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19 octobre 2008 7 19 /10 /octobre /2008 23:00
Travail au centre de ressources


Aujourd'hui encore, je te propose d'utiliser Maths En Poche
pour une courte séance sur la lecture et la rédaction de tableaux à double entrée


1. Tableau (lire)
2. Tableau (compléter)
3. Tableaux





Note tes résultats (notes aux exercices) sur ta feuille
ainsi que les questions qui t'auraient causé des difficultés.

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19 octobre 2008 7 19 /10 /octobre /2008 13:20
Cette question paraît relativement simple, surtout dans un monde habitué aux réponses uniques.

Et pourtant !

C'est pourquoi je propose tout d'abord un petit détour.

                N est un nombre dont la distance à zéro est 12,5.    
  Que peut valoir N ?    

Depuis que l'on connait les nombres relatifs, la réponse à cette question a changé.

On sait en effet que +12,5 et -12,5 sont tous deux à la distance 12,5 de zéro.

Il y a donc des questions concernant des nombres dont la solution n'est pas unique.

Nous en connaissions d'autres, mais elles concernaient davantage l'inégalité que l'égalité.
 Comme par exemple :

                N est un nombre entier entre 7,4 et 9,2
(qui s'écrit aussi  7,4 < N < 9,2).
   
  Que peut valoir N ?    


(Je te propose de donner la réponse en commentaire)


La question du titre est également une question complexe dont la réponse n'est pas nécessairement une valeur .

En effet, la règle des signes concernant la multiplication nous a appris que


cliquer sur la méthode pour avoir la méthode complète du manuel Sesamath

Un petit exercice va nous permettre d'illustrer cela :

.



(Ici aussi, je te propose de donner la réponse en commentaire)


Une petite aide ici




Un autre exercice de ce type

 

Monsieur Colas est banquier, il est en train de consulter ses comptes et pratique son divertissement favori : jouer avec les nombres qui correspondent aux dépots de ses clients.

Il s'amuse à multiplier ces valeurs par 10, puis multiplie le résultat par lui-même, et enfin il retranche au résultat la valeur un million de million (1 billion)

Tout à coup ... il s'aperçoit qu'il obtient le même résultat nul pour son meilleur client ainsi que pour son plus mauvais client.

 
     
  Comment est-ce possible ?  

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/European_Central_Bank_041107.jpg





 



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18 octobre 2008 6 18 /10 /octobre /2008 12:20
En mathématiques contrairement à de nombreuses autres matières, il est souvent possible, à partir de quelques connaissances de base, de vérifier la justesse d'un travail, construction, calcul.

Ainsi, pour quelqu'un qui connait son cours
et en particulier les propriétés du symétrique d'un point (par une symétrie centrale)
cliquer sur la méthode pour avoir la méthode complète du manuel Sesamath

il est facile de vérifier si la figure de Paul est juste. 


http://accel12.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/symetrie/verifier-la-symetrie-centrale.jpg

 Pour que, comme le demande l'énoncé A soit le symétrique de C par rapport à B
il faut que
B soit le milieu du segment [AC]

Ce qui suppose donc deux choses
que A,B et C soient alignés
donc
A,B et C sont sur une même droite
et
que AB = BC
donc
A et C sont sur le même cercle de centre B


De la même manière, on se demande lequel des quatre points est le symétrique de A par rapport à O (M,N,P ou R ?)


Pour y répondre, tu peux utiliser deux indices

                                                    Indice N° 1 Indice N° 2                                             
       

Tu peux aussi cliquer sur l'image pour obtenir une animation intégrant ces indices.

Donne ta réponse en commentaire ...





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18 octobre 2008 6 18 /10 /octobre /2008 09:27

Un des supports naturel des fractions correspond au domaine où chacun de nous est un expert à condition de n'être pas passé à côté d'une analogie importante : celle du cercle et du temps cyclique.

Il s'agit de l'heure, lorsqu'elle est indiquée par un cadran, et non par des chiffres dans lesquels la continuité disparait pour faire place au code*
Image:Wall clock.png
Cette feuille propose de faire le rapprochement entre la fraction d'heure et sa dénomination courante ... ou moins courante.

La première ligne est un exemple.

On y voit l'équivalence du quart d'heure, de la fraction quinze soixantièmes
(un quart d'heure c'est quinze minute, une heure c'est soixante minutes ... la conversion donne l'égalité )









* A quoi voit-on que  19h59 est proche de 20h ? (tous les chiffres ont changé, où est la continuité ?

Alors que cette information est clairement perceptible sur le cadran de l'horloge.

