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23 décembre 2007 7 23 /12 /décembre /2007 10:11
Dans l'article précédent concernant la

Preuve par Neuf(*)

J'ai donné un exemple de l'utilisation de la preuve pour l'addition qui tendait à faire croire que cette preuve était tout à fait inutile car plus longue que la vérification par d'autres procédés.

Je vais, pour effacer un peu cette impression négative, donner ici deux exemples où ce n'est pas tout à fait le cas.

Tout d'abord à partir d'un nombre souvent évoqué ici

Preuve par neuf - un exemple où elle est un peu plus utile
(Ce nombre est obtenu à partir de l'inverse de 7, il possède un grand nombre de propriétés remarquables)


Preuve par neuf et addition - exemple

Ici la preuve est un peu plus simple et rapide à faire, en effet


Preuve par neuf - un exemple où elle est un peu plus utile

D'où une conclusion très rapide

Preuve par neuf et addition - exemple


Indice (si ce n'est preuve) que mon résultat serait exact



Autre exemple où le calcul de la somme des chiffres (et donc du "reste dans la division par neuf") est assez rapide du fait de la répétition des chiffres.

Preuve par neuf et addition - exemple 2
Même avec des nombres beaucoup plus grands, le résultat serait assez rapidement obtenu.

La croix de la preuve s'écrit donc :

Preuve par 9 pour l'addition - exemple 2




* La preuve par neuf (les) - Certificat d'Etudes Primaires - addition ; soustraction ; multiplication ; division.

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22 décembre 2007 6 22 /12 /décembre /2007 21:10
Déjà évoquée ici, je donne le détail des différentes preuves par neuf que l'on peut utiliser pour avoir, non pas une preuve, mais un indice de la justesse d'un calcul.

Actuellement on ne connaît plus cette (pseudo)preuve que pour la multiplication.

Elle est en fait utilisable, avec des variantes, pour les quatre opérations.

Preuve par Neuf
Toutes ces preuves sont dues à la propriété remarquable du nombre 9
pour tous les nombres (écrits en base 10)

Le reste d'un nombre dans la division par 9
est égal à la somme de ses chiffres
(lorsque cette somme est inférieure à 9
sinon on poursuit le principe)

ici je propose un petit détour par un exercice guidé où l'on teste
la divisibilité de nombres par 9
cliquer sur le logo du site Euler*
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/logo/euler.jpg


La "preuve" de l'addition repose sur le principe que

Si le reste dans la division par M d'un nombre N est de R
et que
Si le reste dans la division par M d'un nombre N' est de R'
Alors
 le reste dans la division par M du nombre N + N' est
le nombre  R s'il est inférieur à M
le nombre R-M dans le cas contraire

En gros pour le diviseur 9

"Le reste d'une somme (dans la division par 9)
est égal à la somme des restes"

(lorsque cette somme est inférieure à 9
sinon on poursuit le principe)

D'où ce qui suit

Preuve par neuf - addition

autre exemple :
si en calculant  123 + 654 j'obtiens 777

je calcule
la somme des chiffres de 123 soit 1 + 2 + 3 = 6
la somme des chiffres de 654 soit 6 + 5 + 4 = 15
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 15 soit 1 + 5 = 6

Je fais la somme des résultats obtenus
6 + 6 = 12
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 12 soit 1 + 2 = 3

Je procède de la même manière pour les chiffres de 777
(mon résultat à vérifier)
je calcule
la somme des chiffres de 777 soit 7 + 7 + 7 = 3 x 7 = 21
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 21 soit 2 + 1 = 3

"Le reste de la somme correspond à la somme des restes"
(aux précisions près apportées entre parenthèses)

Je possède donc un indice tendant à prouver que le résultat de mon calcul
est exact.

Mais je n'ai aucune certitude
puisque si j'avais obtenu 102
dont la somme des chiffres est également 3
j'aurais pu penser la même chose.

On voit de plus que, pour l'addition, la preuve par neuf n'est pas très intéressante.
Bien plus longue que de refaire le calcul

Ou mieux encore d'effectuer la soustraction qui permet, elle, d'avoir la certitude, si l'on retrouve la valeur de départ, que mon calcul est exact.


  7 7 7
- 6 5 4
 
= 1 2 3


Plus rapide et surtout bien plus efficace.

Pourtant, cette "preuve" pour l'addition n'est pas totalement inutile
elle aide à bien comprendre ce qui se joue dans la notion
de reste, de multiple, et même de division euclidienne.


