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8 octobre 2007 1 08 /10 /octobre /2007 19:55
 http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/images/cahier-de-texte.jpgLlyes devait calculer le reste et le quotient dans la division Euclidienne d'un nombre par 11
puis du même nombre par 7
et pour finir, du même nombre par 14

Après avoir fait son calcul sur une feuille de brouillon, il raye soigneusement ce devoir fait sur son cahier de texte.
Malheureusement, le chat s'empare de sa feuille de brouillon et disparaît par la fenêtre.

Lyes ne se souvient plus du nombre de l'énoncé
Il se rappelle seulement qu'il était inférieur à 300
et aussi d'un détail particulier :
tous les restes de ses divisions étaient 5

Aide Lyes à retrouver le nombre disparu.


Si tu as deviné où trouver la solution, cherche tout de même un peu avant de te jeter dessus.
Elle ne t'apprendra pas grand chose si tu ne prépares pas un peu le terrain en manipulant TOI même les données de l'énoncé.

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7 octobre 2007 7 07 /10 /octobre /2007 18:00
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici
(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -


Cette question était une question subsidiaire, pour ceux qui risquaient  de s'ennuyer.

7) Si n est un nombre entier, donner deux diviseurs (différents de 1) du nombre qui correspond à l'aire hachurée.

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-7.jpg

On peut calculer cet aire,
c'est celui du carré de côté n (n²) auquel on retranche le carré de côté 1 (1²=1)
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-7-.jpg


A partir de cette figure, on peut recomposer différemment la même surface en utilisant le découpage suivant.

http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-7c1.jpg

Le rectangle de bas est collé sur le côté du rectangle du haut
comme montré dans les dessins ci-dessous.
http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-7c2.jpg

http://accel92.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-7c2.jpg

L'égalité  n² - 1 = (n+1)(n-1)  est donc ainsi démontrée

Le nombre n² - 1 qui représente correspond à la mesure de l'aire hachurée
est donc multiple des nombre n+1 et n-1

On peut le vérifier sur quelques exemples

48       (49 - 1 = 7²- 1) est multiple de 6 et de 8
63       (64 - 1 = 8²- 1) est multiple de 7 et de 9
80      (81 - 1 = 9²- 1) est multiple de 8 et de 10
99    (100 - 1 = 10²-1) est multiple de 9 et de 11
120  (121 - 1 = 11²-1) est multiple de 10 et de 12
143  (144 - 1 = 12²-1) est multiple de 11 et de 13
...

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7 octobre 2007 7 07 /10 /octobre /2007 17:44
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/introduction.jpg
Cette notion est également en rapport avec la multiplication.

On peut simplifier une fraction si son numérateur et son dénominateur ont un diviseur commun (puisque cette même division ne changera pas la valeur de la fraction)

Ce qui revient encore une fois à calculer leur PGCD* (avec la méthode de la question
2) (cliquer sur le numéro pour revoir cette question)




http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/correction.jpg

6) simplifier la fraction suivante :
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-4.jpg

On retrouve les nombres de la question 2
(dans un contrôle il faut faire attention à la suite des questions. Souvent on y reprend d'ancien résultats)

On y avait vu que le PGCD de 490 et 3025 est  5

d'où la simplification* que propose C.


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-6c.jpg
(Par 5)



* Entraînement à la simplification de fraction :
http://siteexomath.free.fr/5ieme/simplification_de_fractions.htm
** Egalement ici
http://mathenpoche.sesamath.net/4eme/pages/numerique/chap2/serie1/exo3/N2s1ex3_an.swf

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7 octobre 2007 7 07 /10 /octobre /2007 17:17
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/introduction.jpg
Cette notion est également en rapport avec la multiplication.

Les nombres premiers entre eux sont ceux qui n'ont rien de commun du point de vue de la multiplication (décomposition en produit)

Ce sont donc des nombres qui n'ont aucun diviseur commun (autre que 1).

Ainsi, deux nombres premiers sont nécessairement premiers entre eux.

