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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

26 décembre 2007 3 26 /12 /décembre /2007 13:19
Deux définitions proposée par un non mathématicien
mais qui sont pourtant plus lisible et permettent mieux l'accès direct au sens, que la plupart de celles qui traînent sur la toile.

Images IRM d'une tête humaine en pondération T1 en coupe sagittale. La tête est vue de profil, regardant vers la gauche. On peut voir apparaître, le cerveau en gris clair entouré de liquide céphalo-rachidien (en noir), de la boite crânienne et du cuir chevelu ; sur les autres coupe on peut voir les globes oculaires et au niveau du plan médian différentes structures du névraxe (face interne d'un hémisphère cérébral, corps calleux, cervelet) ainsi que d'autres tissus (langue, fosses nasales, etc.)IRM - le sens de cette illustration apparaîtra plus tard dans l'article ...


« J’appelle grandeur extensive  celle dans laquelle la représentation des parties rend possible la représentation du tout. »

(voir par exemple la composition du corps humain)

Un peu plus difficile

« J’appelle grandeur intensive la grandeur qui n’est appréhendée que comme unité et dans laquelle la pluralité ne peut être représentée que par son rapprochement de la négation = 0. »

Il en va ainsi de la température d'un corps

Quelqu'un a particulièrement bien commenté cette définition de Kant ici

Premier caractère : L’appréhension d’une quantité intensive est instantanée, c’est à dire que son unité ne vient plus de la somme de ses parties successives, l’unité d’une quantité intensive quelconque est appréhendée dans l’instant. Ce qui revient à dire que quand je dis “il fait trente degrés”, la chaleur trente degrés n’est pas la somme de trois fois 10°, que c’est au niveau des quantités extensives que trente c’est 10+10+10, mais trente degrés ce n’est pas trois fois, une chaleur de trente degrés ce n’est pas trois chaleurs de dix degrés. En d’autres termes, les règles de l’addition, de la soustraction ne valent pas pour les quantités intensives. L’appréhension de l’unité d’une quantité intensive quelconque se fait dans l’instant.

Deuxième caractère : la multiplicité contenue dans une multiplicité intensive ne renvoie plus à une succession de parties extérieures les unes aux autres, mais renvoie à un rapprochement variable du degré zéro.*


Il vous faudra peut-être relire deux fois le passage, mais si vous en avez eu la force, vous devez y gagner une réelle clarté à propos de ce qu'est une grandeur intensive.

La conscience est une grandeur de ce type.

Lorsque vous vous éveillez, c'est (en gros) votre totalité qui gagne en conscience (déplacement d'un curseur) de la même manière que la température de votre corps (autre grandeur intensive) , votre conscience, varie progressivement "par degré"
(même si tout cela va très vite)

Pour un développement plus conséquent (la page dont je me suis très largement inspiré) ici

* Gilles Deleuze
Le degré zéro si important pour la question de la température (zéro absolu)  puisqu'il pose précisément la question de l'existence de la matière

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25 décembre 2007 2 25 /12 /décembre /2007 00:00
Y a des symétries et des rotations

Joyeux Noël

et les voeux en plus

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23 décembre 2007 7 23 /12 /décembre /2007 20:22

Une exploration systématique des ouvertures du jeu de Reptyl commence (bien aidée par les élèves qui ont fourni des parties jouées avec amis, cousins, grands frères, mère, père, tante , grand-mère ...)

Pour rendre le tout plus lisible (et éviter l'obligation de rajouter des pointillés pour expliquer le déroulement de la partie ou obliger à décomposer en plateaux successifs) je présenterai ces ouvertures sous la forme de petites vidéos, avec, lorsqu'elles existent les versions jouées sur un quadrillage en papier.