Pour la preuve par 9 d'une soustraction
le principe est exactement le même.

Preuve par neuf - soustraction

On peut vérifier une soustraction
en faisant l'addition du résultat et du nombre soustrait

ainsi

si en calculant 777+ 654  j'obtiens  123
c'est que je dois avoir
  123 + 654 = 777

et j'en suis ramené à la preuve par neuf de cette opération.
(Ou à effectuer cette addition, ce qui est ici encore, plus rapide)

La preuve qui est véritablement utile est celle de la multiplication
c'est la raison pour laquelle, celle-ci a subsisté quelques temps
à l'utilisation massive de la calculette.

Elle repose sur un principe similaire, à savoir

"Le reste d'un produit (dans la division par 9)
est égal au produit des restes"

(lorsque ce produit  est inférieur à 9
sinon on poursuit le principe)

D'où la méthode qui ressemble
à ce que nous avons vu pour l'addition et la soustraction



La preuve pour la division est calquée sur celle-ci
à la manière dont celle de la soustraction s'inspire de celle de l'addition
(puisque si
l'addition  est l'opération "contraire" de la soustraction
 la multiplication est l'opération "contraire" de la division)

Preuve par neuf pour la multiplication
Preuve par neuf - la multiplication

Preuve par neuf pour la division

http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/preuve-s--par-neuf/05---preuve-par-neuf-des-operations---division.jpg

Dans la case qui correspondait au produit
pour la preuve de la multiplication
se trouve à présent
pour la preuve de la division
le produit plus le reste


Apprendre les différentes preuves par 9, est une excellente préparation pour aborder la notion de PGCD ** et pour comprendre***
(
en étendant les règles qui sous-tendent ces preuves)
la méthode des soustractions successives
ainsi que l'algorithme d'Euclide.


Pour terminer, une question
Maurice de Thaelm affirme dans son
"obscure opuscule au service des nombres oubliés"
que c'est le mathématicien Diophante d'Alexandrie qui a le premier évoqué le critère de divisibilité par neuf ET la preuve par neuf
Lélio Lacaille quant à lui, affirme que c'est l'Egyptien Ahmes
qui est responsable de ces deux découvertes.

A toi de départager nos deux hableurs

Je te propose
en nommant CDN la première découverte
(le Critère de Divisibilité par Neuf)
et PN la seconde
(la Preuve par Neuf)
Diophante d'Alexandrie DA
Ahmes A

les choix suivants


  CDN PN
1 DA A
2 A DA
3 DA et A --
4 -- DA et A
5 -- --

à toi de jouer ...


* Site de l'académie de Versailles
** Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres (entiers)
*** partiellement, fugitivement (mais il reste toujours quelque chose) ou totalement et durablement.

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19 décembre 2007 3 19 /12 /décembre /2007 17:26
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires
Bien comprendre la différence entre la multiplication et l'addition passe par une bonne compréhension des méthodes de calcul.


Comme toujours, une petite activité préparatoire est la bien venue.

Les élèves du 21ème siècle auront un peu de mal à trouver la boutique de la mercière, et leur mère doit rarement acheter du tissu pour leur faire des vêtements, mais ils peuvent éventuellement aller faire un tour du côté du magasin de bricolage (mètres de tuyau d'arrosage)  et de la boulangerie.

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - Activité préparatoire

Ici, l'activité n'est pas vraiment en rapport avec le thème, sauf pour la question relative à la longueur de l'étoffe et au prix du mètre, qui rendront utile la connaissance de la multiplication pour déterminer le prix à payer (idem pour le tuyau d'arrosage)

D'ailleurs, on enchaîne immédiatement avec
l'utilité de la multiplication :

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - Utilité de la multiplication

Ici on insiste beaucoup sur le mot TOTAL

mot qui indique bien que la multiplication est un raccourci de l'addition
dans le cas où l'on doit répéter plusieurs fois la même addition
(quand la même quantité est additionnée plusieurs FOIS)

Une première série d'exercices permet d'illustrer cela

L'image “http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/multiplication-des-nombres-entiers/multiplication-des-nombres-entiers----premiers-exercices.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.

L'exercice 3 n'a l'air de rien, pourtant il montre déjà une notion qui n'est étudiée que bien plus tard (si elle l'est)
à savoir celle de "mise en facteur" ou factorisation

trois chemises vont coûter trois fois plus et donc on devra payer

3 x (3 billets de 100 Fr + 2 billets de 10 Fr + 1 pièce de 1 Fr)

la multiplication par trois peut être mise en commun
3 peut être factorisé

3 est le facteur commun à
3x100 fr   2x10Fr  et  1x1Fr
d'où la manière de calculer le prix
3 x (3x100 fr + 2x10Fr + 1x1Fr)



Il est temps de rappeler, et même d'expliquer, la pratique de l'opération.
La manière dont on pose le calcul et pourquoi on procède ainsi.

