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Philippe Mercier

 

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25 mars 2019 1 25 /03 /mars /2019 21:50

Dans l'exercice que pose Lilou sur le forum http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/

je dois rédiger un problème en mathématiques mais je n'y arrive pas vraiment !
Le problème : On a représenté dans le tableau ci-dessous les deux premières rangées A et B des sièges d'un avion qui sont répartis autour d'une allée centrale.
Le tableau :
9- 10- 11- 12- B - 13- 14- 15- 16
1- 2- 3 - 4 - A - 5 - 6 - 7 - 8
Le siège 11 est à la rangée B et il est noté B11.
Il y a au total 26 rangées.
Sur quelle rangée se trouve le siège :
a. 52 ? b. 155 ?

http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/viewtopic.php?f=3&t=16122

 

Il y a une information implicite (=qui n'est pas précisée)
à savoir que toutes les rangées ont le même nombre de siège.

Ici encore, on apprend à l'élève à ne pas se poser de question ... inutile.

Une autre concerne le code.
L'élève doit comprendre que TOUTES les places sont notées à la manière de la place
11 qui est dans la rangée B, (laquelle est notée B11) 

L'énoncé aurait été plus clair si on avait dit que chaque place était notée par son numéro d'ordre et la lettre de sa rangée exemple :
Le siège 11 étant à la rangée B, il est noté B11.

-

Au-delà de ce point de détail, tout dans l'exercice fait référence à la division avec un reste
à savoir : la division euclidienne 

Mais dans les aides proposées, rien n'explique pourquoi on utilise cet outil pour résoudre le problème.

Un petit détour par un rappel du sens ne ferait pourtant pas de mal

par exemple : (sur le site http://villemin.gerard.free.fr
Pour diviser 6 par 2, je me pose la question: combien de fois 2 font 6? Ou encore, il y a combien de 2 dans 6?

(ou ... en 6 combien de fois y a-t-il de 2 ?)

 

Et donc dans le problème de Lilou :
en 52 (pour 52 sièges) combien de fois 8 (combien faut-il de rangées pleines !
 

D'où la division 52 : 8  = ... qui donne le nombre de rangées pleines

Et si il y a un reste, c'est que le siège se trouve sur la rangée suivante.

Le reste n'est pas à détailler pour l'élève qui cherche à comprendre son exercice, et pas seulement à recopier une correction.

 

Donc : un conseil aux parents, ne tentez pas d'aider vos enfant à faire leurs devoirs de mathématiques, faites leur plutôt vous expliquer l'exercice et encouragez le à faire des essais et à vérifier si cela peut "coller" avec l'énoncé.

Vous pouvez les mettre sur la piste d'un dessin.

Ou mieux, délassez le un peu en cherchant une variante au problème qui sorte un peu de ce type d'opération.

Par exemple, donnez deux numéros de sièges et demandez lui si les deux personnes qui y sont assises sont voisines (l'une à côté de l'autre ...pas séparés par le couloir).

Certains cas vont de soit comme : 87 et 150 ou 1 et 3
d'autres moins comme : 4 et 5 ou 24 et 25

Variante : on considère voisins ceux qui sont à côté l'un de l'autre ou l'un devant l'autre.
 

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24 mars 2019 7 24 /03 /mars /2019 12:44

Lorsqu'on dessine au tableau un carré comme ci-dessous

La plupart du temps, les élèves qui viennent de l'école primaire (en sixième) ne voient pas un carré (possible), mais seulement un losange (un carré est effectivement un losange, mais a davantage de propriétés).

Leur vision ... et donc leur esprit, a été habitué à une représentation d'un carré 
du type qui figure ci-dessous.

Ils ne sont pas les seuls.

Ainsi, pour cet exercice du manuel sésamath 6ème

Il y a un implicite qui peut totalement perturber un élève non formaté par une autre habitude, à savoir celle de représenter un segment horizontal.
(et ce n'est pas spécifique à la France)

 

D'ailleurs, la construction avec un outil de géométrie dynamique comme geogebra donne le même résultat.

[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.

Le programme dessine un segment de 13 cm horizontal.

