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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

2 juin 2008 1 02 /06 /juin /2008 20:16
Pour les trois premiers exercices de cet ensemble, voir aussi ici



Sur le site de l'académie de Versailles de nombreuses ressources sont disponibles.

Voici quelques exercices concernant le chapitre sur les probabilités.


Calculer la probabilité de tirer une boule de couleur donnée dans une urne
Calculer la probabilité de tirer une boule qui ne soit pas d'une couleur donnée dans une urne
Calculer la probabilité de tirer une boule qui soit d'une couleur ou d'une autre dans une urne
Calculer la probabilité qu'une roue de loterie s'arrête sur un secteur associé à un nombre donné
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé dodécaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé icosaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé octaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé cubique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé tétraédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné en lançant un dé dodécaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné en lançant un dé icosaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné en lançant un dé octaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné en lançant un dé cubique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre impair ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné en lançant un dé tétraédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé dodécaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé icosaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé octaédrique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé cubique
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné à l'issue du lancer d'un dé tétraédrique
Calculer la probabilité qu'une roue de loterie s'arrête sur un secteur associé à un nombre supérieur ou inférieur à un nombre donné
Calculer la probabilité qu'une roue de loterie s'arrête sur un secteur associé à un nombre impair, ou un multiple ou un diviseur d'un nombre donné
Calculer la probabilité qu'une fléchette atteigne une couronne circulaire donnée sur un disque
Calculer la probabilité qu'une fléchette n'atteigne pas une couronne circulaire donnée sur un disque
Calculer la probabilité qu'une fléchette atteigne une couronne circulaire donnée ou une autre sur un disque
Calculer la probabilité qu'une fléchette n'atteigne ni une couronne circulaire ni une autre sur un disque donné
Calculer la probabilité qu'une fléchette atteigne une zone donnée sur une cible carrée
Calculer la probabilité qu'une fléchette n'atteigne pas une zone donnée sur une cible carrée
Calculer la probabilité qu'une fléchette atteigne une zone donnée ou une autre sur une cible carrée
Calculer la probabilité qu'une fléchette n'atteigne ni une zone donnée ni une autre sur une cible carrée
Compléter un arbre de probabilité associé à une expérience aléatoire à une épreuve
Déterminer l'ensemble des issues associées aux sommes obtenues à l'issue du lancer de deux dés
Calculer la probabilité que la somme obtenue à l'issue du lancer de deux dés soit inférieure ou supérieure à un nombre donné
Calculer la probabilité d'obtenir une somme donnée à l'issue du lancer de deux dés
Déterminer l'événement associé à une somme donnée à l'issue du lancer de deux dés
Déterminer l'événement associé à une somme inférieure ou supérieure à un nombre donné à l'issue du lancer de deux dés
Calculer la probabilité de tirer une carte dans un jeu de cartes
Calculer la probabilité de tirer une carte ou une autre dans un jeu de cartes
Calculer la probabilité de ne pas tirer une carte de valeur ou de couleur donnée dans un jeu de cartes
Calculer la probabilité de ne tirer ni une carte de valeur ou de couleur donnée, ni une autre dans un jeu de cartes
Calculer la probabilité d'un événement élémentaire associé au lancer d'un dé cubique non équilibré (2)
Calculer la probabilité d'un événement élémentaire associé au lancer d'un dé cubique non équilibré (1)
Calculer la probabilité d'obtenir soit un nombre inférieur ou supérieur à un nombre donné, soit un nombre pair ou impair à l'issue du lancer d'un dé cubique non équilibré
Compléter un arbre de probabilité associé à une expérience aléatoire à deux épreuves
Calculer la probabilité que deux événements soient tous les deux réalisés connaissant l'arbre de probabilité associé
Indiquer une probabilité associée à une expérience aléatoire à deux épreuves dont l'arbre de probabilité est donné
Compléter un arbre de probabilité associé aux tirages successifs d'une boule dans des urnes
Compléter un arbre de probabilité associé aux tirages successifs sans remise d'une boule dans une urne
Compléter un arbre de probabilité associé au tirage d'une boule dans une urne
Compléter un arbre de probabilité associé au lancer d'un dé cubique sachant que les probabilités des issues sont proportionnelles à l'une d'entre elles
Déterminer la probabilité d'interroger un individu appartenant à deux sous-populations connaissant un tableau croisé d'effectifs
Déterminer la probabilité d'interroger un individu appartenant à une sous-population ou une autre connaissant un tableau croisé d'effectifs
Loi de probabilité de la somme obtenue à l'issue du lancer de plusieurs dés


Ne pas hésiter à se servir des outils disponibles et en particulier du brouillon et de l'aide technique.




