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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

11 mars 2008 2 11 /03 /mars /2008 23:18

Aujourd'hui nous allons voir des exemples de représentation graphique de fonction affine et linéaires.

Pour cela tu utiliseras l'outil que le Matou Matheux à mis à notre disposition
ici



  1 
Tu vas ouvrir dans un nouvel  onglet le document 3n6_ex1b de Joel Negri  sur les fonctions

Sers toi de l'outil pour répondre aux exercices 1B1 et 1B2

Les réponses sont à écrire sur ta feuille.


  2 
Tu tenteras ensuite d'obtenir le graphique des fonctions de l'exercice
1B3



  3 
Pour terminer, je te propose de faire quelques exercices de
Maths En Poche

1. Reconnaître par le graphique
2. Variations en géométrie
3. Image par une fonction affine
4. Eléments caractéristiques
5. Associations formule/graphique
6. Déterminer l'expression
7. Tracer la représentation graphique
8. Résolution graphique d'une équation

______________________
autre outil disponible
un premier traceur de courbe en ligne 

un second  traceur de courbe en ligne





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8 mars 2008 6 08 /03 /mars /2008 09:34
Suite aux démonstrations proposées  
ici  Le nombre "racine de deux" est-il irrationnel ?i

et ici   Un nombre dont le carré est 2 peut-il s'écrire comme une fraction ?


Je donne dans cette page une autre piste en rapport avec l'écriture anglo-saxonne des fractions
(a+c/d avec c/d < 1)  


Avec une petite précision en dessous, sur laquelle Jean-Louis Kahn a attiré mon attention (merci à son oeil d'aigle*)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/D%C3%A9monstration_de_l%27irrationalit%C3%A9_de_2.jpg




Le point à détailler est :

2bd + d² = b²

qui permet de déduire que
est multiple de b (puisqu'on doit pouvoir y mettre b en facteur)
(et de même  est multiple de d)


Ceci entraîne que 
et ont des diviseurs communs
l'un au moins de ces diviseurs n'est pas un carré, il divise donc d
b et d ont donc des diviseurs en commun
d'où la suite de la démonstration.



Pour terminer,
j'ai fouillé un peu enseuite dans mes vieux manuels
et j'y ai trouvé une proposition beaucoup plus expéditive :

(il est des évidences qui ne sont plus de ce monde (sourire)²)





Avec la suite conséquence logique qui nous intéresse :





En prime, un petit développement sur la notion d'incommensurabilité




Et la précision (cours)






* en fait, j'avais dans un premier temps sauté allègrement de 2bd + d² = b²)
à "d multiple de b",
erreur que je vous remercie d'imputer à l'heure tardive à laquelle je me penchais sur ces développement (sourire)²

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7 mars 2008 5 07 /03 /mars /2008 11:56
Séance de sixième au cours de laquelle les élèves prennent les mesures apparentes du tableau (blanc) et pour ceux qui en sont trop proches, d'une ancienne affiche encadrée, donnant les interdictions élémentaires en usages dans la classe ("ne pas cracher" par exemple) .


Ils tendent leur règle à bout de bras et tentent de dessiner sur leur cahier la figure que leur oeil voit et que leur main mesure.





Etonnement général la figure en question n'est pas un rectangle.

Certains, c'est le cas de le dire, n'en croient pas leurs yeux !

Ici, l'objectif est d'introduire (sensibilisation) les lois de la perspective.
Celle (cavalière) que l'on utilise en mathématique et celle que l'on trouve dans les représentation des peintres





Un site qui développe le sujet ici

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6 mars 2008 4 06 /03 /mars /2008 12:24
Comme son nom l'indique cette figure à quatre (tétra) côtés (gone)
possède deux (di) angles droits (ortho)

Grâce au travail de Vince Joly tu vas pouvoir tracer un Diorthotétragone

clique ici

et utilise l'outil qui permet de définit la condition "sont perpendiculaires"
(sur la droite, le quatrième)

Les deux angles droits ne doivent pas être consécutifs

sinon il (ne) s'agit (que) d'un simple* trapèze rectangle



*
(sourire)²

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5 mars 2008 3 05 /03 /mars /2008 20:59
Cette question revient à
"Un nombre dont le carré est 2 peut-il s'écrire comme une fraction ?"

