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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

25 mars 2008 2 25 /03 /mars /2008 18:43
Nous avons déjà abordé la proportionnalité dans un devoir qui partait d'une enquête sur les prix en supermarché, et de leur traîtement (nombre d'€uro au kg, nombre de kilogrammes par €uro par exemple)


Ici nous allons revoir cette notion en partant de figures géométriques et montrer qu'elle est liée à la "forme"

Pour commencer, tu vas devoir tracer une petite figure sur Trace en Poche en ligne

Voilà son programme de construction


1) Place trois points que tu nommeras A, B et C

2) Trace le triangle ABC

3) Place deux points que tu nommeras A' et B'


à ce stade de la construction, avant de continuer, enregistre le script de ta figure (en utilisant la fonction que je montre sur l'illustration) dans ton répertoire personnel

Tu lui donneras le nom Triangle et proportionnalité 1





A partir de maintenant, tu ne dois plus modifier la place des points déjà placés

(suite de la construction)

4) Place le point C' tel que le triangle A'B'C' (trace le) ait la même "forme" que le triangle ABC (points dans le même ordre)


Ici aussi, avant de continuer, enregistre le script de ta figure (en utilisant la même fonction que précédemment) dans ton répertoire personnel

Tu lui donneras le nom Triangle et proportionnalité 2


Lorsque ce sera fait, utilise la fenêtre d'analyse pour connaître la mesure (en unités de l'ordinateur) de longueur des côtés des deux triangles

Aide toi de l'illustration ci-dessous.


Il suffit d'écrire l'égalité recherchée (par exemple AB = ) et d'appuyer sur la lettre grecque que désigne le curseur de la souris, pour obtenir le résultat.

Une fois que tu as toutes ces mesures, reporte les dans un tableau sur ta feuille, puis sur un tableau open office calc que tu trouveras
ici

Dans ce tableau, il y a une ligne de calcul qu'il faudra effectuer.

Plus les résultats que tu obtiens dans les trois cases de la ligne 10 sont voisins, et plus tes deux triangles ont une forme proche (c'est à dire des angles de mesures voisines)

Lorsque tu auras rempli ton tableau, enregistre le dans ton répertoire
Tu lui donneras le nom Tableau triangle et proportionnalité 1

Recopie les valeurs de ce second tableau sur ta feuille.

Il est possible que les résultats du tableau t'indiquent que tes deux triangles sont en fait assez différents d'aspect.
Pour améliorer ton résultat, modifie la position du point C'
(il t'est interdit de toucher aux autres ... ce ne serait pas de jeu !)

Tu pourras t'aider de la valeur des angles comme je l'ai fait sur mon dessin, pour t'approcher au plus près. (outil rapporteur)




Bien sur, il suffit de vérifier deux angles puisque
"La sommes des angles d'un triangle .... .... .... ...."
(termine cette phrase et copie la sur ta feuille)
Lorsque tu auras obtenu un triangle A'B'C' "plus semblable" à ABC,
reprend le travail que tu as fait sur le tableur
et vérifie la qualité de ce progrès.



Quand ton tableau sera terminé, enregistre le dans ton répertoire
Tu lui donneras le nom Tableau triangle et proportionnalité 2

Recopie les valeurs de ce second tableau sur ta feuille.


Pour terminer,
copie le script de ta figure TRACE EN POCHE en commentaire dans cet article.





Pour dépanner : le script de la figure donnée en illustration : ici

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24 mars 2008 1 24 /03 /mars /2008 20:55
C'est à l'occasion de l'introduction de nouveaux "objets" (ici les "racines carrées" ) que l'on peut mesurer à quel point les opérations fondamentales (4 opérations) sont ou ne sont pas solidement acquises.

Un exemple parmi tant d'autres sur la copie de Xavier*

Dans ce travail, tout commence assez bien :


Cette distribution de la multiplication aux deux termes additionnés dans la parenthèse semble être bien comprise.

L'exercice suivant annonce que cela se complique dans la tête de Xavier



Par la suite il est clair que le sens d'une partie des calculs n'est pas compris.



De  la suite de multiplication soulignée en rouge, dont Xavier a montré plus haut qu'il avait parfaitement compris le sens
(on voit ici l'utilité pour l'élève ... et son prof, d'écrire les étapes)
il finit par sortir une addition
! f

Ici, quelque chose a déstabilisé la compréhension que Xavier avait des multiplications successives.

