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Des rubriques et des lieux

13 janvier 2008 7 13 /01 /janvier /2008 21:44

Souvent il est question des articles définis ou indéfinis, dans les énoncés de mathématiques.

Par exemple lorsqu'on demande de faire un tracé
l'article défini indique des contraintes précises
alors que l'article indéfini laisse à l'élève le choix, ce qui le gêne parfois.

Ainsi dans cet exercice :
énoncé de géométrie avec articles définis et indéfinis

Immanquablement il y aura des demandes de précision à propos du repère du genre

"Qu'est-ce qu'on prend comme unité ?"




Ici, un petit exercice qui travaille
les articles définis et indéfinis, masculin et féminin,
en rapport avec
le vocabulaire de géométrie.

C'est sur "Le matou matheux"*
Le matou matheux --- pour renvoyer sur son adresse - taille réduite
cliquer sur son image

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13 janvier 2008 7 13 /01 /janvier /2008 10:30

Je te propose de travailler sur Maths En Poche l'utilisation des rapports qui lient les mesures des côtés dans un triangle rectangle.

Ces rapports qui ne dépendent que des angles du triangle et que l'on nomme

"Rapports trigonométriques".

(Tu connais le sinus, le cosinus et la tangente)

Ici, tu vas devoir utiliser ces rapports pour calculer la mesure de côtés, ou d'angle, dans de petits problèmes.


Petits problèmes

1. Triangle complet
2. Problèmes concrets
3. Dans l'espace (niveau 1)
4. Dans l'espace (niveau 2)
5. Synthèse (triangle rectangle)


Exercices similaires sur Wims.

Situations de base

1. Calculer la mesure d'un angle 1
2. Calculer la mesure d'un angle 2
3. Calculer la mesure d'un angle 3
4. Calculer une longueur
5. Calculette et trigonométrie


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12 janvier 2008 6 12 /01 /janvier /2008 11:25
La résolution de l'équation
x² = a 
est très "maltraitée" en quatrième

En effet, dans cette classe, le chapitre concernant le théorème de Pythagore oblige à un passage furtif du côté de cet objet qui se retrouve dans un contexte qui n'est pas le sien (la géométrie)

Cela donne par exemple*

Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore me permet d'écrire

 AB² + AC² = BC²
je remplace avec les valeurs connues (AB = 4 ; AC = 3)

4² + 3² = BC²
16 + 9 = BC²
BC² = 25

Ici l'élève se sert de ce qu'on lui a appris
 1  "Pour trouver le nombre qui au carré donne 20 (ou sa valeur approchée) j'appuie sur la touche "racine carrée" de la calculette"

Il appuie et trouve
BC = 5

Ainsi, implicitement, cet élève a résolu l'équation évoquée au début de l'article, à savoir
x² = a 

Qu'en reste-il-dans sa tête ?

Probablement un peu de
"si je vois qu'une valeur convient, c'est que j'ai la solution"

Ce qui revient à confondre
"tester une valeur" dans une équation, pour "voir si elle convient"
avec
"résoudre l'équation"
c'est à dire transformer la question sans en perdre une miette jusqu'à la conclusion
(plus mathématiquement "procéder par équivalence")

Méthode rigoureuse, qui évite d'oublier en route des solutions.

Par la suite, il est probable que ce pli restera, et que, lorsqu'il s'agira de résoudre par exemple, l'équation
x² = 0,16

Cet élève ne comprendra pas pourquoi sa conclusion directe
x = 0,4

N'est pas acceptée comme telle, et pire, est jugée comme incomplète.

Il finira bien sur par admettre que la valeur -0,4 convient aussi
Mais il ne comprendra pas trop d'où elle vient (et il aura raison !)
ni même, son utilité.
grrr ! il pinaille le prof" !!!!