Ici la décomposition qui est faite dans un premier temps, permet de comprendre la raison de ce fameux décalage dans lequel on met des zéros (ou des espaces vides. Le zéro est bien plus explicite.)

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - disposition pratique


Ici aussi, on explicite en fait en montrant la mise en commun du facteur 984
puisque l'opération se fait en trois parties qui sont

984 x 7 (unités) + 984 x 3 (dizaines) + 984 x 4 (centaines)

et qui correspondent à
 984 x (7 (unités) +  3 (dizaines) + 4 (centaines) )

c'est à dire que
984 x 7 x(1) + 984 x 3 x(10) + 984 x 4 x(100)

et qui correspondent à
 984 x (7  +  30  + 400  )

D'où la disposition "avec les décalages et zéros"qui correspondent au résultat de ces calculs

à savoir              6 888 + 29520 + 393600
  430 008


Petites applications directement en relation avec le précédent problème.

(Au passage, on évoque l'analogie entre l'aire d'un rectangle et la multiplication.)
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - premiers exercices d'application



Ici on en profite pour (hors sujet dirait quelqu'un qui se soucierait avant tout de la rigueur de l'atteinte des objectifs en rapport avec les compétences évoquées dans la leçon*) donner quelques éléments de culture générale qui pourront être ensuite utilisés dans les exercices et problèmes.

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - règles du commerce
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - règles du commerce

Ici, l'élève est prêt à aborder des situations qui nécessiteront l'utilisation de la multiplication
...
et bien plus.

 1 Exercices 9 à 13  2 Exercices 14 à 17  3 Exercices 18 à 20
 4 Exercices 21 à 24  5 Calcul mental  6 Loisir



Petite difficulté pour les "loisirs" : retrouver la définition d'une "mercuriale"




* A mettre en rapport avec ...



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14 décembre 2007 5 14 /12 /décembre /2007 18:12
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/titre.jpg

Ici le réel prime
le thème traité n'est pas vraiment un point du cours de mathématiques mais plutôt un thème de la vie quotidienne permettant d'utiliser, d'illustrer ou même d'introduire des connaissances essentiellement dans le domaine du calcul.

On commence par une activité de découverte qui vise à emmener les élèves sur le lieu concerné, à savoir le bureau de poste.
(Il s'agissait alors des PTT   Postes Télégraphe Téléphone)

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/activite.jpg

Le tableau à corriger évoqué dans cette présentation d'activité est à actualiser en utilisant les nouveaux tarifs.
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/lecture-d--un-tableau-a-double-entree.jpg

On peut tout à fait l'utiliser pour faire, moyens modernes oblige, une recherche par Internet des tarifs en vigueur de nos jours.

Tarifs au départ de France Métropolitaine à compter du 15 janvier 2007

(PDF, 314.4 ko)


(Quelques surprises à la clé)


Un petit détour pour évoquer le cheminement du courrier et des colis


http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/le-transport-des-lettres-et-paquets.jpg
Peu d'adolescents de 15 ans ont une idée de ce trajet, qui dans ses grandes lignes n'a pas trop changé.

Il est vrai que de nos jours une grande partie des courriers est virtuel et passe soit par le téléphone (TEXTO) soit par Internet.
Les deux systèmes étant appelés un jour ou l'autre à n'en faire plus qu'un.

Mais concernant ces deux modes de communication, peu d'adultes connaissent le trajet d'un des messages qu'ils envoient ainsi sans papier
.


Suivent quelques exercices de lecture du tableau à double entrée proposé précédemment.

http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/lecture-d--un-tableau-a-double-entree---exercice.jpg

Il est à remarquer que, dans le domaine des prix, comme celui des mesures, un grand nombre d'instruments proposent de nos jours des "lectures directes"
allégeant considérablement le travail de recherche de l'information.

Bénéfique lorsqu'il s'agit d'un véritable travail
cet allégement ne l'est pas en ce qui concerne l'apprentissage des techniques de recherche de l'information et des outils de lecture qui, par l'effort qu'ils demandent, aident l'esprit à élargir son champ d'action.