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1 juin 2008 7 01 /06 /juin /2008 22:03
Je donnerais ici ces prochains jours, lun  terme initial  ainsi que les premiers nombres de cette suite N°1 (donc toujours la même loi de production des nombres)

Au lecteur perspicace de découvrir la construction.

Toutes les observations concernant ces séries de nombres sont les bien venues.


Premier terme : 875

Termes suivants : 

988 ; 909 ; 199 ; 801 ; 218 ; 972 ; 859 ; 748 ; 747 ; 737 ; 647 ; 836 ; 538 ; 855 ; 708 ; 387 ; 593 ; 445 ; 14 ; 130 ; 271 ; 542 ; 985 ; 979 ; 829 ; 478 ; 314 ; 833 ; 508 ; 585 ; 375 ; 483 ; 454 ; 194 ; 851 ; 768 ; 927 ; 359 ; 243 ; 292 ; 732 ; 697 ; 386 ; 583 ; 355 ; 203 ; 832 ; 598 ; 495 ; 564 ; 185 ; 771 ; 47 ; 430 ; 974 ; 879 ; 928 ; 369 ; 333 ; 3 ; 30 ; 370 ; 433 ; 904 ; 149 ; 351 ; 263 ; 472 ; 354 ; 293 ; 742 ; 787 ; 197 ; 881 ; 38 ; 350 ; 253 ; 382 ; 543 ; 995 ; 69 ; 630 ; 776 ; 97 ; 980 ; 929 ; 379 ; 423 ; 814 ; 338 ; 53 ; 580 ; 325 ; 933 ; 409 ; 694 ; 356 ; 213 ; 922 ; 309 ; 793 ; 247 ; 232 ; 192 ; 831 ; 588 ; 305 ; 753 ; 887 ; 98 ; 990 ; 19 ; 180 ; 721 ; 597 ; 485 ; 474 ; 374 ; 473 ; 364 ; 383 ; 553 ; 85 ; 870 ; 938 ; 459 ; 144 ; 301 ; 713 ; 427 ; 854 ; 798 ; 297 ; 782 ; 147 ; 331 ; 83 ; 850 ; 758 ; 837 ; 548 ; 945 ; 519 ; 685 ; 276 ; 592 ; 435 ; 924 ; 329 ; 973 ; 869 ; 838 ; 558 ; 35 ; 320 ; 983 ; 959 ; 649 ; 856 ; 718 ; 477 ; 304 ; 743 ; 797 ; 287 ; 692 ; 336 ; 33 ; 300 ; 703 ; 337 ; 43 ; 490 ; 514 ; 635 ; 726 ; 547 ; 935 ; 429 ; 874 ; 978 ; 819 ; 388 ; 503 ; 535 ; 825 ; 438 ; 954 ; 699 ; 306 ; 763 ; 977 ; 809 ; 298 ; 792 ; 237 ; 142 ; 381 ; 533 ; 805 ; 258 ; 332 ; 93 ; 940 ; 569 ; 135 ; 221 ; 92 ; 930 ; 479 ; 324 ; 923 ; 319 ; 883 ; 58 ; 530 ; 875 ;


A lire les nombres, on perçoit bien un air de famille, (osons le gros mot, une "proximité" )
mais de là à donner le mode de construction de la suite ...

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1 juin 2008 7 01 /06 /juin /2008 17:29
  En copiant ce script dans la partie "figure" (à droite) de TracenPoche  tu obtiendras un quadrilatère qui,
par construction (comme on le voit sur le script) possède un centre de symétrie.


O = point( -1.33 , 1.1 )  { car+4 , gras };
  A = point( -3.67 , -2.07 )  { violetfonce , car+4 , gras };
  A' = symetrique( A , O )  { violetfonce , car+4 , gras };
  C = point( 6.47 , 1.4 )  { violetfonce , car+4 , gras };
  C' = symetrique( C , O )  { violetfonce , car+4 , gras };
  sC'C = segment( C' , C )  { rouge , 2 };
  sAA' = segment( A , A' )  { rouge , 2 };
  polyAC'A'C = polygone( A , C' , A' , C  );








En effet A' est le symétrique de A par rapport à O et B' est le symétrique de B,
également par rapport à O .

Pour construire une telle figure, il suffit donc de tracer deux cercles concentriques (c'est à dire "de même centre") et de choisir un diamètre de chaque cercle.
(le centre des deux cercles se trouve donc centre de symétrie (puisque les deux extrémités d'un diamètre sont à égale distance du centre)

On obtient alors les diagonales de notre quadrilatère qu'il ne reste plus qu'à tracer.*



Cette figure a ses côtés égaux deux à deux (facilement démontrable en utilisant les propriétés de la symétrie centrale et notamment le fait qu'elle conserve les angles et les longueurs**) et parallèles.