Peut-être qu'avant d'utiliser cette conclusion abrupte ( 1 ) un petit travail rigoureux serait nécessaire pour construire les bases qui risquent de manquer à l'équation évoquée et éviter le "réflexe" qui conduit à appuyer sur un bouton pour obtenir ce qui est censé être LA solution.

La proposition que je fais nécessite la connaissance d'une identité remarquable que l'on ne voit qu'en troisième, mais qui pourrait très bien être abordée en quatrième lors d'un travail concernant le développement d'expression littérale.

Si on sait donc que a² - b² = (a - b)(a + b)  
2 **

Alors si nous avons deux nombres, x et y,  dont le carré vaut N (positif***)
Alors x² =

D'où  x² - y² = 0
en utilisant  on en déduit que
(x - y)(x + y) = 0

Pour que ce produit soit nul, il faut que l'un de ses termes soient nul

Nous avons donc deux possibilités

(x - y) = 0 qui donne x = y
ou
(x + y) = 0 qui donne x = -y


Conclusion si deux nombres ont le même carré alors, soit ils sont égaux, soit ils sont opposés.

Cela permet d'affirmer que l'équation
x² = a

Possède deux solutions opposées.

A partir d'ici, il est possible d'en venir
aux petites touches qui donnent l'une des deux solution

Si donc, je "vois" que l'équation
x² = 0,16

a pour solution
(que me donne ma calculette ou mes capacités de calcul)
x = 0,4

     J'en déduis que
x = -0,4 convient également

Bien évidemment, le contexte peu me conduire à écarter une des deux solutions.

Par exemple
celle qui est positive, si je sais qu'il s'agit de déterminer une température sur Mars.
ou celle qui est négative, dans le cas de l'utilisation du théorème de Pythagore, puisqu'il s'agit alors de longueurs.





* Un exemple sur
Maths En Poche

** Que l'on obtient en développant
(a + b)(a - b)  = a x a + a x b - b x a - b x b
= a² - ab + ab - b²
= a² - b²



*** La règle des signes de la multiplication permet d'affirmer qu'un carré est toujours positif.
Donc si x² = a et que a est négatif, alors aucune valeur de x (connue) ne convient.

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12 janvier 2008 6 12 /01 /janvier /2008 08:41
Autour de la proportionnalité et des tableaux


Premier tableau


Consigne - proportionnalité
ConsigneCompléter les tableaux d'après l'énoncé correspondant.

tableau de proportionnalité 1 question



tableau de proportionnalité 2 question
http://idata.over-blog.com/0/04/35/24/proportionnalit-/tableaux-et-coefficients/enonce---tableau2-q.jpg


tableau de proportionnalité 3 question

Remarque : Le tableau le plus facile n'est pas le premier.
En regardant d'abord l'ensemble, on peut commencer par le plus simple.


Pour un exercice similaire sur Le matou matheux
clique sur sa frimousse pour le faire
Petit logo du matou matheux pour renvoyer sur le site

Sur Maths En Poche, un exercice concret : Recette de cuisine:


Note :à terme, le but est de conduire à des coefficients de proportionnalité fractionnaires

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9 janvier 2008 3 09 /01 /janvier /2008 18:31
Deux listes de nombres sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en utilisant la même multiplication.

Trouver le coefficient multiplicateur est très évident dans certains cas
12 5,1 8,7 3,9
24 10,2 17,4 7,8

Question :         Dans ce tableau, le coefficient de proportionnalité
                                   est    2   ;   0,5   ou   3  ?
( Réponse )


Parfois, il est moins aisé de trouver immédiatement ce coefficient .

5
2
7
9
19
7,6
26,6
34,2



Beaucoup moins encore pour d'autres
7,7 9,5 6,1 8
52,36 64,6 41,48 54,4


Mais on peut vérifier la proportionnalité en divisant les nombres d'une ligne par celui de l'autre ligne qui leur correspondent.

On voit ainsi que ces deux tableaux sont effectivement des tableaux de proportionnalité.