Cette première ouverture n'est pas vraiment à conseiller

A première vue elle semble une bonne idée
en fait, à ce jour, elle semble funeste pour les rouges.

 
envoyé par lebateleur

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23 décembre 2007 7 23 /12 /décembre /2007 16:13
De la sixième à la troisième diverses transformations sont étudiés

La symétrie (axiale) par rapport à un "axe" (par pliage sur cet axe l'image du point se retrouve "de l'autre côté")

Voir
sur les cahiers de Maths en Poche :

1
Vocabulaire et codage
2 Construction de points
3
Construction de figures
4
Propriétés
(dernière colonne : version openaccess du document)

Les exercices interactifs sur  Maths En Poche
 G1 : Symétrie axiale

La symétrie (centrale*) par rapport à un "centre de symétrie" (l'image du point se retrouve de l'autre côté de ce centre)

Voir
sur le manuel de Sésamaths à partir du Diaporama



Sur les compléments du
manuel de Sésamaths à partir du Diaporama

sur les cahiers de Maths en poche  à partir du Diaporama


Les exercices interactifs sur  Maths En Poche

La translation définie par un vecteur (déplacement) donné (l'image du point "bouge" suivant la direction, le sens et la distance définie par la flèche correspondant au vecteur de la translation)

Les exercices interactifs sur  Maths En Poche

La rotation définie par un angle et un centre (le point tourne autour de ce centre, de l'angle en question pour donner le point image)
voir par exemple sur  Maths En Poche



Pour les revoir et les comparer, le schéma ci-dessous propose un pot pourri de toutes ces transformations :

Un certain nombre de points génèrent une image par les différentes transformations données ci-dessus.

Il s'agit d'associer à chaque point ces antécédents successifs
pot pourri d'isométried
Il y a une translation, une symétrie axiale, et une rotation
(pas de symétrie centrale mais cette transformation revient à une rotation d'un angle plat, et l'exercice aurait été bien trop difficile)

Pour une petite aide, cliquer sur la figure.



* Ou "orthogonale"

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23 décembre 2007 7 23 /12 /décembre /2007 10:11
Dans l'article précédent concernant la

Preuve par Neuf(*)

J'ai donné un exemple de l'utilisation de la preuve pour l'addition qui tendait à faire croire que cette preuve était tout à fait inutile car plus longue que la vérification par d'autres procédés.

Je vais, pour effacer un peu cette impression négative, donner ici deux exemples où ce n'est pas tout à fait le cas.

Tout d'abord à partir d'un nombre souvent évoqué ici

Preuve par neuf - un exemple où elle est un peu plus utile
(Ce nombre est obtenu à partir de l'inverse de 7, il possède un grand nombre de propriétés remarquables)


Preuve par neuf et addition - exemple

Ici la preuve est un peu plus simple et rapide à faire, en effet


Preuve par neuf - un exemple où elle est un peu plus utile

D'où une conclusion très rapide

Preuve par neuf et addition - exemple


Indice (si ce n'est preuve) que mon résultat serait exact



Autre exemple où le calcul de la somme des chiffres (et donc du "reste dans la division par neuf") est assez rapide du fait de la répétition des chiffres.

Preuve par neuf et addition - exemple 2
Même avec des nombres beaucoup plus grands, le résultat serait assez rapidement obtenu.

La croix de la preuve s'écrit donc :

Preuve par 9 pour l'addition - exemple 2




* La preuve par neuf (les) - Certificat d'Etudes Primaires - addition ; soustraction ; multiplication ; division.

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22 décembre 2007 6 22 /12 /décembre /2007 21:10
Déjà évoquée ici, je donne le détail des différentes preuves par neuf que l'on peut utiliser pour avoir, non pas une preuve, mais un indice de la justesse d'un calcul.

Actuellement on ne connaît plus cette (pseudo)preuve que pour la multiplication.

Elle est en fait utilisable, avec des variantes, pour les quatre opérations.

