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1 octobre 2008 3 01 /10 /octobre /2008 06:52
Aujourd'hui nous allons poursuivre la découverte de l'univers mathématiques des probabilité.

Je te propose de commencer cette séance par une activité du (de ton) manuel 
Sésam Math

Si tu as déjà vu les tirages simples (Lancé d'un dé, d'une pièce, tirage d'une carte, d'un numéro de loterie) cette activité te propose de voir et d'étudier le cas d'un tirage double.

clique (clic droit et "nouvel onglet") sur le texte pour accéder à l'exercice complet.

(si le chargement est trop long dépanage) , si alors l'image n'occupe pas tout l'écran "clique droit" et "afficher l'image")


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27 septembre 2008 6 27 /09 /septembre /2008 10:13

De même que l'on connaît différentes preuves pour des opérations ou des propriétés
(preuve par neuf*, égalité des produits en croix)
il existe des preuves en rapport avec le domaine de la géométrie.

Preuve que deux figures ont bien la même forme (approximativement, ou exactement)
par exemple (en vérifiant la proportionnalité des distances entre des points correspondant)

Il existe ainsi une preuve permettant d'établir qu'un triangle de mesures données
possède un angle obtus ou non, ou même un angle droit.

Je donne ici une liste de mesures pour lesquelles le triangle associé est droit.


Sur chaque ligne, la valeur de la seconde colonne est obtenue en multipliant la valeur de la première colonne par le numéro de la ligne et en ajoutant 1 au résultat.

Quant au nombres de la première colonne
...
voilà une question pour Kevin (sourire)²

Car il se trouve que cette suite de nombre, pourtant tout à fait remarquables, n'est pas encore inscrite** dans le bréviaire des suites qu'est 
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 

Deux détails remarquables :

- la définition de la suite se réduit à une expression assez simple
- Il y a une bonne densité de nombres premiers dans les nombres  de la troisième colonne (mais 4 sur 10 sont des multiples de 5)
Nombres dont la valeur est, N étant le nombre situé dans la première colonne et n le numéro de ligne,
(N² + (nN+1)²) ^0.5

La définition de la suite qui donne le nombre en colonne 1
et du nombre qui se trouve en colonne 2
permettent de prouver que la somme des carrés de ces nombres
est bien elle même un carré parfait.

Cette suite génère donc une série particulière de "nombres de Pythagore"




Voir pour la génération des nombres de Pythagore l'excellent article du
coin des amatheurs
 
Ainsi que l'article  (site de Xavier Hubaut, professeur émérite - Université Libre de Bruxelles )






*Voir ici


** C'est fait

A144965
a(n)= 4*n*(4*n^2+1).
+10
1

0, 20, 136, 444, 1040, 2020, 3480, 5516, 8224, 11700, 16040, 21340, 27696, 35204, 43960, 54060, 65600, 78676, 93384, 109820, 128080, 148260, 170456, 194764, 221280, 250100, 281320, 315036, 351344, 390340, 432120, 476780, 524416, 575124 (list; graph; listen)

OFFSET

0,2



COMMENT

(a(n))^2 + (n*a(n)+1)^2 is always a perfect square.


LINKS

Luc Comeau-Montasse, Des mesures entieres pour des triangles rectangles


EXAMPLE

Example : n = 181 , a(n) = 94876580 (94876580^2 + (94876580*181 + 1)^2) = 17172923069.


KEYWORD

easy,nonn,new


AUTHOR

Luc Comeau-Montasse (lebateleur2(AT)gmail.com), Sep 27 2008


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25 septembre 2008 4 25 /09 /septembre /2008 13:26
Pour ce travail tu auras besoin de la liste des carrés des 150 premiers nombres entiers

Tu peux utiliser ce tableau pour les calculer :

(clique sur l'image)

Je te propose, lorsque tu auras compété ce tableau, de rechercher
s'il existe des nombres entiers
dont la somme des carrés donne le carré d'un autre nombre entier.

Ce qui peut se traduire géométriquement par
existe-t-il des mesures entières pour les côtés de deux carrés
telles que
la somme de leur aire
est exactement l'aire d'un autre carré
dont le côté est également une mesure entière (dans la même unité)


Pour cela tu peux utiliser ce second tableau

(à toi d'en définir le mode d'emploi*)

Note précieusement les nombres pour lesquels cette relation remarquable est vérifiée.