C'est ce que désire, sans le dire, "l'énoncé", pour que la suite ait du sens. Et notamment les mots demi-plan supérieur à [BC]

Ces deux demi-plan sont un peu moins nets dans le cas de la construction ci-dessous.

 

[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.
[Parents] Formatage lourd ... même le prof de maths n'y échappe pas.

Et encore moins si l'élève à choisi cette construction pour le segment, qui correspond aussi au début de l'énoncé, mais qui ne permet pas de poursuivre.

La notion de demi-plan supérieur et demi-plan inférieur n'a alors plus aucun sens.

Il y a fréquemment de tels implicites dans les énoncés. Le plus souvent les élèves qui pensent "comme le prof" c'est à dire ont intégré les codes et réduit leur pratique à "ce qui se fait" n'auront pas de problème.

Ici encore, plus on est myope du cerveau (perception restreinte) et moins on a de difficulté avec la tâche proposée.

Il y aurait eu, bien sur, d'autres manières, sans consigne implicite, de proposer ce travail :

Par exemple en disant "Les triangles ABC et ABD sont construit dans un des deux demi-plans déterminés par la droite (BC)
et pour les autres triangles on aurait parlé de "l'autre demi-plan"

Autre remarque à propos de cet énoncé.

Si un élève fait ce qu'on lui demande, il peut ne pas voir que la phrase qui suit les deux premières demandes de construction, donne une instruction qui concerne ces constructions. Alors que la présentation semble montrer qu'il y a 6 taches, il n'y en a en fait que 5. Le quatrième point indique une précision concernant les taches 2 et 3.

Cet énoncé pourrait être comparé à une recette de cuisine dans laquelle on dirait
1) Prendre un bouquet de persil
2) Verser un litre de lait dans une casserole
3) Y mettre le persil
4) Le persil doit être haché finement.

 

Certains me diront que cela habitue l'élève à être plus attentif et à lire l'énoncé en entier avant de commencer.

Bien d'accord pour la seconde remarque

Mais pour la première, habituer à restreindre les constructions de figure à des cas particuliers c'est diminuer la plasticité mentale de l'exécutant ... ce qui est la pire des choses qui puisse arriver à un humain, dans un monde où ce qui lui reste, une fois que les machines et les algorithmes ont fait leur travail, c'est précisément l'ouvrage où cette plasticité (mentale et physique) est indispensable.

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23 mars 2019 6 23 /03 /mars /2019 09:10

Exercice issu du cahier Sésamath 6ème, qui vise à entraîner aux notions de longueur (et donc périmètre) et aire.

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[Cette proposition s'adresse aux parents ... ou à des professeurs(?). 
Elle nécessite - bien évidemment - une appropriation, adaptation, modification pour ne pas ressembler à un exercice d'application du type de celui qui figure ci-dessus.

--------------------

Des notions qui semblent assez abordables, à savoir longueur, aire (surface) ou volume, sont très souvent mal assimilées parce que vues de façon trop abstraite avec un passage trop rapide à des exercices dont le support ou la matière est également très abstraite.

Il ne s'agit pas ici de critiquer l'exercice proposé, mais d'y ajouter une touche de réalité, ici en faisant le lien avec deux personnages de l'histoire de France :

Le roi Louis XI : [ De nombreux historiens ont souligné la cruauté et la traîtrise alors que Louis XI était un fin diplomate. Il fut comparé à une araignée qui tisse sa toile car il préfère la diplomatie aux armes. En témoigne les 2 200 lettres qu'il a écrit en 22 ans de règne.  ... suite  ou plus complet ]

et

Le (pauvre) cardinal de La Balue : [ Jean de la Balue, né en 1421 à Angles-sur-l'Anglin et mort en  à Ancône (Italie) à l'âge de 70 ans, est un cardinal connu pour avoir été accusé de trahison et longtemps emprisonné par Louis XI.]

Comme le dit l'article, le cardinal de La Balue a été emprisonné et enfermé dans ce que Louis XI nommait ses "fillettes". Cage en fer* où il y restera, dit l'Histoire, plus de 10 ans.
Voir : 14 octobre 1468 date de l'emprisonnement 

---

Il existe deux représentation de la "cage" de Jean de La Balue 
 

 

 

Le malheur de La Balue peut nous donner l'occasion de revoir d'une manière pratique :

Pour commencer, la notion de longueur.