On peut en effet penser qu'il ne se serait pas trompé sur le calcul
3x x 2

Ci-dessous, la proposition de correction, qui souhaite mettre sur la piste de ce que signifie l'expression sur laquelle Xavier a buté.
(merci pour d'autres suggestions éventuelles)

Car, bien sur, il n'est pas très grave de faire une erreur, si on dispose des moyens pour vérifier, et reconstruire (retrouver la piste) le résultat juste.





* nom d'anonymat

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23 mars 2008 7 23 /03 /mars /2008 00:17

L'ensemble de la construction suit un programme précis.

Quelques points ayant UN degré de liberté (sur une droite).




La question est :
Comment est définit le lieu de point en rouge sur la figure

C'est à dire
- à quel point correspond-il ?
- quel est le point qui est "déplacé" pour que l'on obtienne cette trace ?
- quelles sont les relations qui lient les différents points de la figure entre eux ?
 sachant que les points A0 et A1 sont les seuls totalement libres



Au delà de ce problème relativement simple
et qui pourrait n'avoir que peu d'intérêt pour un certain nombre d'entre ... nous

une petit remarque qui a son importance

La même construction sur Trace En Poche donne
un tout autre lieu pour le point A3



Etrange, n'est-il pas ?

Que faut-il en conclure ?

A minima, que l'objectivité des bougeurs de points est une illusion,
et que certaines conventions invisibles modifient sensiblement les résultats obtenus, notamment lorsqu'il s'agit de figures non totalement contraintes.

Le monde virtuel serait-il truffé d'implicites
qui feraient peser sur nous des contraintes invisibles ?



Pour vérifier de visu

ici le fichier déclic
(il faut posséder le logiciel,
ou le charger ici )

et ci-dessous le script Trace en Poche



@figure;
  A0 = point( -2.4 , -0.9 );
  A1 = point( 2.7 , -0.73 );
  sA0A1 = segment( A0 , A1 );
  I1 = milieu( sA0A1 );
  perpA1sA0A1 = perpendiculaire( A1 , sA0A1 );
  ceA1I1 = cercle( A1 , I1 );
  B1 = intersection( perpA1sA0A1 , ceA1I1 , 1 );
  B = intersection( perpA1sA0A1 , ceA1I1 , 2 );
  h_A1 = homothetie( A1 , 2 )  { noir };
  B' = image( h_A1 , B );
  dB'I1 = droite( B' , I1 );
  A2 = pointsur( dB'I1 , 1.92 );
  sA2A1 = segment( A2 , A1 );
  I2 = milieu( sA2A1 );
  perpA2sA2A1 = perpendiculaire( A2 , sA2A1 );
  ceA2I2 = cercle( A2 , I2 );
  C1 = intersection( perpA2sA2A1 , ceA2I2 , 1 );
  C = intersection( perpA2sA2A1 , ceA2I2 , 2 );
  h_A2 = homothetie( A2 , 3 )  { noir };
  C' = image( h_A2 , C );
  dC'I2 = droite( C' , I2 );
  A3 = pointsur( dC'I2 , 1.56 );
  J = lieu( A3 , A2 )  { rouge };


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19 mars 2008 3 19 /03 /mars /2008 10:42


Un travail de tracé et de correction sur Trace en Poche


I ] J'ouvre Trace en Poche en ligne , dans un nouvel onglet

1) Je place trois points que je nomme A , B et C

2) Je trace la droite (AB)

3) Je place D symétrique de C par rapport à (AB)


4)
Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article



Une fois que le commentaire est publié, les élèves de la classe peuvent
- recopier le script d'un de leurs camarades dans leur session de
Trace en Poche
- juger du résultat
- émettre un commentaire en retour avec correction des erreurs du script (à partir de leur propre figure tracée)




5) Je copie le script du camarade dont je dois vérifier le travail, dans Trace en Poche .

6) Je corrige les erreurs éventuelles de la figure

7) Je propose cette correction en commentaire.