Preuve par Neuf
Toutes ces preuves sont dues à la propriété remarquable du nombre 9
pour tous les nombres (écrits en base 10)

Le reste d'un nombre dans la division par 9
est égal à la somme de ses chiffres
(lorsque cette somme est inférieure à 9
sinon on poursuit le principe)

ici je propose un petit détour par un exercice guidé où l'on teste
la divisibilité de nombres par 9
cliquer sur le logo du site Euler*
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/logo/euler.jpg


La "preuve" de l'addition repose sur le principe que

Si le reste dans la division par M d'un nombre N est de R
et que
Si le reste dans la division par M d'un nombre N' est de R'
Alors
 le reste dans la division par M du nombre N + N' est
le nombre  R s'il est inférieur à M
le nombre R-M dans le cas contraire

En gros pour le diviseur 9

"Le reste d'une somme (dans la division par 9)
est égal à la somme des restes"

(lorsque cette somme est inférieure à 9
sinon on poursuit le principe)

D'où ce qui suit

Preuve par neuf - addition

autre exemple :
si en calculant  123 + 654 j'obtiens 777

je calcule
la somme des chiffres de 123 soit 1 + 2 + 3 = 6
la somme des chiffres de 654 soit 6 + 5 + 4 = 15
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 15 soit 1 + 5 = 6

Je fais la somme des résultats obtenus
6 + 6 = 12
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 12 soit 1 + 2 = 3

Je procède de la même manière pour les chiffres de 777
(mon résultat à vérifier)
je calcule
la somme des chiffres de 777 soit 7 + 7 + 7 = 3 x 7 = 21
comme cette somme dépasse 9, je poursuis, et calcule
la somme des chiffres de 21 soit 2 + 1 = 3

"Le reste de la somme correspond à la somme des restes"
(aux précisions près apportées entre parenthèses)

Je possède donc un indice tendant à prouver que le résultat de mon calcul
est exact.

Mais je n'ai aucune certitude
puisque si j'avais obtenu 102
dont la somme des chiffres est également 3
j'aurais pu penser la même chose.

On voit de plus que, pour l'addition, la preuve par neuf n'est pas très intéressante.
Bien plus longue que de refaire le calcul

Ou mieux encore d'effectuer la soustraction qui permet, elle, d'avoir la certitude, si l'on retrouve la valeur de départ, que mon calcul est exact.


  7 7 7
- 6 5 4
 
= 1 2 3


Plus rapide et surtout bien plus efficace.

Pourtant, cette "preuve" pour l'addition n'est pas totalement inutile
elle aide à bien comprendre ce qui se joue dans la notion
de reste, de multiple, et même de division euclidienne.


Pour la preuve par 9 d'une soustraction
le principe est exactement le même.

Preuve par neuf - soustraction

On peut vérifier une soustraction
en faisant l'addition du résultat et du nombre soustrait

ainsi

si en calculant 777+ 654  j'obtiens  123
c'est que je dois avoir
  123 + 654 = 777

et j'en suis ramené à la preuve par neuf de cette opération.
(Ou à effectuer cette addition, ce qui est ici encore, plus rapide)

La preuve qui est véritablement utile est celle de la multiplication
c'est la raison pour laquelle, celle-ci a subsisté quelques temps
à l'utilisation massive de la calculette.

Elle repose sur un principe similaire, à savoir

"Le reste d'un produit (dans la division par 9)
est égal au produit des restes"

(lorsque ce produit  est inférieur à 9
sinon on poursuit le principe)

D'où la méthode qui ressemble
à ce que nous avons vu pour l'addition et la soustraction



La preuve pour la division est calquée sur celle-ci
à la manière dont celle de la soustraction s'inspire de celle de l'addition
(puisque si
l'addition  est l'opération "contraire" de la soustraction
 la multiplication est l'opération "contraire" de la division)

Preuve par neuf pour la multiplication
Preuve par neuf - la multiplication

Preuve par neuf pour la division

http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/preuve-s--par-neuf/05---preuve-par-neuf-des-operations---division.jpg

Dans la case qui correspondait au produit
pour la preuve de la multiplication
se trouve à présent
pour la preuve de la division
le produit plus le reste


Apprendre les différentes preuves par 9, est une excellente préparation pour aborder la notion de PGCD ** et pour comprendre***
(
en étendant les règles qui sous-tendent ces preuves)
la méthode des soustractions successives
ainsi que l'algorithme d'Euclide.