Bien plus élégante que la précédente démonstration proposée ici même
et qui se voulait une alternative à la forme lourde qu'on enseigne le plus souvent en collège (ou au lycée).

Pour qu'il y ait tout de même quelque chose à faire, je propose la rédaction que j'en ai faite, dans le désordre.

Seul le 1 et le 15 sont à leur place

1  
2  
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15 (nous avons donc démontré ...) Ce Qu'il Fallait Démontrer


Si on s'en remet au hasard, il y a 6227020800 possibilités
ce qui à raison de 10 secondes par choix suppose de consacrer un peu moins de deux mille ans à cette tâche (sourire

Mais en cherchant un peu, on peut remettre cette démonstration plus rapidement dans l'ordre.
6227020800

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5 mars 2008 3 05 /03 /mars /2008 08:23

Un lexique
ça peut toujours servir


Un petit état de tes connaissances, à propos des droites que l'on peut construire dans un triangle, à partir
de ses sommets et des milieux de ses côtés (ou de ses angles)

Pour commencer, le matou mateux te donne l'occasion d'évaluer tes connaissances à propos de la médiatrice et de la bissectrice d'un triangle dans un questionnaire à choix multiples (QCM)

Médiatrice et bissectrice



sur  Maths En Poche
des tracés au compas et à la règle

1. Médiatrices
2. Bissectrices
3. Hauteurs
4. Médianes
5. Cercle circonscrit
6. Conjecture de l'orthocentre (Tracenpoche)
7. Conjecture du centre de gravité (Tracenpoche)




Une petite pause avec un retour sur "l'inégalité triangulaire" à travers un problème proposé (merci à lui) par le matou matheux



Pour terminer, tu vas avoir à réaliser des constructions de triangle

sur  Maths En Poche

1. Avec les trois côtés
2. Avec deux côtés et l'angle formé
3. Avec un côté et les deux angles adjacents
4. En utilisant la somme des angles
5. Triangles particuliers
6. Triangles particuliers (bis)



Et si tu as encore un peu de temps
le matou mateux te propose 



d'Apprendre les définitions et propriétés


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5 mars 2008 3 05 /03 /mars /2008 00:00

Avant de commencer, je te propose sur le site du matou matheux
de découvrir la fonction affine qui donne
à partir du nombre de masse que l'on met au bout d'un ressort, l'allongement de celui-ci

Tu dois observer l'évolution de cet allongement (f(x) ) en fonction de la charge (x)
et me donner en commentaire la fonction correspondante
sous la forme
f est la fonction qui a x fait correspondre .... (en français)

f :   x ----> f(x) = ...x + ...

Une fois fait cela, tu vas faire un travail de révision de ce que tu sais à propos des fonctions affines

sur 
Maths En Poche   ici

 
Lorsque tu auras fini (tu es libre de ton parcours)
quelques exemples
à nouveau avec le matou matheux

Fonction linéaire et affine avec le cinéma

Représentation graphique d'une fonction linéaire


Ici, tu devras tenter d'obtenir la représentation des fonctions
f  qui à x associe y = 2x
et
g qui à x associe y = x

(en déplaçant le point  N)


Tu donneras en commentaire les coordonnées des points M et N
qui t'ont permis d'obtenir ce résultat



Pour finir, si tu en as le temps

Représentation graphique d'une fonction affine avec deux points quelconques

Ici, tu devras tenter d'obtenir la représentation des fonctions
f  qui à x associe y = 2x - 1
et
g qui à x associe y = -3 x + 2
(en déplaçant les points  N et M)

Tu donneras en commentaire les coordonnées des points M et N
qui t'ont permis d'obtenir ce résultat
(il y a plusieurs solutions, une seule suffira.)