C'est un



La dernière remarque est importante, le rectangle est un parallèlogramme particulier.

il possède donc toutes les propriétés évoquées ici,
et en particulier un centre de symétrie (le point d'intersection de ses diagonales)





* le script de cette construction

  O = point( -0.77 , 0.47 )  { car+3 , gras };
  A = point( 2.7 , 3.8 )  { car+3 , gras };
  ceOA = cercle( O , A )  { bleufonce };
  B = point( -0.87 , 7 )  { car+3 , gras };
  ceOB = cercle( O , B )  { bleufonce };
  dBO = droite( B , O )  { cyan , 7 };
  dAO = droite( A , O )  { cyan , 7 };
  B' = intersection( dBO , ceOB , B )  { rougefonce , car+3 , gras };
  A' = intersection( dAO , ceOA , A )  { rougefonce , car+3 , gras };
  sAA' = segment( A , A' );
  sBB' = segment( B , B' );
  polyABA'B' = polygone( A , B , A' , B'  )  { vert , 3 };



** c'est une "isométrie" de "iso" qui signifie "même" (en grec) et "metro" la mesure.


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31 mai 2008 6 31 /05 /mai /2008 14:05
Dans  Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose
nous avons défini les contours de la recherche
Pour résumer : il s'agit de découvrir toutes les surfaces qui, si on les plie sur elle-même (ce qui suppose un axe de symétrie) conservent leur forme générale
(c'est à dire leurs proportions*)

pour la suite, voir
Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose (2)

Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose (3)
et
Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose (4 )


Nous sommes parvenu à restreindre nos recherches à deux types de figures
les quadrilatères et les triangles.

Il reste à découvrir plus précisément les figures qui vérifient les exigences de notre recherche.

Voyons dans un premier temps, du côté des quadrilatères :

(remarque, la seconde condition exclue les cerf-volants dont l'axe de symétrie passe par deux sommets.
Effectivement, lorsqu'on plie un cerf-volant sur son axe de symétrie, les deux parties se superposent bien mais on obtient un triangle.)

En plus de ce qui est développé sur la feuille, on peut remarquer que cet axe de symétrie (marque du pli) produit un segment perpendiculaire à deux côtés de la figure de départ. Il doit en effet être la médiatrice de ces côtés.

Les figures d'arrivée ont donc deux angles droits, et par conséquence il en est de même avant le pli.

Les quadrilatères qui satisfont aux exigences de la recherche, ont donc deux angles droits.


Si l'on regarde maintenant les deux autres angles de cette figure,
d'après ce qui a été dit précédemment (axe de symétrie) ces deux angles sont égaux.

La somme des angles d'un quadrilatère étant égale deux angles plats, les deux premiers angles étant droits, les deux autres sont
égaux et leur somme fait un angle plat

Ils valent donc la moitié d'un angle plat, c'est à dire un angle droit.

Les quadrilatères qui satisfont aux exigences de notre recherche sont donc des rectangles.

Tous les rectangles ?



On voit que tous les rectangles sont loin de convenir.

(à suivre ...)


une petite expérimentation en passant par
TracenPoche
peut éventuellement aider


(tu peux charger le script en cliquant sur la figure
son adresse : http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/0/04/35/24/openoffice/recherche/polygone-et-pli/Polygone-et-pli---quels-rectangles.txt)




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31 mai 2008 6 31 /05 /mai /2008 12:42
Image:Simple harmonic motion animation.gif

L'enseignement des mathématiques doit permettre d'accéder aux outils relatifs à la bonne mesure et la bonne compréhension des rapports qui existent dans le monde réel.

Mais il doit aussi donner les moyens de repérer les usages abusifs de ces mesures et de ces rapports.

Par exemple

quand dans un grand média de communication, on trouve écrit


Des experts britanniques trouvent la formule mathématique de la voix parfaite

Des scientifiques britanniques ont mis au point une formule mathématique pour déterminer la voix idéale, en prenant en compte l'intonation, l'élocution ou encore le débit, selon une étude publiée vendredi.

Pour avoir la voix idéale, il suffit désormais d'appliquer la formule suivante: ([164.2wpm x 0.48pbs]Fi)=PVQ.