La montre : avec sa géométrie et sa liaison avec les "fractions d'un nombre" (ex 15/60 = 1/4)
La règle ou les appareils à cadran, pour lesquels il faut correctement positionner l'outil et l'oeil pour obtenir une mesure correcte.

Nous avons donc tout intérêt, dans l'enseignement des mathématiques, à conserver ces outils qui ne délivrent pas immédiatement le résultat, mais obligent à une recherche "spatialisée" et nécessitant un minimum de planification.


Petite information concernant le Télégraphe et le Téléphone
(les deux T de PTT)
Information tout à fait dépassée à ce jour (notamment par internet et la téléphonie mobile ... sans opératrice de mise en ligne manuelle)
et qui n'a d'intérêt (éventuel) qu'historique.

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/le-telephone.jpg

On retrouve la "standardiste" du fameux scketche de Fernard Reynaud "le 22 à Asnière" où, pour obtenir un numéro à deux pas de chez lui, il est conduit à passer par New-York.

C'est en fait le cas, pour un grand nombre des produits que nous achetons, dont certains font des milliers de kilomètres pour être distribués à deux pas de l'endroit où ils avaient été produits avant transformation.


Quelques exercices petits problèmes (le premier nécessitant l'almanach des postes)
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/avec-l--almanach-des-postes.jpg
(on pourra chercher le montant actuel des surtaxes correspondantes)



Un petit problème en rapport avec le sujet et la classe (avec une morale : "oublier ses cahiers coûte cher à ses parents".

Remarque : autrefois il y avait beaucoup d'élèves "pensionnés" c'est à dire "Interne".


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/probleme-12-1.jpg

Il est fort possible que certains, dont des personnes à la parole labélisée, considèrent que cet exercice est un exercice de torture.

Il s'agit pourtant du premier problème proposé dans ce chapitre.
...
Que s'est-il donc passé pour que l'on ose plus proposer ce genre de travail, à des élèves dont certains considéreraient peut-être comme plus éprouvant un exercice de formalisation des relations des arêtes d'un parallélépipède rectangle.*


Suite des problèmes proposés sur ce Thème
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/probleme-13-15.jpg

Des exercices qui travaillent la souplesse à la lecture d'un énoncé
(capacité à mettre tout l'énoncé dans sa tête)



Suite de ces petits problèmes
http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/probleme-16-18.jpg



Suite et fin des problèmes de ce chapitre consacré à la poste

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/bureau-de-postes/probleme-19-21.jpg



* Une élève me disait au début de l'année lors de la présentation faite devant les parents "j'ai horreur de la géométrie"
ce matin peu de changement, mais tout de même :
"J'y pensais l'autre jour ... j'aurais du vous dire, j'ai horreur de la partie numérique !"


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13 décembre 2007 4 13 /12 /décembre /2007 18:12

Extrait d'un manuel destiné à l'enseignement des classes de Certificat d'Etudes Primaires.

On voit que la construction de ces deux notions (parallélépipède rectangle et cube) part d'une réalité qui est très sensible et proche de l'élève.
Parallélépipède rectangle et cube - Manuel à destination des classes de fin d'études primaires
En même temps l'ensemble est assez rigoureux et la formalisation des notions associées relativement poussée ... pour des élèves considérés comme non destinés à l'abstraction.
Parallélépipède rectangle et cube - Manuel à destination des classes de fin d'études primaires
L'introduction est faite en partant du plus général ou plus quelconque (le parallélépipède rectangle) , pour aller au particulier (le cube)
et non l'inverse comme c'est souvent le cas
avec pour conséquence de renforcer la tendance (fréquente chez tous les élèves, mais aussi chez les adultes profanes) de ne voir, par exemple, comme quadrilatère, dans un premier temps, que le carré.

Cuboïde
Cube

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7 décembre 2007 5 07 /12 /décembre /2007 22:30
Ecriture des Grands Nombres - titre

D'un ancien manuel du Certificat d'Etudes Primaires, déjà cité ici, je donne la page consacrée à l'écriture des grands nombres

Intéressante parce qu'elle part de ce que l'on nomme de nos jours une "Activité"
et que celle-ci est immergée dans l'action puisqu'il s'agit de faire une enquête pour aller à la rencontre de ces grands nombres.

http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/grands-nombres---activite-d--introduction.jpg

Il est peu probable que les élèves de sixième de collège aient la moindre connaissance en rapport avec les questions de cette activité de découverte des grands nombres.