Puis construis les figures correspondantes
(réduite proportionnellement, si tu ne peux faire la figure en grandeur réelle)



* Il y a quelques corrections à faire ( le but étant que tu t'appropries le tableau)

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24 septembre 2008 3 24 /09 /septembre /2008 09:19
Nous avons déjà évoqué et même utilisé ces nombres que tu connais déjà depuis longtemps.


 
Pour commencer,  le Matou Mateux
te propose de revoir des situations de la vie courante où nous utilisons ce type de nombres.

Tu peux maintenant voir la présentation que te propose Maths En Poche



Nombres relatifs  :

1. Ascenseur (lecture)
2. Thermomètre (lecture)
3. Ascenseur (placement)
4. Thermomètre (placement)
5. Vocabulaire
6. Positifs ou négatifs
7. Opposé d’un nombre



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24 septembre 2008 3 24 /09 /septembre /2008 08:54
Je te propose sur Maths En Poche  de revoir ce que nous savons de la multiplication des nombres relatifs.

Mais avant un petit retour sur l'addition et la soustration.

Addition et soustration de relatifs :

1. Somme (assistée)
2. Additions et soustractions
3. Calculs à trous
4. Calculs à trous (bis)
5. Successions d'additions et de soustractions
6. Calculs (synthèse)



Maintenant que tu es prêt, commençons


Produit de nombres relatifs :

1. Découverte
2. Produits et nombres négatifs
3. Multiplications (assistées)
4. Multiplications
5. Multiplications (bis)
6. Signe d'un produit de plusieurs facteurs
7. Produit de plusieurs facteurs
8. Multiplications à trous



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24 septembre 2008 3 24 /09 /septembre /2008 07:25
Le premier devoir hors la classe des troisièmes est l'occasion de mesurer l'importance et les limites de cet indicateur largement utilisé (notamment par les parents) : LA MOYENNE des notes.


Travail sur des notes qui donnent des moyennes identiques mais qui sont très différentes.

Début du devoir :




M.... a proposé .




Vérifie avec le tableur les moyennes que M..... a calculées

Puis fais la même chose avec tes valeurs.
(Sur le tableur la formule pour le calcul de la moyenne est
 = Moyenne (D1:D10)  si les notes sont dans les cellules D1 à D10)

Pour cela, clique ici

Ensuite, tu te serviras du même tableau pour vérifier les autres questions du problème.

...

Le devoir de M... complêt :




















Un travail en classe dans le prolongement de ce devoir a montré qu'une moyenne pondérée par le numéro d'ordre du devoir, rend beaucoup mieux compte de la valeur d'un élève en fin de parcours,

Je te propose de le constater pour tes valeurs en modifiant l'exemple ci-dessous.

On y voit qu'un élève dont la moyenne est 9.5 a une moyenne pondérée de 11,11
Cette note montre mieux son évolution positive dans le temps.



clique sur l'image pour charger le tableau
(tu dois avoir open office calc)


Le Travail de deux élèves de troisième Descartes :

On peut y lire les moyennes "historiquement pondérées"
ainsi que l'écart entre cette moyenne et "la moyenne simple"
(qui est LA moyenne pour les bulletins, les conseils de classe et les parents
)

Cet écart donne une bonne idée de l'évolution des notes de l'élèves au cours du trimestre (ou de l'année)
Mais bien sur, comme pour la bourse
il ne s'agit là que d'une tendance
aucun jugement définitif ne peut s'appuyer sur cet indicateur
(moins encore biensur, sur l'unique MOYENNE)

D'où l'intérêt de l'appréciation des différents profs pour moduler l'arithmétique où d'importants reliefs disparaissent.

Il est dommage que, dans une procédure d'affectation aussi importante que celle qui oriente les élèves vers la voie professionnelle en fin de troisième,
seule la MOYENNE (simple) compte.







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19 septembre 2008 5 19 /09 /septembre /2008 17:14
Image:TerreOrbiteLune.png


Une  Lune tourne autour de la planète T sur une orbite que l'on considera comme circulaire.

On nomme L sa position (celle de son centre).

On nomme N le point de l'orbite pour lequel il y a éclipse de cette Lune
On nomme N' le point de l'orbite pour lequel il y a éclipse de Soleil (S)

1) Donner un exemple de position des différents points

2) Tracer le triangle LL'N.