Pour terminer, une question
Maurice de Thaelm affirme dans son
"obscure opuscule au service des nombres oubliés"
que c'est le mathématicien Diophante d'Alexandrie qui a le premier évoqué le critère de divisibilité par neuf ET la preuve par neuf
Lélio Lacaille quant à lui, affirme que c'est l'Egyptien Ahmes
qui est responsable de ces deux découvertes.

A toi de départager nos deux hableurs

Je te propose
en nommant CDN la première découverte
(le Critère de Divisibilité par Neuf)
et PN la seconde
(la Preuve par Neuf)
Diophante d'Alexandrie DA
Ahmes A

les choix suivants


  CDN PN
1 DA A
2 A DA
3 DA et A --
4 -- DA et A
5 -- --

à toi de jouer ...


* Site de l'académie de Versailles
** Plus Grand Diviseur Commun à deux nombres (entiers)
*** partiellement, fugitivement (mais il reste toujours quelque chose) ou totalement et durablement.

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21 décembre 2007 5 21 /12 /décembre /2007 16:35
zéro


Un nombre est le résultat qu'on obtient en comptant une collection d'objets ou en mesurant une grandeur.



On peut distinguer deux utilisations des nombres
pour numéroter  (c'est le cas dans les dates . Voir la question de l'an zéro) )
pour  mesurer

C'est la confusion entre les deux usages des mêmes écritures qui à fait dire à de nombreux scientifiques de haute volée (au moment du passage à l'an 2000)
"que l'année 0 n'existait pas parce que les anciens (ceux qui marchaient probablement à quatre pattes ?!) ne connaissaient pas ce chiffre"
Et que c'était donc pour cette raison que le vingt et unième siècle ne débutait pas en l'an 2000.

Alors que, même dans la proposition de calendrier républicain, et donc "moderne", dans un monde peuplé de gens tous avertis de l'existence du zéro,
le premier jour de l'année était le primidi (1) du mois de vendémiaire (équinoxe d'automne)
et non pas le zérodi (0) !!

(Même confusion que font les enfants (ou leurs parents), mais à l'envers, lorsque, pour compter trois secondes, ils commencent par 1 !
Lorsqu'ils ont fini, il n'ont en fait compté que 2 secondes.)


Remarque : un numéro n'est pas un nombre.
En effet il peut ne pas respecter les conventions d'écriture des nombres
Logo de James Bond.
Par exemple : le numéro 007  est différent du numéro 0007
(qui bien que possédant un chiffre de plus, est bien moins célèbre !)
et ne respecte pas la convention de suppression des zéros inutiles (voir
6N1s2ex1 )
de même pour les numéros de téléphones.





voir Grandeur continue

Sur Wikipédia :

Un nombre cardinal est un type de nombre particulier utilisé pour le dénombrement des ensembles. Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux cardinaux.

Nombre ordinal

Un nombre ordinal est un type de nombre particulier utilisé pour marquer l'ordre des éléments d'un ensemble. Il ne faut pas les confondre avec les adjectifs numéraux ordinaux. L'énumération avec les nombres ordinaux commence par « 0 », tandis qu'avec les adjectifs numéraux ordinaux elle commence par premier ou « 1 ».

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20 décembre 2007 4 20 /12 /décembre /2007 11:00
(mise à jour le 26 Décembre 2007 -
insertion du développement apporté en commentaire par Vlad

Voir en fin d'article)


Utilisons les probabilité pour approcher ce petit problème issu du quotidien :

M. Zairi reçoit, de la part de son opérateur téléphonique (Orange), son mot de passe pour le téléphone portable qu'il possède,

Ce mot de passe est salearabe

Quelle est la probabilité pour que ce mot ait été généré par le robot qui, d'ordinaire, distribue de façon aléatoire ces mots de passe ?