Pour voir si deux nombres ont un autre diviseur en commun, il suffit de calculer leur PGCD* (avec la méthode de la question
2) (cliquer sur le numéro pour revoir cette question)




http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/correction.jpg

5) Les nombres 55785721 et 55785722 sont-ils premiers entre eux
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-4.jpg

Si on utilise le calcul du PGCD par la méthode des soustractions on obtient à la première étape
Nombre 1 Nombre 2 Différence
55785721 55785722 1

Le Plus Grand Diviseur Commun à ces deux nombres n'est donc pas supérieur à 1.
Conclusion, qui est celle de C.
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-5c.jpg

Qui se contente de l'affirmer (cela ne suffit pas)

En fait, plus généralement,
deux nombres consécutifs sont nécessairement premiers entre eux,
puisque
leur différence est 1



*Outil pour le calcul du PGCD : voir en bas de la page
http://jpm-chabert.club.fr/maths/Lexique/pgcd.html
Le programme donne les deux méthodes ... et d'autres choses.

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7 octobre 2007 7 07 /10 /octobre /2007 09:32
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -


http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/introduction.jpg
Cette notion est en rapport avec la multiplication.

Les nombres premiers sont ceux qui permettent de générer tous les autres nombres.

Ainsi, le nombre 2 suffit pour générer les nombres 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024; ...
(que ceux qui s'intéressent à l'informatique connaissent bien)

Ainsi, le nombre 17 suffit pour générer les nombres 289; 4913; 83521; 1419857; 24137569; 410338774*; ...

Des nombres qui ne peuvent pas être générés (obtenu dans une multiplicationpar des nombres qui les précèdent sont dits "premiers"**
De ces nombres, on exclut 1 et pour cela les mathématiciens ont mis au point la définition suivante:


Un nombre premier est un entier naturel, admettant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

source
: Wikipedia ... et un peu partout sur la toile, puisque cette définition est mondiale

1 n'est donc pas premier puisqu'il n'admet qu'un seul diviseur : lui-même (importance ici du mot : "disctincts" ) ***


http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/correction.jpg

4) Le nombre 2209 est-il premier
http://accel95.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-4.jpg

C'est ici qu'il faut se souvenir des résultats de la question précédente

où l'on a obtenu (merci C.)

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-3c.jpg

On voit donc que 2209 est le produit de 47 par 47
la conclusion est donc

http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-4c.jpg

Pour ceux qui n'ont pas fait le lien avec l'exercice précédent, il est rare qu'ils aient découvert ce diviseur,
il leur fallait en effet essayer successivement tous les nombres premiers jusqu'à 47,
c'est à dire
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 et 41

Mais avec un peu d'énergie, on arrivait au même résultat : 47 divise 2209
2209 n'est donc pas premier


Remarque : On peut gagner de l'argent avec les mathématiques et en particulier avec les nombres premiers.
En effet, ces nombres sont très recherchés, notamment par le milieu de la banque, pour les codes secrets des cartes bancaires.

La Traque des nombres premiers ne s'arrête jamais, et régulièrement dans le monde,  quelqu'un en découvre un, plus grand que tous ceux que l'on connaissait et gagne alors quelques dizaines de milliers d'euros voir même beaucoup plus.
Lire l'article http://www.cnrs.fr/Cnrspresse/math2000/html/math10.htm
(
pour les pressés lire l'encadré en bas de page ici)

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6 octobre 2007 6 06 /10 /octobre /2007 14:44
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -

L'image “http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/introduction.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.

Les grecs et les romains nommaient l'opération que nous connaissons sous le nom de multiplication d'un nombre par un autre,
"rectangle de deux nombres",


En effet, 7 x 15 par exemple, correspond bien à l'aire d'un rectangle de
7  sur 5

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/multiplication.jpg

Et donc, tout naturellement lorsqu'il s'agissait du même nombre, ils parlaient de carré du nombre

Par exemple
7 x 7  qui correspond à l'aire d'un rectangle de 7 sur 7
était appelé
carré de 7 la notation correspondante étant

L'image “http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/correction.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.