1) Avant tout, évaluons les dimensions de cette cage (j'ai choisi ici celle qui convient mieux pour ce travail)
 

2) Ensuite nous pouvons tenter de calculer la longueur totale de barre de métal nécessaire à sa fabrication. (un dessin du patron de la figure peut être nécessaire)

3) On peut éventuellement modifier un peu (plus grand ou plus petit) les dimensions de la cage pour avoir un "encadrement" du résultat final (longueur de barre de métal nécessaire.

Ensuite, nous pouvons évaluer l'aire au "sol" de la cage, 

Puis l'espace disponible.

 

On peut se poser ces questions sur le second modèle.
Mais c'est plus difficile pour les longueurs.

 

Éventuellement on peut actualiser ces informations* 

 

 

______

*Des "cages" modernes, à Paris

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22 mars 2019 5 22 /03 /mars /2019 23:50

Une présentation sous forme d'une série de diapositives

Cliquer sur l'image

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22 mars 2019 5 22 /03 /mars /2019 23:05

L'énoncé de l'exercice

Bonjour , je souhaiterais que l'on m'aide pour mon devoir de maths Il faut juste inventer des expression litera égale a celle du début 1. 4 x a = ...... + ...... 4 x a = ...... - ...... 4 x a = - ...... + ...... 4 x a = ...... x ...... 2. - 3 x a = 2 x a + ....... 3 x a = 5 x a + ....... 3 x a = a x ........ 3 x a = - a x ........ 3. 7 x a - 7 = 3 x a + 4 + ......... + ......... 7 x a - 7 = - 2 x a + 10 + ......... + ........

Que l'on peut traduire en 

Bonjour , je souhaiterais que l'on m'aide pour mon devoir de maths Il faut juste inventer des expression littérales égale a celle du début

1. 4 x a = ...... + ......      4 x a = ...... - ......     4 x a = - ...... + ......
   4 x a = ...... x ......
2. - 3 x a = 2 x a + .......    3 x a = 5 x a + .......     3 x a = a x ........
      3 x a = - a x ........
3. 7 x a - 7 =  3 x a + 4 + ......... + .........
    7 x a - 7 = - 2 x a + 10 + ......... + ........

 

Pour les deux premières séries, on peut remplacer la lettre a qui représente une quantité
par une autre quantité, par exemple 1€ 

Ce qui donne 
1. 4 x 1€  = ...... + ......      4 x 1€ = ...... - ......     4 x 1€ = - ...... + ......
    4 x 1€  = ...... x ......
2. - 3 x 1€ = 2 x 1€ + .......    3 x 1€ = 5 x 1€ + .......     3 x 1€ = 1€ x ........
      3 x 1€ = - 1€ x ........

Pour le 3 on pourra donner des quantités là où il n'y en a pas
7 x a - 7 devient alors 7 x 1€ - 7 x 1$ 
Pour obtenir 7€ à partir de 3€ il faut
Pour obtenir -7$ à partir de 10$ il faut   

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22 mars 2019 5 22 /03 /mars /2019 20:39

L'énoncé de la demande d'aide :

Bonjour la consigne de mon devoir est la suivante Le triangle est équilatéral, de côté 1 . Les trois sommets sont les centres des arcs de cercles . Trouver l'aire de la figure limitée par les arcs de cercle Il y a un dessin en bas que vous pourrez voir mais ca bug donc l'image ne veut pas se mettre . Le dessin c'est un triangle équilatéral de côté 1 avec 3 arcs de cercle autour du triangle

Il manque une donnée de l'énoncé : le rayon des arcs de cercle.

On peut cependant faire un dessin dynamique (avec geogebra) dans lequel le rayon varie et regarder quels sont les cas intéressants qui pourraient correspondre à l'énoncé.