(solution simplifiée)
Considérant qu'il y a 26 lettres dans l'alphabet ainsi que les 10 chiffres arabes universellement utilisé dans le monde
il y a une chance sur 36 que le premier signe, le S, sorte de cette machine à hasard.
de même pour le second
ce qui donne 36 x 36 possibilités
le même raisonnement poursuivi jusqu'au 9ème signe du mot de passe conduit au résultat :

il y a une "chance" sur 369 pour que monsieur Zairi reçoive le mot de passe qui lui a été attribué

c'est à dire une chance sur  cent un milliards cinq cent cinquante neuf millions six cent soixante huit milles quatre cent seize (101 559 956 668 416)


Question subsidiaire : mécontent de ce choix déclaré le fruit du hasard par la compagnie Orange (initialement) monsieur Zairi peut-il gagner en justice contre cette compagnie qui déclare

"Orange prend ses responsabilités, dans la transparence la plus complète, et ne peut-être tenu entièrement responsable, de cette sombre affaire"


Cette question suppose de connaître la réponse à deux autres interrogations :
1) La responsabilité est elle une grandeur intensive ou extensive
dans le premier cas elle ne peut diminuer du fait d'un partage (comme la température)
(la moitié d'un litre à 50° n'est pas à 25° !)

2) La justice peut-elle entièrement reposer sur les probabilités ?


Dans l'attente des réponses en question, il n'est pas possible de donner une solution complète à ce problème.


Tentatives de réponses (par  Vlad)



1) La responsabilité pénale serait plutôt intensive: elle se partage à égal sans diminuer la peine (auteur comme co-auteur, complice comme auteur).

La responsabilité civile aussi, on dit être responsable "solidairement" du dommage causé, ce qui s'entend d'une responsabilité pour le tout, la victime pouvant s'adresser à l'importe lequel des auteurs pour obtenir réparation de l'entier préjudice (à l'autre ensuite de se retourner contre celui qui n'a payé pour solder le partage).
...mais d'un autre côté, l'appréciation de la responsabilité pénale étant pondérée par diverses variables (personnalité, antécédents), elle peut aussi pencher vers l'extensif. La responsabilité civile peut également être pondérée par le rôle de chacun dans la chaîne de causalité, modulo textes spéciaux.

Au cas d'espèce, la responsabilité pénale est toujours personnelle (auteur du mot de passe), mais la responsabilité civile pourra être partagée entre la société et son préposé, sans doute la discussion pourra elle porter sur la légèreté de celle-ci (absence de vérification des mots de passe) ou la malveillance de celui-là (comportement détachable de l'exercice normal des fonctions...).

2) Un vieux magistrat m'a dit un jour, il y a deux principes à retenir:

- Nul n'est censé ignorer la loi.
- Pas vu pas pris.

A n'en pas douter, les probabilités agissent sur le second, tandis que le premier appartient au domaine de la fiction juridique.

A ce sujet, les curieux pourront approfondir en lisant cet ouvrage intéressant Quand les juristes inventent le réel de Bernard Edelman.

Merci à Vlad pour ce retour qui enrichit l'article

Des précisions à propos des grandeurs extensives ou intensives


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19 décembre 2007 3 19 /12 /décembre /2007 22:18
Pendant que leurs camarades jouaient une partie
(qu'il leur fallait ensuite transcrire en utilisant les deux coordonnées d'un point dans le repère formé par le damier)
Aimie-Lou et Marie
jouaient leur partie au tableau.

*********************************

6m i - Partie au tableau de la classe

*********************************
Ici la fin est un blocage
après que l'une et l'autre ait eu l'occasion de gagner comme c'est expliqué ici
Comment gagner  ... ou éviter de perdre

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19 décembre 2007 3 19 /12 /décembre /2007 17:26
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires
Bien comprendre la différence entre la multiplication et l'addition passe par une bonne compréhension des méthodes de calcul.