Assurément le mélange des mots "idéale" et "mathématiques" ne va pas de soit
mais plus encore, dans le monde des êtres vivants, cette notion d'idéal est tout à fait mouvante
ce qui l'est à un certain moment ne l'est plus à un autre (nos goûts évoluent)

Ici, l'article à manqué l'occasion d'aborder les faits d'une manière un peu plus objective
par exemple sous l'angle des statistiques.

Bien évidemment, il y aurait perdu un peu de son pouvoir "d'attrape flux de badauds" (dont moi peut-être (sourire)²)

En effet dire qu'une voix douce avec un débit lent "passe bien pour 70% des sondés"
est nettement moins sensationnel
...
mais tellement plus juste !


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30 mai 2008 5 30 /05 /mai /2008 22:44
Si quelqu'un a déjà rencontré cette suite cyclique de nombres,
ou encore, y voit une régularité que mon travail n'a pas permis à cette heure de mettre en lumière,
je suis vivement intéressé.


466  , 201 , 812 , 310 , 894 , 159 , 447 , 39 , 364 , 380 , 522 , 708 , 388 , 503 , 535 , 829 , 472 , 352 , 279 , 521 , 797 , 288 , 602 , 426 , 847 , 634 , 710 , 498 , 595 , 466 ,

Inutile d'aller voir du côté de chez sloane (sourire)²
elle n'y est pas ... encore.

Merci d'avance ...



*

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30 mai 2008 5 30 /05 /mai /2008 21:28
Issu de vieilles pages oubliés, ce lexique tente de remettre à la lumière du jour ces résumés truffés de recettes qui faisaient le bonheur/malheur des générations de "dans le temps"




Poly :  plusieurs, Gone : angle
(sur wikipédia : polygone)






polygones


Sur  TracenPoche

On peut tracer la figure segment par segment
mais il existe aussi une fonction spécifique qui permet de faire ce tracé plus simplement et continuement.


Il suffit de placer les points (de valider ou changer le nom proposé) on voit alors étape par étape, la surface délimitée par les segments tracés.

Lorsqu'il s'agit du dernier point de la figure, il faut alors cliquer à nouveau sur l'icone "polygone" pour clore la construction.




On obtient alors le contour de la figure.

Ci-dessous, un hexagone (six côtés)

On peut voir à droite le script de la figure
(on peut modifier directement la valeur des coordonnées des points pour en changer la place)
Ici, la mesure des angles est donnée
on pourra vérifier que la somme de ces mesures vaut 
(6-2) angles plats





La formule générale qui donne la somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés est l'occasion de faire une démonstration assez facile à comprendre (et même à découvrir ... dans ce cas prend une feuille et évite de regarder en dessous).






En joignant un des sommets à tous les autres, on peut découper  ? triangles
La somme des angles intérieurs d'un triangle vaut  ?
donc la somme des angles intérieurs de tous ces triangles vaut   ... x   ?

d'où la formule générale pour la

somme des angles intérieurs d'un polygone  de n côtés  :   ?



(pour la réponse cliquer sur l'image )





Il y a une autre démonstration un peu similaire.

Au lieu de partir d'un sommet pour découper le polygone en triangles, on peut le faire à partir de nimporte quel point intérieur.

On obtient ainsi n triangle mais on a fait apparaître un angle plein (n angles issu du point ajouté)
la formule obtenue est donc la même
le nombre d'angles plats correspondant aux côtés, auquel ont soustrait cet angle plein.

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27 mai 2008 2 27 /05 /mai /2008 21:51
Aujourdhui, pour commencer un travail sur les calculs d'aires, je te propose d'utiliser une fois de plus l'excellent "bougeur de points TracenPoche
   

Le dessin ci-dessous te donne le script qu'il faut écrire pour obtenir la figure de départ.
Commence par la reproduire.


(tu peux aussi charger le script en cliquant sur la figure )

Si tu as terminé

1) Place le point D tel que ABCD soit un rectangle (trace la figure). Quelle est alors son aire ?

2) Place le point E sur [BC] et trace le triangle ABE . Peut-on faire varier son aire ?

3) Place le point F tel que AEDF soit un cerf-volant . Quelle est son aire ?

4) Sur une nouvelle figure, place le point O de coordonnées (8,8) puis trace le cercle de centre O et de rayon 4u (u : unité)
A l'intérieur de ce cercle (technique de la rosace) dessine un hexagone régulier.
  Puis, en te servant de la médiatrice des côtés de cet héxagone, trace un
Dodécagone  régulier.
  Quelle est l'aire de cette figure ?
  Déduis-en une valeur approchée de l'aire du cercle, à 4 u² près.


