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Philippe Mercier

 

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30 janvier 2008 3 30 /01 /janvier /2008 08:00
On effectue deux opérations successives à partir d'un nombre
la première est une multiplication par 3
la seconde est l'addition de -5

Quelle est la valeur d'arrivée si la valeur de départ est 
5 ; -9 ; 11 ; 3

Dans un premier temps, utilise  ce tableau



Quelle est la valeur de départ si la valeur d'arrivée  est 
15 ; -19 ; 1 ; 0

Utilise  ce tableau 
en transformant les formules qu'il contient


Tableau solution partielle (certains éléments sont à modifier)

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27 janvier 2008 7 27 /01 /janvier /2008 20:44
Suite
de
Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-1
de Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-1b
et Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-2




Les exercices suivants permettaient de vérifier la connaissance 
des priorités de calculs (1)  (et de l'utilisation de la calculette),
de l'écriture scientifique (2) d'un nombre
et des calculs comprenant un exposant (3).


Calcul avec des fractions - priorités de calculs

De nombreux élèves ont effectué la première soustraction, sans respecter la priorité de la multiplication.

Priorités de calcul et fractions

Pour un travail du même genre sur un autre brevet blanc : Brevet Blanc N°2 exercice 1b



l'écriture scientifique
(2) d'un nombre

écriture scientifique d'un nombre

Ici, beaucoup d'erreurs

de simples erreurs de calcul (multiplication et division)
peu d'erreurs concernant les exposants au numérateur
mais très fréquemment le 10² passait du dénominateur au numérateur sans modification

Alors que 1/10² = 1/100 est un centième c'est à dire 0,01

La plupart des élèves qui sont parvenu à l'écriture décimale
ont su également donner l'écriture scientifique* :

un nombre décimal ayant chiffre avant la virgule
multiplié par
une puissance de 10
écriture scientifique d'un nombre

Pour un entraînement, ici : Ecriture scientifique

Voir aussi, sur un autre brevet blanc : Brevet Blanc N°2 exercice 2



calculs comprenant un exposant (3).

Calcul numérique avec exposant

Ici, de curieux mélanges
certains élèves ont développé comme s'il s'agissait d'un calcul littéral
(on développe un calcul littéral parce qu'on ne peut pas effectuer les calcul !)
et de plus, ils y ont associé  de temps à autre, une identité remarquable
confondant pour certains (a + b)² avec (a x b)²  !

(Au bout d'une demie-heure d'épreuve, tout se mélange parfois)


Calcul numérique avec exposant

Quelques pistes pour revoir et renforcer un peu toutes ces notions,
sur Sesamaths


Ex. 1   Ex. 2  Ex. 3  Ex. 4  


Des exercices sur  Maths En Poche qui te permettront,
si tu t'y entraînes un peu,
à te sentir très à l'aise avec ce type de calculs .


1. Opérations sur les fractions (niveau 1)
2. Opérations sur les fractions (niveau 2)
3. Puissances de 10, notations scientifiques
4. Fractions et puissances (niveau 1)
5. Fractions et puissances (niveau 2)

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27 janvier 2008 7 27 /01 /janvier /2008 20:20
Suite
de
Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-1
et Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-1b




Les questions suivantes, après le calcul du  Plus Grand Diviseur Commun à deux nombre, est très classique, et un élève de troisième doit s'y attendre.

On va proposer d'utiliser le PGCD obtenu, pour simplifier une fraction.

Les deux questions suivantes sont liées.
Dans l'une on demande la méthode qui sera utilisée dans l'autre

Calcul du PGCD et simplification de fractions

En général, les élèves qui ont trouvé le PGCD à la question 1) s'en sont bien sorti par la suite.

Les explications concernant la manière de simplifier ont été satisfaisantes

En dehors d'un contresens, trouvé à plusieurs reprises, à propos du sens de "premiers entre eux", l'expression semblant vouloir dire "simplifiables" pour quelques élèves.

Pour simplifier une fraction à l'aide du PGCD

Lors de la simplification, les seules erreurs ont été faites (apparemment) lors de la copie du résultat sur la feuille (à partir d'un brouillon ?)

(déjà quelques baisses dans la concentration ?)

Méthode de simplification d'une fraction en utilisant le PGCD

Sur quelques copies, le numérateur de la fraction est devenu 30  !