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4 mars 2008 2 04 /03 /mars /2008 18:49


Je te propose aujourd'hui d'utiliser quelques travaux concernant des volumes que tu connais déjà.
(Dans le dernier devoir où il fallait faire la maquette d'une pièce de chez toi).
sur 
Maths En Poche

1. Vocabulaire
2. Nommer faces, arêtes et sommets
3. Dénombrer faces, arêtes et sommets
4. Segments de même longueur
5. Pavés en perspective
6. Faces et arêtes dans un pavé droit.


Chez le Matou Matheux





1. Face, arête et sommet
2. Nommer face, arête ou sommet
3. Compter faces, arêtes et sommets
4. Arêtes parallèles ou perpendiculaires
5. Faces parallèles ou perpendiculaires


Si tu as terminé, nous allons voir ces figures qui permettent de construire ces volumes :

sur  Maths En Poche

1. Associer le pavé droit au patron
2. Associer le patron au pavé droit
3. Longueurs égales sur un patron
4. Longueurs manquantes
5. Compléter un patron d'un cube



Chez le Matou Matheux





1.  Fermer un patron
2.  Reconnaître un patron
3.  Compléter un patron


Pour aller un peu plus loin,  (Chez HuBert Martineau)

Deux perspectives sur un cube
(la perspective que nous utilisons en maths, et une autre qu'utilisent notamment les peintres)

Les cinq solides absolument réguliers
(il n'y en a pas d'autres ... dans ce monde)

Patience pour le chargement ...

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4 mars 2008 2 04 /03 /mars /2008 14:16
Premier objectif : Etre capable de formaliser l'énoncé sous une forme mathématique

(question 2)



Les questions 3 et 4 sont destinées à faire patienter ceux qui ont terminé
la suite n'étant pas affichée immédiatement

Correction de cette partie, ici
(les croix sont les points attribués à chaque élément de réponse)

Second objectif : Etre capable d'effectuer une transformation concernant les deux membres d'une équation. (qui conserve donc le sens originel)

(obtenue accord du participe passé)

Correction de la question 5, ici

Question 5 : Dans le premier membre, en multipliant par 3 au lieu de 4, j'obtiens un x en moins, je dois donc soustraire un x au second membre.



Question 6 : Deux étapes permettent de transformer l'équation et de parvenir à
x  =  

La première


Pour l'ensemble des étapes (solution de la question 6), ici

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3 mars 2008 1 03 /03 /mars /2008 10:45






Un nombre dont le carré est 2
peut-il s'écrire comme une fraction ?



Ce serait bien rassurant et éviterait d'avoir à considérer des nombres irrationnels
(
c'est à dire ne pouvant pas s'exprimer sous la forme d'une fraction)


Tentons le coup ...


tu as besoin d'une feuille de papier pour recopier l'énoncé (en bleu) et tes réponses (en vert)
En effet ce développement comporte plusieurs étapes liées et il est utile d'en voir le déroulement d'ensemble, notamment une fois terminé)




Si on multiplie un nombre entier (on peut nommer ce nombre n) par lui même
(c'est à dire si on le met « au carré » )

alors, quel peut être le chiffre des unités du résultat ?

(il n'y a pas un nombre infini de cas, tu peux tous les observer)

………………………………………… (réponse)

Si on multiplie ce résultat par 2,

quel peut être alors le chiffre des unités de ce nouveau résultat ?

(ici, si tu te sers du résultat précédent,  tu verras rapidement qu'il y a encore moins de choix)

………………………………………..
(réponse)



Complête maintenant les phrases (en te servant de ces résultats)

- Si n est entier, alors a pour chiffre des unités ………………………………………… (réponse)

 

- Si m est entier, alors 2m² a pour chiffre des unités ……………………………………….. (réponse)

 

- Si  et 2m² ont le même chiffre des unités alors ils sont divisibles par …
(réponse)

 

- Si la fraction de numérateur et de dénominateur   est égale à 2, alors

et 2m² ont le …. chiffre des unités. (réponse)

 
Qu'en penses-tu ?

(éléments de réponse)
 

...



Apparemment, nous ne pourrons pas faire l'économie de ce nouvel ensemble de nombres, pour trouver une place à tous ceux qui ne se suffisent pas des fractions.

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