3) Calculer le carré des nombres 45, 46, 47, 48

http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-3.jpg


Ce travail peut se faire à la calculatrice (une telle question est un cadeau) en utilisant la touche sur laquelle figure un petit   ²

Les résultats sont donc

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-3c.jpg


Remarque : lorsqu'on donne un calcul de cette nature à faire dans un devoir, très souvent, il sert par la suite. C'était le cas ici.

geombre

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6 octobre 2007 6 06 /10 /octobre /2007 10:36
Contrôle du 24 Septembre 2007

sommaire ici(Devoir 3èmes) multiples - diviseurs - PGCD - simplification de fraction -

Notion de multiple, diviseur, d'un nombre (entier)

2)
Calculer le PGCD des nombres 490 et 3025 (pour ceux qui étaient à droite de la table les nombres étaient 924 et 784)
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-1.jpg


Il y a deux méthodes pour calculer le Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres entiers.

La plus simple (élémentaire) utilise le fait que deux nombres ont les mêmes diviseurs communs que leur différence*
 

Ici je donne la correction pour 924 et 784, avec cette méthode.

nombre 1 nombre 2
différence
924
784 140
784
140
644
644
140
504
504
140
364
364
140
224
224
140
84
84
56
28
56
28
28

On s'arrête à cette étape puisque la question revient à donner le
Plus Grand Diviseur Commun à 28 et 28.

Et bien sur, c'est 28.

D'où PGCD de 924 et 784 est 28

On voit en faisant les calculs, qu'on pourrait aller un peu plus vite si à la seconde étape, voyant que l'on pourra soustraire plusieurs fois 140, on cherche à voir combien de fois (question de la division) et on calcule ce qui resterait alors
et qui est précisément le reste de la division de 784 par 140
on aurait alors directement obtenu 84 puisque
784 : 140 = 4 et il reste 84

Ce qui permet d'économiser 4 étapes (à condition de se souvenir que ce qui est important ici, c'est ce qui reste)

C'est cette méthode que C. a utilisé pour calculer le PGCD de 3025 et 490

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-2c1.jpg
On voit qu'à chaque fois, c'est bien le reste qu'elle a conservé, pour l'étape suivante*.

Pour conclure par
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-2c2.jpg


On peut même compter (en regardant les quotients) le nombre d'étape qu'elle a ainsi économisé avec cette méthode qui nous vient d'Euclide et que l'on nomme pour cette raison l'algorithme d'Euclide

A la première étape le quotient est 6
avec l'autre méthode, elle aurait fait 6 soustractions ... économie de 5
A la seconde étape le quotient est 1
avec l'autre méthode, elle aurait fait 1 soustraction ... pas d'économie
(et un calcul un peu plus long)
A la troisième étape le quotient est 3
avec l'autre méthode, elle aurait fait 3 soustractions ... économie de 2

A la première étape le quotient est 5
avec l'autre méthode, elle aurait fait 5 soustractions ... économie de 4

L'économie totale est donc de 5 + 2 + 4 , soit 11 calculs.

Lorsqu'on l'a bien comprise, cette méthode est nettement plus rapide

Exemples d'exercices sur Maths en Poche

4. Algorithme d'Euclide
5. Détermination de PGCD
6. Nombres premiers entre eux
7. Fractions irréductibles

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6 octobre 2007 6 06 /10 /octobre /2007 09:23
Contrôle du 24 Septembre 2007

Notion de multiple, diviseur, d'un nombre (entier)

1)
162 est multiple de 1620 ? (Vrai ou Faux)
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-1.jpg


Beaucoup d'élèves mélangent les notions de multiple (résultat d'une multiplication) et de diviseur (qui divise)


162 est un diviseur de 1620 puisque comme l'écrit C.
 

http://accel98.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/devoirs/troisiemes/2007-multiples-diviseurs-pgcd-premier-1c.jpg
Il n'est donc pas multiple de 1620


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6 octobre 2007 6 06 /10 /octobre /2007 08:33
Ces feuilles sont faites pour être utiliser sans consigne
(c'est dans cet esprit que je les ai produite et pratiquée notamment en SEGPA, en IMPRO et avec des élèves en difficulté du collège)
je ne donnerai donc pas, dans un premier temps de précisions quant au travail qu'il faut y produire.
(L'activité consiste autant à faire ce travail qu'à découvrir la feuille et le sens qu'elle propose)

Pour agrandir les images, cliquer dessus.