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27 janvier 2008 7 27 /01 /janvier /2008 19:59
(suite de  Brevets des Collèges 2008 - épreuve de mathématiques ... à blanc - TN 1-1)


Bien évidemment il ne s'agit pas d'écarter la méthode de calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

Rappel de la question

PGCD question Brevet


Cette méthode donne ici :

http://accel22.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/brevet-blanc-2/navier-2008/tn-ex-1-1-pgcd---correction-algorithme-d--euclide.jpg

Si l'on tient compte de la nature des calculs dans les deux méthodes
(soustraction pour l'une, division pour l'autre)
le gain de temps n'est pas nécessairement du côté de l'algorithme d'Euclide.





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26 janvier 2008 6 26 /01 /janvier /2008 17:18
La maman de la petite Lisette lui demande d'aller à la boulangerie lui acheter des baguettes .
Un problème de baguettes ... et de monnaie
Elle lui donne un billet de 5 €uros en lui disant d'en acheter le plus possible et de garder la monnaie pour se payer des bonbons.

Quand elle connaîtra le prix d'une baguette, dans le calcul que
fera Lisette* pour savoir combien de baguette elle peut acheter avec ses 5€
quel est le résultat qui intéresse sa mère ?
quel est le résultat qui intéresse Lisette ?

Près de chez Lisette, il y a trois boulangeries, l'une vend le pain à 1,30€ et la baguette à 0,85€ , l'autre vend le pain à 1,35€ et la baguette à 0,80€, la troisième vend le pain à 1,30€ et la baguette à 0,75€.

Où ira Lisette si elle veut surtout faire des économies ?

Où ira Lisette si elle veut surtout avoir le plus monnaie pour ses bonbons ?



* Une Lisette qui ferait le maximum                          (sourire)²

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26 janvier 2008 6 26 /01 /janvier /2008 16:47
Première épreuve de ce type pour les troisièmes qui vont en fin d'année passer le Diplôme National du Brevet .

Moment d'une mise au point, et pour beaucoup, d'une prise de conscience de l'écart entre une interrogation écrite, souvent  limitée à un ou deux thème, et une épreuve de deux heures où des qualités nouvelles sont nécessaires comme :
- La capacité de concentration.
- La mobilisation rapide des connaissances qui ne datent pas de la semaine
- Un certain courage (celui de chercher dans une question qui semble trop difficile, ce que l'on peut tout de même tenter de faire*)
- De la constance dans le soin **
- De l'imagination enfin. Car de plus en plus les sujets intègrent et intégreront des questions posées dans une forme inédite.***


Ce premier Brevet Blanc de Mathématiques comprenait, selon l'usage, trois parties

La première concernait les TRAVAUX NUMERIQUES
Brevet Blanc - mathématiques - 2008 - Collège Alfred Mézières de JarnyCliquer sur l'image de la page pour l'agrandir



Le premier exercice proposait un travail autour de la notion de
 "simplification de fraction"


Il y est question de Plus Grand Diviseur Commun

Brevet Blanc - mathématiques - 2008 - Collège Alfred Mézières de Jarny


Il existe deux méthodes pour calculer le PGCD de deux nombres
L'une est un peu plus longue, mais compréhensible et assez sure.

Il s'agit de la méthode des soustractions successives

On peut en effet remplacer dans la recherche du PGCD de deux nombres
l'un des deux ( le plus grand par exemple) par leur différence.

Ainsi, de proche en proche, de soustraction en soustraction les deux nombres devenant de plus en plus petits, on finit par obtenir

soit deux nombres égaux 
Le diviseur commun le plus grand est alors ... eux-même

soit 1
Ces deux nombres n'ont alors pas d'autre diviseur commun (que 1)
et 1 ne permettra pas de simplifier une fraction dont le numérateur serait l'un des deux nombres et le dénominateur serait l'autre.

On dit que ces nombres sont "premiers entre eux"

L'autre méthode est l'algorithme d'Euclide, qui est inspiré de la première et évite de refaire plusieurs fois la même soustraction.

Cependant, sa forme est beaucoup moins compréhensible et très souvent les élèves qui n'ont pas bien assimilé le principe de la division
(essayez de calculer de tête 3/4 divisé par 1/4 ... pour voir)

Mélangent allègrement le quotient et le reste.
(la plupart du temps, avant d'apprendre cet algorithme, le reste ne leur servait à rien, seul importait le quotient ... quoique ici et ici)

Au brevet, il faut donc conseiller à ceux qui veulent "assurer" les points sur la partie Numérique, d'utiliser plutôt la méthode des soustractions successives(****).

Voir ci-dessous ce que l'on peut lire sur une copie (l'élève redouble sa troisième)
Brevet Blanc - mathématiques - 2008 - algorithme d'Euclide ... un type d'erreur

Ici 153 est censé être le quotient  de 114 400 par 60 775 et  625 serait le reste (?!)