II] Tracé d'un Cerf-Volant

1) (repartir à zéro sur Trace en Poche ) Je place les points A , B et C

2) Je Place le point D tel que  ABCD soit un Cerf-Volant  

3) Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article


III] Tracé d'un Losange

1) (repartir à zéro sur Trace en Poche ) Je place les points A , B et C

2) Je Place le point D tel que  ABCD soit un Losange

3) Je copie le script de mon travail en commentaire de cet article



une proposition de solution
  A = point( -5.03 , 2.63 );
  B = point( 0.1 , 1.9 );
  ceAB = cercle( A , B );
  C = pointsur( ceAB , 299.99 );
  ceBA = cercle( B , A );
  ceCA = cercle( C , A );
  sBA = segment( B , A );
  D = intersection( ceBA , ceCA , 1 );
  sBD = segment( B , D );
  sDC = segment( D , C );
  sCA = segment( C , A );




Tu peux maintenant passer aux exercices de construction plus guidés
sur
M aths E n P oche ,

1. Constructions de losanges
2. Constructions de rectangles
3. Constructions de rectangles (bis)
4. Construction de carrés
5. Cerf-volant (Tracenpoche)
6. Cerf-volant par les diagonales (Tracenpoche)
7. Rectangle par les diagonales (Tracenpoche)
8. Losange par les diagonales (Tracenpoche)
9. Carré par les diagonales (Tracenpoche)

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19 mars 2008 3 19 /03 /mars /2008 09:02
Je te propose aujourd'hui une séance consacrée au calcul numérique.

Ces calculs concerneront les nombres relatifs.


Pour commencer un petit travail sur un tableau de calcul
charger le document de travail, clique ici






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18 mars 2008 2 18 /03 /mars /2008 19:23

Je te propose aujourd'hui une séance de consolidation autour des racines carrées
et pour commencer,
de calculer quelques valeurs approchées.

Valeur approchée d'une racine carrée.
(je te conseille de faire entre 5 et 10 calculs
tu peux bien sur utiliser la calculatrice qui se trouves dans tes accessoires)

Pour toucher plus précisément du doigt (celui qui est dans la tête) ce qu'est la racine carrée d'un nombre (positif) poursuis par quelques travaux numériques.

Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau I Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau II Racines et nombres   Faire correspondre un nombre et sa racine carrée niveau III



A présent que tu as quelques repères numériques en tête,

avec 
Maths En Poche,  voici un travail sur le produit et le quotient de deux radicaux



6. Radical et produit

7. Radical et quotient


Après ce petit point de révision, une série d'exercices qui te permettront
de revoir les règles concernant les racines carrées
et de te familiariser avec les exercices types en rapport avec cette notion.


1. Calcul mental
2. Calculs liés à la définition
3. Carrés de produits
4. Carrés de quotients
5. Radicaux complexes
6. Radicaux et produits
7. Radicaux et quotients
8. Synthèse (produits et quotients)


Autres exercices à la carte pour ceux qui voudraient complêter ce travail

Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau I
Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau II
Correspondance de racines carrées   Trouver les écritures qui correspondent à un même nombre (c'est à dire qui sont équivalentes) niveau III
Tableau de décimaux.

 Nombre, carré et racine carrée,
compléter un tableau en utilisant des valeurs proposées (décimales)

Développer/réduire   Développer et réduire des expressions comportant des radicaux  niveau I.
Développer/réduire   Développer et réduire des expressions comportant des radicaux  niveau II
Ecriture réduite   Ecrire une expression comportant un radical sous une forme dans laquelle le nombre "sous la racine" est le plus petit possible.
Tableau d'entiers   Nombre, carré et racine carrée,
compléter un tableau en utilisant des valeurs proposées (entières)





L'ensemble des exercices du chapitre Racines carrées de

M
aths En P
oche

se trouve en lien ci-dessous

Maths en Poche Troisièmes : Chapitre Racines Carrées

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16 mars 2008 7 16 /03 /mars /2008 19:18
Le titre de cet article peut aussi se dire
"condition pour avoir une proportion"
puisque la proportion* est l'égalité de deux fractions



Soient deux fractions égales (et donc une proportion)



Pour qu'elles existent, il est nécessaire que leur dénominateur soit différent de zéro
(la division par zéro est impossible puisque le reste devrait être ... inférieur à zéro)

On peut donc multiplier
la première par le dénominateur de la seconde
et la seconde par le dénominateur de la première

Ce qui donne



les deux fractions ont même dénominateur
si elles sont égales c'est que
leurs numérateurs sont égaux

On en déduit donc



bien sur, si b et d sont différents de zéro
on peut aussi faire la transformation inverse
et parvenir de l'égalité finale à celle du début

D'où l'on déduit les deux règles :

1
Pour que deux fractions soient égales
il faut que leurs produits en croix soient égaux





2
Il suffit que les produits en croix de deux fractions soient égaux
pour que ces deux fractions soient égales




Que l'on résumer en une phrase sous la forme

Pour que deux fractions soient égales
il faut et il suffit que leurs produits en croix soient égaux










________________________________

*


En fait, toutes les proportions ne sont pas des égalités de fraction, puisqu'elles peuvent aussi concerner des nombres décimaux.
Mais les conditions d'égalité sont les mêmes.

