est l'hypoténuse (Remarque : on aurait pu calculer la mesure MH, mais l'énoncé nous l'interdit en précisant "sans calcul préalables").
On commencera donc par tracer le triangle MEH.
Ayant obtenu ainsi le côté MH, on l'utilise pour compléter le rectangle en traçant les angles droits et en reportant avec le compas la mesure AB ( = 5cm)
(Remarque : EH = 6cm est donné par l'énoncé, mais pas ME. On obtient la mesure ME à partir de AM + ME = AE, et donc 2,5cm + ME = 7cm   - car AE = BF
soit ME = 7cm - 2,5cm, d'où ME = 4.5cm

S'entrainer sur les sections en tous genres, avec Mathenpoche

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4 janvier 2011 2 04 /01 /janvier /2011 18:04
1) Cette question est une application directe de la réciproque du thèorème de Pythagore.
(Extrait du manuel sésamath , pour la méthode  cliquer ici )

On connait la mesure des trois côtés du triangle
on peut donc calculer
d'une part
la somme des carrés des deux petits côtés
IS² + TS² = 12² + 5²
                = 144 + 25
        = 169
d'autre part
le carré du grand côté
TI² = 13²
       = 169
On constate que
IS² + TS² = TI²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, cette égalité étant vérifiée, le rectangle IST est rectangle en S et son hypoténuse est TI.
(Pour des exercices de mathenpoche sur ce thème  cliquer ici )

 

2) Dans cette seconde partie de l'exercice, nous avons la situation classique, similaire au cours, du théorème de Thalès
dans sa version "papillon".
(Les deux triangles aux côtés proportionnels sont opposés par un sommet commun)
L'exemple ci-dessous, tiré du manuel sesamath, peut être utilisé directement.

(Pour la méthode complète cliquer ici )

Il suffit de remplacer dans l'exemple C par N, D par A, G par I, H par T et T par S.
 D'où l'on déduit 
Quelques exercices de mathenpoche concernant l'application directe du théorème de Thalès

 

 

La troisième question est elle aussi une application directe du cours.
On utilise ici la réciproque du théorème de Thalès qui permet
à partir d'une configuration donnée (voir le rappel de cours)
de démontrer (prouver) que deux droites sont parallèles,
dès lors que deux rapports sont égaux.

 

(Extrait du manuel sésamath , accès au manuel cliquer ici )
Après avoir précisé les éléments qui font que nous avons bien dans la configuration de Thalès,
on calcule les rapports de côtés qui se correspondent.
Après avoir constaté que ces rapports sont égaux,
on peut déclarer que, en vertu de la réciproque du théorème de Thalès, les droites concernés sont bien parallèles.

Quelques exercices de mathenpoche concernant la réciproque du théorème de Thalès

 

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