Pour que les arcs de cercles délimitent une aire, il faut qu'ils délimitent un contour, et donc qu'ils se coupent, ou à la limite qu'ils se touchent (cercle tangents)

Ils sont tangents pour un rayon de 0,5 unité

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat. (mesure de 180°)

Un triangle qui a trois angles égaux (équilatéral) a donc des angles de 180° / 3 = 60°

La part du cercle correspondante est donc 60°/ 360° = 1/6
La part de l'aire du triangle recouverte par un cercle est donc 1/6 x aire du cercle.

Pour un rayon égal à 0,5 unité de longueur cela donne :

1/6 x  π x (0,5 unité de longueur)² = 1/6 x  π  x 0,25 unité d'aire
 soit 0,25π / 6 unité d'aire.

Pour l'aire du triangle équilatéral on peut calculer valeur de la hauteur en utilisant le théorème de Pythagore (raccourcis ... qui donne)  3 /2.
D'où une aire de (hauteur x côté / 2)
1 unité de longueur x  3 /2  /2unité de longueur.
3 /4 unité d'aire

L'aire délimitée par les trois arcs de cercle est donc égale à 
 3 /4 unité d'aire - 0,25π / 6 unité d'aire x 3
=  3 /4 unité d'aire - 0,25π / 2 unité d'aire
= (3  - 0,5π) / 4 unité d'aire

Si les cercles se coupent le calcul est bien trop difficile pour la classe de troisième car il faut calculer la part des aires des cercles à ne pas compter deux fois. 

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21 mars 2019 4 21 /03 /mars /2019 11:51

Une séquence visuelle (du type présentation animée) qui détaille les composantes et le fonctionnement de la mémoire de travail qui est utilisée pour conserver des informations lors de l'exécution d'une tache ou la conduite d'un projet en temps réel.

(cliquer sur l'image)

Des conseils sont donnés pour bien utiliser cette mémoire, particulièrement sensible aux perturbations qui environnent l'action en cours.
Notamment en ce qui concerne le multitâche et les surcharges du cerveau.

Des tâches sont proposées avec un quiz, pour illustrer ce qui a été développé.

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20 mars 2019 3 20 /03 /mars /2019 16:15

Pour équilibrer les représentation purement codées et purement virtuelles des nombres en mathématiques, un support intéressant : la corde à linge.

Des exemples d'activités

Une manipulation réelle des nombres sur une corde matérielle
(Nombres entiers)

(Académie de Nancy-Metz fichier pdf )

En activité virtuelle
(Ecriture littérale)

(une grande part des avantages se perd dans l'utilisation d'un logiciel mais l'activité est plus normée)
 

 

 

Vidéos d'utilisation conjointes

 

Initiation pour l'enseignant (on peut changer le point de vue de l'image avec la souris)

On peut faire tourner l'angle de vue de la caméra. Et notamment regarder le tableau où est affiché le travail en cours.

Utilisation de la seconde corde à linge pour placer la valeur de x. Visualisation de la place de x - 3

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18 mars 2019 1 18 /03 /mars /2019 12:10

Une émission de France Culture sur pi ( π  : de περιφέρεια (périphérie))

Un poème s'écrit au fil du temps qui décrit les premières décimales de pi a actuellement 5310 vers

Le Poème π 

___________

Un concurrent pour    : π (pi)  :   τ  (tau)

100,000 digits of τ

 

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17 mars 2019 7 17 /03 /mars /2019 21:13

 

 

Si on voulait faire dessiner à QUELQU'UN un rectangle (qui, comme tout ordinateur, ne saurait pas ce que c'est) on pourrait lui dire :

"... ..."

Ce qui se trouve entre les guillemets peut-être appelé algorithme. C'est un écrit qui donne tout ce qu'il faut pour EXÉCUTER la tâche désirée. 
(ici : dessine moi un rectangle*)

Ici encore, les parents ne doivent pas suggérer des pistes, à peine, comme souvent, les encourager leur enfant à , écrire quelque chose, puis à vérifier si, ce qu'ils ont écrit permet effectivement de construire un rectangle. Et si ce n'est pas le cas de tenter d'améliorer ce qui ne va pas.
(travail sur le test de réussite, démarche essai/erreur)

Encore une fois, s'ils veulent aider leur enfant à 
- ne pas s'enfermer trop tôt dans une syntaxe qui ne leur servira que peu (pas du tout ?)
- aider leur enfant à construire du sens autour de la notion d'instruction (au sens d'ordre que l'on donne à une machine, à un humain)

Les parents doivent élargir le point de vue très restreint de ces approches de la programmation.