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13 mars 2008 4 13 /03 /mars /2008 15:11

Dans ce petit travail, tu vas devoir retrouver le symétrique (par rapport à un axe) de chacun des points d'une figure géométrique.

Pour cela, je te propose d'utiliser l'outil de géométrie dynamique de l'équipe de Sesamaths  qui se nomme :  Trace en Poche



Pour la figure de l'exercice, le script est 

  A = point( -8.33 , 2.63 );
  B = point( 7.43 , 2.2 );
  dAB = droite( A , B );
  C = point( -2.13 , 4.07 );
  D = point( -1.7 , 1.73 );
  E = point( -0.7 , 4.33 );
  F = symetrique( D , dAB );
  G = symetrique( C , dAB );
  H = symetrique( E , dAB );
  I = point( -1.5 , 0.67 );
  J = point( -0.33 , 0.8 );
  K = point( -1.7 , -0.03 );
  L = point( -0.93 , 1.07 );
  M = symetrique( L , dAB );
  N = symetrique( K , dAB );
  O = symetrique( J , dAB );


Pour obtenir cette figure, il faut recopier ce script (sélection, copier, coller) là où est écrit    
@figure

puis appuyer sur la touche   F9  du clavier


Une fois que tu as fait ce travail, tu dois :

1) Retrouver le symétrique de chaque point 
Pour répondre, utilise ce tableau (open office)

Quand tu as terminé, copie la partie des réponses et mets la dans un commentaire avec ton nom.

2)  Tracer deux figures qui sont symétriques (par rapport à (AB) ) en utilisant le plus possible de point existants.

3)  Placer le symétrique (par rapport à (AB) ) du point qui n'en a pas.


Lorsque ta figure est terminée, copie le script (la partie qui correspond à
@figure ) dans un commentaire avec ton nom.




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13 mars 2008 4 13 /03 /mars /2008 13:47
Aujourd'hui, tu vas utiliser deux outils différents, pour faire "l'arbre généalogique" de la famille des quadilatères.


de l'équipe de Sesamaths

et
ici
l'outil que Vince Joly a mis au point pour ce type d'étude.

Pour commencer, en utilisant l'outil de Vince,


1) trace à l'écran les différents quadrilatères que tu connais

2) trace à main levée sur ta feuille, ces figures en donnant leur nom et en codant leurs propriétés.

Lorsque tu as terminé
3) tente de reproduire ces figures (ou d'autres ayant le même nom générique) avec
Trace en Poche

(Tu enregistreras des copies d'écrans de tes figures, après les avoir collées dans un fichier traîtement de texte, d'open office (Writer)







Eventuellement tu peux avoir besoin du lexique* de J.P Chabert

par exemple pour vérifier un nom de quadrilatère, sa définition et ses propriétés.


 


_______________________
* Il n'y manque, et pour cause, que le  diorthotétragone

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12 mars 2008 3 12 /03 /mars /2008 07:41
Aujourd'hui nous allons travailler sur le Tableur d'Open Office.

Je te propose le fichier  Tables d'additions


    1  

Ton travail est ici de compléter les deux tableaux en donnant les valeurs qui manquent.

A la fin le tableau correspond aux tables d'addition des nombres de 1 à 9


Sers toi des formules qui sont dans les cases où figurent  déjà des résultats.


Lorsque tu as terminé, enregistre ton fichier dans ton répertoire sous le même nom.

   2  
Dans un deuxième temps, tu vas modifier le tableau que je propose, pour qu'il corresponde aux tables de multiplication de 1 à 9.

Ici aussi,
lorsque tu auras terminé, enregistre ton fichier dans ton répertoire.
Mais là, il faudra lui donner le nom  "Tables de Multiplication"

(Pour ceux qui ont terminé uniquement)
   3  
Tu vas modifier le tableau proposé en     , pour qu'il corresponde aux tables de soustraction 1 à 9.

Attention, certaines soustractions te donnerons en résultat des nombres que nous n'avons pas encore vu (mais que tu as déjà utilisés)

Ici aussi,
lorsque tu auras terminé, enregistre ton fichier dans ton répertoire.
Mais là, il faudra lui donner le nom  "Tables de Soustraction"


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