Difficile de savoir quel calcul a été fait
(à moins que vous n'ayez une idée ...?)

Sur d'autres copies, des élèves ont parfaitement noté
"On utilise l'algorithme d'Euclide"
mais c'est tout ce dont ils se souvenaient ...

Brevet Blanc - mathématiques - 2008 - algorithme d'Euclide ... un type d'erreur

Il est possible que la méthode des soustractions, du fait même de son nom, aurait permis d'aller un peu plus loin.

Brevet Blanc - mathématiques - 2008 - PGCD - méthode des soustractions successives - géombre

* Les consignes de correction sont clairement en faveur de la prise en compte de toutes les tentatives et essais, même infructueux, prouvant que l'élève a été capable d'avancer un peu dans la direction de la réponse.

** Dans un grand nombre de copies de Brevet, le correcteur voit la qualité de la rédaction se dégrader au fil des pages.

*** L'évaluation du PISA (bien que méritant d'être relativisée en tenant compte de sa forme particulière et de l'écart variable avec les pratiques des différents pays) a montré que les élèves français péchaient particulièrement dans l'initiative ainsi que la créativité et l'imagination, face à la résolution de problème.


**** Méthode 3 du lien

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24 janvier 2008 4 24 /01 /janvier /2008 22:55
C'est un petit travail de réflexion ... pour se détendre

Il s'agit de tenter d'améliorer les coups qu'ont joués Morgane et Typhaine dans une partie


Morgane / Typhaine - Partie 001 

Reptyl - Morgane et Typhaine - Partie 01
cliquer sur l'image

Mettre les propositions en commentaire
sur Reptyl ou ici sur Geombre

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24 janvier 2008 4 24 /01 /janvier /2008 22:04
Autre exemple de travail autour des Machines A Nombres
(vers la notion d'équation)

Geombre - Machine A Nombres


Ici, dans un premier temps il s'agit de faire "FONCTIONner"
la machine à nombre qui
"multiplie par 125" puis "augmente de 45"


Dans un tableau, on donne les résultats en Entrée et en Sortie

(Pour obtenir la correction clique sur l'image
pour accéder à une grille vierge sur Open Office tape ici)


Même exercice avec ces deux  Machines A Nombres

Geombre - Machine A Nombres
(ici je ne donne pas de correction, tu peux vérifier le résultat à la calculette
pour accéder à une grille vierge sur Open Office tape ici)



Dans un second temps nous allons tenter de retrouver la valeur en entrée
connaissant
- le fonctionnement de la M.A.N.  (ce sont celles de l'exercice prédédent)
et
- une valeur obtenue en sortie

Geombre - Machine A NombresIl suffit de regarder comment on obtient les résultats dans le sens "Normal"
(exercice précédent)
pour comprendre comment "remonter"
d'une valeur en sortie vers la valeur correspondante en entrée
(on dira plus tard "vers son antécédent")

C'est ce qui est demandé ici.

(pour accéder à une grille vierge sur Open Office tape ici)



Devoirs donnés pour le cours suivant, en rapport avec ce qui a été fait ici

Geombre - Machine A Nombres

Méthode pour tester une égalité
(Pour voir cette méthode cliquer sur ce titre)



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23 janvier 2008 3 23 /01 /janvier /2008 09:18
Nous avons vu, avec les machines à nombres  comment retrouver une valeur qui convient dans une égalité du genre

2,5x + 4,2 = 12,8

12,8 est obtenu en additionnant 4,2
au résultat de la multiplication de 2,5 par le nombre inconnu

Pour retrouver ce nombre inconnu,
 il suffit de faire fonctionner la machine à nombre
à l'envers

Soustraire 4,2 pour annuler la seconde étape
diviser par 2,5 pour annuler la première et retrouver le nombre x

Dans cette suite d'exercices de
Maths En Poche
tu vas apprendre une autre méthode pour résoudre ce type de problèmes

Méthode pour une addition ou une soustraction
Equation (avec somme ou différence)

Méthode pour une multiplication
Equation (avec produit)

Méthode pour une division
Equation (avec quotient)




Si tu as fini avant les autres :

1 Nombre relatif solution

2 Fraction solution

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23 janvier 2008 3 23 /01 /janvier /2008 08:28
Petite révision à propos du PGCD de deux nombres

Le calcul du PGCD par la méthode des soustractions successives

Soustractions successives

Le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide

Algorithme d'Euclide
 

Des exemples de calculs du PGCD


Détermination de PGCD


Problèmes utilisant le PGCD

Problèmes



Si tu as le temps

Nombres premiers entre eux

 Fractions irréductibles

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