Pour chaque réponse  place le script de ta figure dans un commentaire, donne la réponse à la question (en indiquant ton nom)



Si tu t'en es bien sorti(e), alors tu es prêt à t'entraîner librement au moyen des exercices de Maths En Poche  sur ce même thème.

ici

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26 mai 2008 1 26 /05 /mai /2008 15:20
Je te propose de tracer des figures d'un certain genre en imposant l'aire qu'elles doivent avoir

Pour cela, tu utiliseras
TracenPoche

Tu donneras le script de ta figure en commentaire de cet article.


1) Un rectangle non carré dont l'aire vaut 24 u²  (u : unité)

2) Un  carré dont l'aire vaut 36 u² 

3) Un Triangle  dont l'aire vaut 14 u²

4) Un Triangle  non rectangle dont l'aire vaut 17 u²

Après quelques essais, tu t'es peut-être rendu compte qu'il valait mieux écrire les coordonnées des points directement dans le script de Trace en Poche
plutôt que de "bouger" les points

tu as bien raison (sourire)²  !
c'est la bonne méthode de construction


Continue comme cela.


5) Un cercle  dont l'aire vaut plus de 48 u² et moins de 54 u²
 le carré dans lequel le cercle est inscrit et le
Dodécagone régulier qui est inscrit à l'intérieur du cercle.
un dodécagone régulierPour un coup de main clique sur la figure





à voir aussi : un chapitre sur les polygones

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25 mai 2008 7 25 /05 /mai /2008 21:01
Dans  Recherche : un pli qui ne change rien ... ou pas grand chose
nous avons défini les contours de la recherche
Pour résumer : il s'agit de découvrir toutes les surfaces qui, si on les plie sur elle-même (ce qui suppose un axe de symétrie) conservent leur forme générale
(c'est à dire leurs proportions*)

Au cours des autres étapes de notre travail, nous sommes parvenus à montrer que la figure en question était nécessairement un polygone et qu'il y avait trois manières de le partager en deux parties égales.

En fait, je t'ai laissé compléter des questions dont je vais donner ici la réponse :

(avec les réponses)

Il y a trois manières de découper un polygone


En joignant deux de ses sommets.

Bien évidemment, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable. Le nombre de ses côtés doit être pair,
puisqu'il doit y en avoir autant des deux côtés du pli.


On fait alors "apparaître" un segment supplémentaire (le pli, axe de symétrie)
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura    (n+1)/2  côtés



On peut aussi joindre un des sommets au milieu (pour que les deux parties soient superposables) d'un des côtés (en fait, il faut que ce soit le côté opposé)



Ici aussi, il y a une condition pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable.
Le nombre de ses côtés doit être impair
puisque
l'un des côté étant coupé en deux parties égales, cela signifie que le nombre de côté plus un est pair.


Dans ce cas
on fait "apparaître"  2   segments supplémentaires, le pli, et un segment qui naît du partage d'un des côtés.
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  (n+2)/2  côtés



Dernière possibilité
On peut aussi joindre un des milieux d'un côté au milieu du côté opposé.


ici, pour que la figure, ainsi "pliée", soit superposable, le nombre de ses côtés doit être pair (explication : voir réponses précédentes)

Dans ce cas on fait "apparaître"
4   segments supplémentaires, le pli, et deux segments qui naîssent du partage de deux côtés du polygone.
et, si le polygone posséde n côtés
alors la figure pliée aura  (n+3)/2 côtés


Mais alors, pour que la figure de départ "ressemble" à la figure d'arrivée (pliée) il faut déjà qu'elles aient toutes les deux le même nombre de côté !

D'où les trois possibilités qui découlent des trois cas donnés précédemment

1)




n pair et  (
la somme des côtés des deux figures superposée est (n+1)+1)
(n+2)/2 = n
d'ou
n+2 = 2n
n = 2


2)




n impair et  (la somme des côtés des deux figures superposée est (n+2)+1)
(n+3)/2 = n
d'ou
n+3 = 2n
n = 3


3)




n pair et  (la somme des côtés des deux figures superposée est (n+3)+1)
(n+4)/2 = n
d'ou
n+4 = 2n
n = 4

La première solution ne correspond pas à un polygone
(il n'existe pas de polygone à deux côtés)

La seconde donne un triangle

La troisième donne un quadrilataire


Il n'y a pas d'autre figure plane qui satisfasse la condition
"forme identique par pliage sur elle même"

Il reste maintenant à voir si un triangle convient effectivement
ainsi qu'un quadrilatère

(on sait que pour que la condition soit vérifiée,
l'existence d'un axe de symétrie est nécessaire
)

...
(à suivre)





Merci à AxS/Natsume pour avoir signalé une erreur d'étourderie  (il y en a certainement d'autres)

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