Comme toujours, une petite activité préparatoire est la bien venue.

Les élèves du 21ème siècle auront un peu de mal à trouver la boutique de la mercière, et leur mère doit rarement acheter du tissu pour leur faire des vêtements, mais ils peuvent éventuellement aller faire un tour du côté du magasin de bricolage (mètres de tuyau d'arrosage)  et de la boulangerie.

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - Activité préparatoire

Ici, l'activité n'est pas vraiment en rapport avec le thème, sauf pour la question relative à la longueur de l'étoffe et au prix du mètre, qui rendront utile la connaissance de la multiplication pour déterminer le prix à payer (idem pour le tuyau d'arrosage)

D'ailleurs, on enchaîne immédiatement avec
l'utilité de la multiplication :

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - Utilité de la multiplication

Ici on insiste beaucoup sur le mot TOTAL

mot qui indique bien que la multiplication est un raccourci de l'addition
dans le cas où l'on doit répéter plusieurs fois la même addition
(quand la même quantité est additionnée plusieurs FOIS)

Une première série d'exercices permet d'illustrer cela

L'image “http://accel15.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/livres/manuel-du-certificat-d--etudes-primaires/multiplication-des-nombres-entiers/multiplication-des-nombres-entiers----premiers-exercices.jpg” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.

L'exercice 3 n'a l'air de rien, pourtant il montre déjà une notion qui n'est étudiée que bien plus tard (si elle l'est)
à savoir celle de "mise en facteur" ou factorisation

trois chemises vont coûter trois fois plus et donc on devra payer

3 x (3 billets de 100 Fr + 2 billets de 10 Fr + 1 pièce de 1 Fr)

la multiplication par trois peut être mise en commun
3 peut être factorisé

3 est le facteur commun à
3x100 fr   2x10Fr  et  1x1Fr
d'où la manière de calculer le prix
3 x (3x100 fr + 2x10Fr + 1x1Fr)



Il est temps de rappeler, et même d'expliquer, la pratique de l'opération.
La manière dont on pose le calcul et pourquoi on procède ainsi.

Ici la décomposition qui est faite dans un premier temps, permet de comprendre la raison de ce fameux décalage dans lequel on met des zéros (ou des espaces vides. Le zéro est bien plus explicite.)

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - disposition pratique


Ici aussi, on explicite en fait en montrant la mise en commun du facteur 984
puisque l'opération se fait en trois parties qui sont

984 x 7 (unités) + 984 x 3 (dizaines) + 984 x 4 (centaines)

et qui correspondent à
 984 x (7 (unités) +  3 (dizaines) + 4 (centaines) )

c'est à dire que
984 x 7 x(1) + 984 x 3 x(10) + 984 x 4 x(100)

et qui correspondent à
 984 x (7  +  30  + 400  )

D'où la disposition "avec les décalages et zéros"qui correspondent au résultat de ces calculs

à savoir              6 888 + 29520 + 393600
  430 008


Petites applications directement en relation avec le précédent problème.

(Au passage, on évoque l'analogie entre l'aire d'un rectangle et la multiplication.)
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - premiers exercices d'application



Ici on en profite pour (hors sujet dirait quelqu'un qui se soucierait avant tout de la rigueur de l'atteinte des objectifs en rapport avec les compétences évoquées dans la leçon*) donner quelques éléments de culture générale qui pourront être ensuite utilisés dans les exercices et problèmes.

Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - règles du commerce
Multiplication des Nombres Entiers - en fin d'Etudes Primaires - règles du commerce

Ici, l'élève est prêt à aborder des situations qui nécessiteront l'utilisation de la multiplication
...
et bien plus.

 1 Exercices 9 à 13  2 Exercices 14 à 17  3 Exercices 18 à 20
 4 Exercices 21 à 24  5 Calcul mental  6 Loisir



Petite difficulté pour les "loisirs" : retrouver la définition d'une "mercuriale"




* A mettre en rapport avec ...



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