(pour le premier tableau,
en divisant les nombres en mauve par les nombres en bleu

on obtient
....

 et on obtient .... pour le second tableau)


Je propose de voir ici dans une petite séquence vidéo, deux triangles tels que les longueurs des côtés de l'un sont proportionnels aux longueurs des côtés de l'autre.






Triangle et proportionnalité

Utilise ces images pour donner
trois tableaux de deux lignes (les deux triangles)
et trois colonnes (les trois côtés)


Puis vérifie la proportionnalité par la méthode que j'ai donnée.


Que remarque-t-on lorsqu'on fait "coïncider deux côtés en un point" ?


Pour manipuler toi même ces triangles, charge la figure en cliquant dessus
figure déclic

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9 janvier 2008 3 09 /01 /janvier /2008 09:26
Petit rappel à propos de la soustraction des nombres relatifs.
(sur
Maths En Poche)

5N3s5ex6
(dix questions)

Un peu plus difficile, mais tu devrais t'en sortir après le premier travail.

5N3s5ex7
(dix questions)

Pour ceux qui auraient terminé avant les autres.
5N3s5ex8
(dix questions)

5N3s6ex1
On doit écrire une addition ou soustraction
de 2 nombres relatifs sans parenthèses.

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8 janvier 2008 2 08 /01 /janvier /2008 17:24


Deux manières de résoudre les équations simples en utilisant la compréhension des opérations et de leurs résultats, ainsi que les "opérations contraire"

Une manière de résoudre des équations simples
Je propose un exemple dans lequel la valeur inconnue(*) est représentée par la lettre x   (**)

équation simpleUne première méthode se pose la question :

"quel était le résultat avant la dernière opération ?"

avant la dernière opération ...



Recopie cette phrase et complète là en utilisant ce que tu sais de l'addition et de son "opération contraire"
(pour obtenir la correction, clique sur la phrase)


On peut donc en déduire que
 
résultat
Recopie cette expression et complète d'après ce que l'on vient de faire

(pour obtenir la correction, clique sur l'expression)



De même, ici, on peut se demander à propos de
 
5x = 3

http://accel96.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/numerique/une-maniere-de-resoudre-des-equations-simples---05---avant---02q.jpg

Recopie cette phrase et complète là en utilisant ce que tu sais de la multiplication et de son "opération contraire"
(pour obtenir la correction, clique sur la phrase)


On en déduit la valeur de l'inconnue x
http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/numerique/une-maniere-de-resoudre-des-equations-simples---06---avant---reponse-q.jpg
Recopie cette expression et complète d'après ce que l'on vient de faire

(pour obtenir la correction, clique sur l'expression)


Cette méthode peut-être très utile aussi pour vérifier un résultat obtenu d'une autre manière (comme ton professeur actuel ... ou celui d'il y a longtemps (sourire)² te l'a appris)

Elle permet aussi de comprendre (ou de retrouver la compréhension) des mécanismes de transformation qui permettent, à partir de l'équation de départ, de "trouver la valeur de l'inconnue"

Tous les exercices des premiers types du livre de quatrième Sésamath, peuvent être faits en utilisant ces principes.

Pour t'y entrainer, voici les premiers de chaque
Exercices de base - équations - manuel sésamath
Pour en avoir davantage, clique sur ceux-là et du téléchargera la page correspondante.


* On dit aussi plus simplement "l'inconnue"
** Comme souvent en mathématique lorsqu'il n'y a qu'une valeur inconnue.

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8 janvier 2008 2 08 /01 /janvier /2008 16:56
Une manière de résoudre des équations simples

Seconde méthode, celle des Machines à nombres
(qui a quelques parentés avec la première)

Résoudre des équations simples - machines à nombre et retour vers l'antécédent

Par cette méthode, en faisant le chemin inverse, on peut retrouver "l'antécédent" d'un résultat.