Image:Remédiation-exercice-de-recouvrement.jpg

Image:Recouvrement p05.jpg



(remarque : Oui, il faudrait que je refasse ces documents en laissant blanche - avec quadrillage - la zone de réponse)

geombre


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3 octobre 2007 3 03 /10 /octobre /2007 14:58
Il est de nombreux cas en mathématiques où l'évidence (apparente) empêche d'aller au bout d'un travail
On ne voit pas l'intérêt de prouver quelque chose qui semble évident.

Comme par exemple une propriété des nombres que l'on déduit d'une autre connue
(on sait que si la somme des chiffres d'un nombre est un multiple de 9, alors le nombre est un multiple de 9*. Certains ont tendance à utiliser la même méthode pour savoir si un nombre est multiple de 7)
ou même l'alignement de trois points, qui "se voit" sur un dessin bien fait.

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/geometrie/thal-s/points-alignes.jpg
(Ici, l'énoncé donne A, D et E alignés et des angles droits en D et E)

Sans le quadrillage, ce serait plus difficile,
mais en s'aidant de celui qui est tracé sur la feuille, on peut supposer, à voir la figure, que les points A,B et C sont alignés.

Il n'en est rien !

En effet, si c'était le cas, les deux triangles ABD et ACE devraient avoir des longueurs proportionnelles.

Puisque leurs angles sont respectivement égaux
en A il est commun
en D et E il est droit
et en C et B il s'agit d'angles correspondants (déterminés par des côtés parallèles)

Ils ont donc la même "forme"
et l'on devrait pouvoir déduire les côtés de l'un à partir des côtés de l'autres en utilisant un même coefficient d'agrandissement (ou de réduction)

Ce coefficient de réduction est le rapport des longueurs des côtés
or
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/geometrie/thal-s/points-alignes-calculs.jpg

On peut voir ici que les rapports ne sont tous égaux
puisque celui de AE sur AD vaut 1,875
  et que celui de CE sur BD vaut 1,8888... (on devine que le 9 provient d'un arrondi !)

Ainsi, par le calcul, on constate quelque chose qui leurre l'oeil,
y compris dans un dessin très soigné.

http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/geometrie/thal-s/points-alignes-visibles.jpg

La réflexion a permis d'éviter une erreur qu'aurait entraîné la confiance aveugle en ... l'oeil.

1) Il y a ce que je vois
2) Il y a ce que je pense
3) Il y a ce que je sais par preuve ... et cela je peux en être certain
le 1) ne peut être qu'une approximation
le 2) est une opinion
ou une conjecture* (éventuellement conséquence du 1 "ce que je vois")

Remarque : tout ce qui vient d'être développé là est en rapport avec ce que l'on nomme le théorème de Thalès
qui dit précisément que,
si les points A,B et C sont alignés ainsi que A,D et E
et que (BC) et (DE) sont parallèles
alors les triangles ABC et ADE ont des côtés aux longueurs proportionnelles.

Ce qui a pour conséquence que
dans le cas où les longueurs ne sont pas proportionnelles
il y a une des conditions de validité du théorème qui n'est pas vérifiée

Dans notre cas tout y est sauf la certitude que les points A, B et C sont alignés
(A,D et E sont alignés et
(BC) et (DE) sont parallèles puisque perpendiculaires à une même droite, la droite (AE) )
c'est donc cette condition qui n'est pas vérifiée

Même si notre oeil nous le suggère, A,B et C ne sont pas alignés.



* C'est sur cette propriété que repose la "preuve par neuf"
** Le critère de divisibilité par 7 est un peu plus compliqué.
En fait, (voir sur le lien donné) il ne sert pas à grand chose puisqu'il est plus simple de diviser par 7 que de l'utiliser.
*** Quelque chose que l'on croit vrai à partir des données certaines.


(contenu à vérifier )

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