Cela peut commencer par une petite plaisanterie :

"Si j'écris la solution sur un papier, est-ce que j'aurais bien répondu à la question"

...
Quelle que soit la réponse, on peut ensuite poursuivre par.
"Voilà ! Supposons que j'ai écrit la solution sur le papier (par exemple la correction que donnera le professeur) et que je pose le papier sur la table, que se passe-t-il ?"

...

Je laisse tester à chacun la suite.

Il est clair que l'écrit ne dessine pas un rectangle,
l'écrit ne fait rien
il faut quelqu'un ou quelque chose pour exécuter les instructions écrites sur la feuille.
(d'où la raison pour laquelle les mots au début de la page sont écrits en lettres capitales.)

La rédaction de l'énoncé, correcte du point de vue du professeur de français, serait :

"Écris un algorithme qui, s'il est exécuté correctement, permettra d'obtenir un rectangle de 5 cm sur 10 cm."

Mais, bien évidemment, à l'école, même si on considère que c'est une, si ce n'est la, matière la plus rigoureuse, en mathématiques, on utilise très souvent des formes impropres, pleines de sous-entendus, que tout le monde apprend à respecter, traduire, compléter, pour leur donner le sens que l'on devine visé (ou parfois c'est un apprentissage par-coeur qui a habitué chacun à ajouter ce qui est sous-entendu.)

...

Autre prolongement :
On peut aussi remplacer mot "rectangle" pour retrouver la demande du petit prince à Saint-Exupéry, à savoir "s'il te plait ...

Ou dans un langage mathématique :
"Écris un algorithme qui dessine un mouton"
("Écris un algorithme qui, s'il est exécuté correctement, permettra d'obtenir le dessin d'un mouton.")

On se demandera alors ce qu'il faudrait dire à quelqu'un qui ne sait pas ce qu'est un mouton, pour obtenir ce résultat. (Travail sur la caractérisation plus ou moins précise d'une chose ...**)

Ici les trajectoires peuvent être très diverses en fonction de la nature (et des états) de chacun, mais dans tous les cas, elles auront aidé à travailler à ce qui est absolument essentiel, à savoir : conserver de la plasticité mentale, au-delà du travail très (parfois trop) technique (et ici codé, y compris comportant des codes implicites) que propose l'école .

____

* Remarque : un algorithme qui pourrait permettre d'obtenir le résultat souhaité (il est déconseillé de le proposer comme réponse) pourrait être.

Numériser une feuille de papier de couleur.
Redimensionner l'image pour qu'elle mesure 10 cm en longueur et 4 cm en largeur.

** Ici on approche un travail très important proposé par le philosophe Pierre Levy (grand spécialiste des nouvelles technologie) relatif à un langage qui permettrait précisément à un ordinateur de "maîtriser" le concept de "rectangle" (simple car utilisant des objets n'ayant qu'une caractéristique : les points) mais aussi, à terme, "de mouton" pour le bonheur du petit prince (sourire)²

IEML (pour Information Economy MetaLanguage) est une langue artificielle à la sémantique calculable qui n’impose aucune limite aux possibilités d’expression de nouveaux sens. ​​​​​​​

Pierre Levy

Deux et deux ne font pas quatre ...

Autre remarque :  Deux et deux ne font pas quatre
La preuve, si on écrit deux et deux (ou 2 + 2) sur une feuille 
et qu'on enferme ce papier dans un tiroir 
En le ressortant, il n'y a pas 4 

...

c'est nous, notre esprit, qui fait 4 avec 2 et 2 !

Il y a toujours un sujet dans les actions. Et quand il n’apparaît pas ... il faut le chercher.

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"Il est évident que ...." qui ne comporte pas de sujet
Signifie en réalité, "il ME semble" (ou mieux "JE trouve") " évident que ..."

De même, 
"Il est plus normal de ..."

 

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