Résoudre des équations simples - machines à nombre et retour vers l'antécédent
Recopie cela et complète
d'après ce que tu sais de la multiplication et de l'addition


(pour obtenir la correction, clique sur l'expression)

Comme pour la première méthode que j'ai donnée
(et qui est très proche dans son principe de celle-ci)
tous les exercices des premiers types du livre de quatrième Sésamath, peuvent être faits en utilisant ces principes.

Pour t'y entraîner, je te redonne les premiers de chaque
Exercices de base - équations - manuel sésamath
Pour en avoir davantage, clique sur ceux-là,
et du téléchargera la page correspondante.

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5 janvier 2008 6 05 /01 /janvier /2008 22:49
Un devoir qui est dans le prolongement direct du premier devoir maison donné.

Il utilise également des quarts de cercles élémentaires, ainsi que les compétences (transverses) en rapport avec la perception analytique.

Devoir maison symétrie et quart de cercle - introduction - geombre
(A noter : Le devoir, à rendre primitivement pour le 12, a bénéficié d'une semaine et demi de "répit" suite à des difficultés évoquées en classe et qui ont nécessité pour certains une refonte totale de leur travail.
Dans ce cas, le premier essai est joint et le travail qui s'y trouve est pris en compte)




Introduction, avec la copie de Madeleine*, et la consigne donnée pour l'ensemble du devoir,
Consigne qui doit permettre de reconnaître les éléments de base de la figure dite "figure repère"

Devoir maison symétrie et quart de cercle - Question I - figure repère - geombre


Deux travaux sont ici évalués :

- La figure à main levée, qui doit être exécutée, comme le nom l'indique, sans instruments de tracé autre que le crayon de papier, mais sur laquelle on doit retrouver l'ensemble des éléments (déformés) de la figure repère désignée en mots.

- La figure précise, exécutée au compas, à la règle et au crayon. Et dont les dimension doivent correspondre aux données de l'énoncé.

figure repère à main levée - geombre

La figure à main levée est tout-à-fait conforme
(isomorphe à la figure repère précise)

figure repère précise - geombre

De même pour le tracé précis, où figurent, comme la consigne principale du devoir le demandait expressément, les numéros qui désignent les divers quarts de cercle.


Seconde question
Assemblage - geombre

Cette partie va causer quelques difficultés à Madelaine qui aura des difficultés à reproduire les quarts de cercle tels qu'elle les a pourtant parfaitement donnés dans sa figure repère.


Assemblage - figure 1 - geombre

Madelaine a bien vu, en réalisant la figure repère que le numéro du quart de cercle caractérisait bien une position.
Mais elle n'a pas su reproduire très précisément ces positions pour deux de ces quarts de cercle.
Elle n'a pas vu quels étaient les points qui permettaient de caractériser la position de ces arcs de cercle

- début (point) de l'arc de cercle
- fin (point) de l'arc de cercle
- position du centre (point)

Avec pour toutes ces figures la propriété d'avoir un des segments joignant le centre au début ou à la fin, vertical, et l'autre horizontal (si on considère le dessin sur un tableau**)

Même difficulté pour les cinq autres tracés.

Assemblage - figure 2 - geombre
Ici aussi, deux erreurs de la même nature.

Assemblage - figure 3 - geombre
Ici, trois erreurs


Assemblage - figure 4 - geombre
De même pour cette figure


Assemblage - figure 5 - geombre


Assemblage - figure 6 - geombre
Et Madeleine termine sur une figure presque sans faute.

Visiblement, il y a un élément de "transfert visuel" qui n'est pas encore tout à fait au point.

Mais ce genre de compétence n'est pas à travailler pour lui-même.
Il n'y a aucune raison pour que Madeleine ne corrige pas cela d'elle même, dans l'exercice régulier du travail de géométrie.


Dans la question suivante on abordera la question de la "symétrie" en s'appuyant sur ce que les élèves en savent déjà.
Et notamment à partir de la notion de "superposable par pliage".