3)
a) Calculer l'aire  A1 (au mm² près) d'un carré qui aurait pour côté LL'
b) Calculer l'aire  A2 (au mm² près) d'un carré qui aurait pour côté NL'
c) Calculer l'aire  A3 (au mm² près) d'un carré qui aurait pour côté NL

On tracera séparément les carrés correspondants.

d) Calculer la somme A2 + A3

e) Refaire ces calculs pour trois nouvelles figures (nouvelles positions de L)

f) Que constate-t-on ?
(pas de démonstration demandée, tout juste une piste de conjecture)


Bien sur, dans le cas d'un tel exercice
un détour par
Trace en poche
s'impose.


Script de la figure en animation :

@options;

@figure;
  T = point( -1.9 , 0.23 );
  cerayT4 = cerclerayon( T , 4 );
  L = pointsur( cerayT4 , 10.9 );
  L' = symetrique( L , T );
  S = point( 8.47 , 0.23 );
  dTS = droite( T , S );
  N' = intersection( dTS , cerayT4 , 1 );
  N = intersection( dTS , cerayT4 , 2 );
  polyNLN' = polygone( N , L , N'  )  { vert , 3 };




(On suppose que l'axe (TS) est dans le plan de l'orbite Lunaire)



Thème connexe :  sur Sesamaths 4ème : la relation qui existe entre un point du cercle n'importe le quel de ses  diamètre



un clic pour accéder à cette page du manuel

Aide à la démonstration de la propriété donnée ici

cliquer sur l'image pour y accéder



démonstration ici : http://manuel.sesamath.net/index.php?page=diapo&niveau=4e&atome=1003&ordre=1

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18 septembre 2008 4 18 /09 /septembre /2008 10:45
A ce jour encore, la suite
142 ; 389 ; 514 ; 631 ; 785 ; 172 ; 651 ; 165 ; 596 ; 479  ...
n'a pas été élucidée.

Pourtant son mode de construction est assez simple.

Dans les chemins raisonnables (et les calculs n'empruntent que ceux là) il y a
les autoroutes et les chemins de terre
les seconds ne sont pas nécessairement moins praticables
mais
c'est le cas de cette suite
ils sont parfois simplement moins fréquentés.

Et comme l'exode rural pousse tout le monde vers les villes et leurs périphériques
certains lieux de pensée se retrouvent déserts.

C'est ainsi que des artistes peuvent s'emparer de pans entier des mathématiques
que ses habitants naturels ont désertés.

Bien sur, le vocabulaire change, et on y parle plus volontier de magie et de mystères
(voir la construction de Da Vinci Code et le mélange rationnel-symbolique-mystère)

C'est dans cette ligne que se trouve un artiste qui expose actuellement une oeuvre jardin, dans laquelle se mèle l'oeuvre de Durer, les carrés magiques et donc les mathématiques à travers des chemins de construction exposés.


(cliquer pour une présentation complête - document source)

Pour un peu, on croirait presque que plus personne ne savait rien de ces constructions que Henri Cornelius Agrippa associait à des Démons et des Planètes.



Voilà qui va relancer le goût des carrières scientifiques
et en particulier l'attrait pour
une certaine forme de mathématiques



(composition faite à partir du "Chevalier et la Mort" et d'un carré "magique" d'ordre 5)

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17 septembre 2008 3 17 /09 /septembre /2008 08:01

Je te propose sur Maths En Poche  de t'exercer à comparer des fractions en utilisant les méthodes que tu connais
...
et peut-être d'autres encore

1. Règles de comparaison
2. Egalité
3. Comparer à l'unité
4. Comparer (même dénominateur ou numérateur)
5. Comparer (dénominateurs multiples)
6. Ranger dans l'ordre


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17 septembre 2008 3 17 /09 /septembre /2008 06:36
Pour un détour par trace en poche afin de revoir la figure et les rapports
avant d'entamer cette séquence




La démonstration du théorème que nous attribuons à Thalès (mais qui était connu bien avant lui) a été faite par Euclide (celui dont on apprend l'algorithme qui permet le calcul rapide du PGCD de deux nombres)

On la trouve dans ses "Eléments"
énoncé
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/le-theoreme-de-thales---dans-les-elements-d--euclides--.jpg
Il est à remarquer que cet énoncé est particulièrement simple


Démonstration
http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/le-theoreme-de-thales---dans-les-elements-d--euclides--.jpgPour bien comprendre cette démonstation, voir plus bas ...

Pour ceux qui veulent cette démonstration du théorème de Thalès
telle qu'elle figure dans cet ouvrage d'Euclides"
(sur le site du concours Kangourou)

http://idata.over-blog.com/0/04/35/24/thal-s/mathskangourou---demonstration.jpgcliquer sur l'image




Une version similaire ici




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