(pour voir la série d'exercices en rapport avec cette notion sur le site de Maths En Poche, cliquer ici )

La leçon qui suit est illustrée de données en rapport avec l'époque et pourraient bien servir au cours d'histoire.
(notamment peut-être pour en discuter la validité)

La leçon :



Les données chiffrées :

Ecriture des grands nombres - règle


L'écriture des Très Grands Nombres :

Ecriture des grands nombres - règle
De nos jours, on utiliserait plutôt des éléments en rapport avec la finance qui permettent d'approcher des grandeurs bien plus importantes.

Mais sur le fond, cette présentation demeure parfaitement correcte.

Ecriture des grands nombres - règle
Tableau de lecture des grands nombres :
Ecriture des grands nombres - règle
Suivent quelques exercices
Ecriture des grands nombres - règle
Est très bien expliqué ici le principe de la retenue
puisque l'on commence par écrire le chiffre comme "dizaine" dans le résultat, pour le transférer alors seulement au rang supérieur comme "retenue"


Ecriture des grands nombres - règle
Ici encore, dans ces exercices d'applications, les exemples donnés sont tirés du réel (de l'actualité d'alors ... de l'histoire à présent).

pour voir tous les exercices de ce chapitre dans ce livre,
cliquer sur l'image réduite

Ecriture des grands nombres - règle

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5 décembre 2007 3 05 /12 /décembre /2007 21:08
Autrefois on enseignait l'extraction de la racine carrée "à la main"

Il n'y a pas si longtemps d'ailleurs, puisque je me souviens l'avoir appris à des élèves de CAP (!)

Du temps où ce diplôme était très prisé sur le marché du travail.
C'était avec des adultes (30 à 55 ans) qui souhaitaient passer en Unités Capitalisables (une de ces unités était constituée des mathématiques) un Certificat d'Aptitude Professionnelle à la fonction de Lamineur.

Actuellement, il n'y a plus de formation de lamineur.
Le marché du travail recherche activement des hommes ou femmes ayant cette qualification (savoir de haute qualité)

Ci-dessous, deux pages du livre "éléments d'arithmétiques" (1884) qui donne cette technique d'extraction de la racine carrée d'un nombreExtraction à la main de la racine carrée d'un nombre
Pour agrandir l'image cliquer dessus

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24 novembre 2007 6 24 /11 /novembre /2007 19:16
Il est un peu vieilli par un usage qui a du être assez intensif
et les annotations en recouvrent parfois le texte

mais je parviens encore à lire ce qu'avait destiné l'auteur ... au géomètre en herbe.

http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/manuels/g-om-trie--l-mentaire/presentation.jpg

A noter : cet ouvrage s'adressait aux quatrièmes, troisièmes, secondes et premières.

Les objectifs semblent donc moins ambitieux en terme de quantité qu'à notre époque moderne,
mais la substance est assez dense.

On y trouve en particulier les définitions que la matière semble avoir bannies ... (pour un temps ?)

Ci-dessous, les programmes qui sont abordés par l'ouvrage.
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/manuels/g-om-trie--l-mentaire/page-0---detail.jpg

Loin de moi l'idée de prôner un retour en arrière
ces programmes sont effectivement un peu trop linéaires (et statiques)
mais assurément il y a là une structuration des connaissances un peu moins désordonnées que ce que nous connaissons actuellement où la même chose est tartinée de la même manière (en particulier à l'école primaire et au collège*)

En attendant bien sur, une véritable démarche spiralaire ...


L'auteur commence par donner quelques définitions qui permettrons de construire le cours
http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/manuels/g-om-trie--l-mentaire/pages-1---detail.jpg

http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/manuels/g-om-trie--l-mentaire/p1-a.jpg

On remarque
et c'est une recommandation que j'ai vue assez souvent dans les manuels des années fin du XIX début du XXème
que ces définitions partent du monde sensible de l'élève
à savoir le monde en relief (on dirait en 3D)
seul monde réel
à partir duquel il est possible de construire le monde plat (ce qui se trouve dans le plan) et celui des lignes (en particulier droites)

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7 décembre 2006 4 07 /12 /décembre /2006 23:05
Quelques anciens exercices à propos de l'écriture des grands nombres
Ecriture des grands nombres - règle


Ecriture des grands nombres - règle

On voit que tous ces exercices correspondent à des situations concrètes
mais à la différence de certains manuels actuels, la plupart d'entre elles ne sont pas artificiellement construites pour l'être.
Ecriture des grands nombres - règle
Ci-dessous, on remarquera les exercices de calcul mental, alors qu'ils reviennent tout doucement à la mode.

Ecriture des grands nombres - règle

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