Création d'une figure- avec axe de symétrie - geombre
Madeleine n'a effectivement pas obtenu de figure possédant un axe de symétrie.
Mais à partir des quarts de cercle qui étaient proposés, il était possible d'en obtenir.


Dans la dernière partie, (classiquement plus "ouverte", pour clore un devoir maison permettant l'expression personnelle) il est demandé de produire une figure ayant un axe de symétrie, à partir des éléments de la figure repère.
Création d'une figure ayant un axe de symétrie - geombre

Ici aussi, Madeleine a rencontré ce problème du respect de la figure désignée par son numéro.

Création d'une figure ayant un axe de symétrie - figure - geombre


Comme demandé, la figure qu'elle propose possède bien un axe de symétrie.
Elle a bien tracé cet axe en pointillé.
Mais deux des quarts de cercle ne correspondent pas aux numéros qu'elle a indiqué (à aucun d'ailleurs puisqu'elles sont ici identiques et sont dans une position intermédiaire entre la 1 et la 4 )


Pour ces deux créations suivantes on ne retrouve aucune des erreurs précédentes.
Création d'une figure ayant un axe de symétrie - figure 2 - geombre
Aucune erreur


Création d'une figure ayant un axe de symétrie - figure 2 - geombre
Même chose

Il est possible que tout au long du devoir, la compétence au transfert visuel, et peut-être aussi, la fine compréhension de la figure, se soit amélioré.

Au final, le travail de Madeleine est de qualité et les points qui ont été relevés montrent tout juste des lieux où il faudra travailler un peu.

C'est par ailleurs un travail soigné et de qualité.

Les appréciations sont, pour son devoir

Respect des Consignes 
TB
Présentation 
TB
Connaissances    AB/B
Résultats  AB


   
           




* Nom d'anonymat

Cette copie est intéressante parce qu'elle montre bien comment une bonne élève peut avoir certaines bases fragiles, sans pour cela que l'on n'ait à s'inquiéter de sa progression.

**  En effet, sur un cahier posé à même la table, "tout est horizontal" !!

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2 janvier 2008 3 02 /01 /janvier /2008 13:51

 

(Suite de questions qui visent à s'approcher de la méthode de calcul du périmètre du cercle)

pour une figure un peu plus ancienne, cliquer sur celle-ci


(cliquer à chaque fois sur la réponse choisie)

 

-1-

Le cercle a pour diamètre ?
[AB] / [AD] / [OA] / [OD]

 

 

-2-

Le côté de l’hexagone régulier ABCDEF est égal
au rayon / au diamètre  du cercle

 

-3-

Le périmètre de l’hexagone vaut donc exactement  
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7   rayons

-4-
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres

 

-5-

Le côté du carré UVWX est égal
au rayon/ au diamètre du cercle

-6-
Le périmètre du carré vaut donc exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8  rayons
c’est à dire à exactement
1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 / 8 diamètres


Si on compare le périmètre du cercle à celui du carré et de l’hexagone
on peut conclure que

-7-

périmètre du carré <> périmètre du cercle <> périmètre de l’hexagone

-8-

et donc que le périmètre du cercle est
supérieur à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7  diamètres
et
inférieur  à 1  / 2  / 3  / 4  / 5  / 6 / 7 diamètres


Notre développement ne dépendait pas de la figure de départ (sa taille)

il est donc valable pour n'importe quel cercle.


Le nombre précis, toujours le même quelque soit le cercle,
qui permet d'obtenir le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre
que nous avons vu situé entre 3 et 4 est précisément le nombre

...



En regardant attentivement les figures on pourra "deviner" que ce nombre est beaucoup plus près de
3  que de  4 
une approximation (quelques centaines de décimales) est donnée ci-dessus.

 

pour quelques dollars décimales de plus cliquer ici : p

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