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17 octobre 2008 5 17 /10 /octobre /2008 17:57
Pour exercer l'oeil à reconnaître les défauts dans la symétrie de deux figures,
je te propose ici quelques dessins façon Vasarely
dans lesquelles les figures sont symétriques ... à quelque chose près


Dans cette première série il s'agit d'une symétrie centrale (par rapport au point central de chaque "peinture")

Pour chaque image, le nombre de paires de cases non symétriques est indiqué
(si une case n'est pas symétrique d'une autre ... cela fait deux bien sur, mais on ne les compte qu'une fois)
Il faut donc retrouver l'endroit où se trouvent ces cases
(Une seule sur la première figure)

Tu peux te servir des coordonnées (lettre et chiffre) des cases pour noter tes réponses.

   
     
   
     
        
     
   
     
   
     






Pour une correction
cliquer
ici


Pour ceux qui souhaiteraient une copie du fichier (tableur) permettant de générer ce type de figures
il suffit de me faire la demande en commentaire.

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16 octobre 2008 4 16 /10 /octobre /2008 17:29
Pour illustrer la notion de développement, je propose un petit détour par les conversions d'unité.

La figure ci-dessous donne ce que vaut une unité dans une autre.
(On voit qu'il ne s'agit pas de système décimal dans lequel une unité vaut 10 fois une autre ... ou un multiple de 10)




D'après ces renseignements, il devient possible d'exprimer toutes les unités (Carré , Disque, Triangle et Pentagone dans l'unité au Petit Motif Gris

Ainsi, si l'on utilise des abréviations pour simplifier l'écriture  on peut déduire de

D = 5 C   et  C = 4 PMG

que

D = 5 x 4 PMG

et de même , on peut déduire de

T = 3 P   et  P = 7 PMG

que

T = 3 x 7 PMG


D'où la valeur de toutes les unités en  PMG 

C = 4 PMG ;   P = 7 PMG  ; D = 20 PMG   ;  T = 21 PMG

On voit ici (ce qui n'était guère visible au départ)
que les unités
D et T sont assez voisines


A] Je te propose, si d'appliquer cette méthode et ces notations
aux correspondances données ci-dessous.




1) Pour convertir toutes ces unités en PMG

2) Pour convertir ensuite toutes ces unités successivement en 
C ;   P  ; D et T
*
(Donne ta réponse en commentaire, je la corrigerai)


B]  Pour terminer je te propose le même travail
avec les nouvelles valeurs suivantes :






1) Convertir toutes ces unités en PMG

2) Convertir ensuite toutes ces unités en 
C ;   P  ; D et T



 * N'oublie pas que tu sais donner le résultat d'une division (son quotient) dont le résultat n'a pas une écriture décimale exacte  (sous la forme d'une fraction)

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15 octobre 2008 3 15 /10 /octobre /2008 21:38
Dans le prolongement de la séance du Mercredi 15 Octobre nous allons formaliser la démonstration de cette conclusion à laquelle nous sommes parvenue
à savoir que :

Si on construit trois carrés sur les trois côtés d'un triangle rectangle
l'aire du plus grand est égale à la somme des aires des deux autres.

Mais avant, une petite animation qui remet en mémoire les deux figures sur lesquelles nous avons travaillé.

(cliquer sur la figure pour une animation plus lente)

Nous avons par manipulation, montré que les aires en rouge foncé, avant et après transformation, sont égales.

Il reste à prouver que les deux premières figures rouges foncées sont des carrés
de même que la dernière figure rouge obtenue à la fin.

Précisons l'hypothèse : les figures rose clair du début (et de la fin) sont des triangles rectangles égaux.

On en déduit qu'assemblées, elles constituent deux rectangles.
Lorsqu'on dispose ces deux rectangles de manière à ce qu'ils se touche en un point en y formant un angle droit,
Alors, les figures définies par les intersections des prolongements des côtés de ces rectangles ont donc des angles droits et des côtés tous égaux.

Ces figures, AEIH et IFCG sur le dessin, sont donc bien des rectangles.


Démontrons maintenant que la figure qui se trouve, après transformation, définie par les hypoténuses des quatre triangles, est bien un carré.



Dans un triangle, la sommes des angles vaut un angle plat.

Dans un triangle rectangle, l'un des angles étant droit, la somme des deux autres vaut également un droit (ils sont complémentaires).

On en déduit qu'en E (par exemple)
l'angle de côtés
[EA) et [EH')  et l'angle de côtés [EB) et [EF) sont complémentaires
l'angle de côtés [EA) et [EB) étant  plat
l'angle de côtés
[EH') et [EF) est donc droit.

Il en est de même pour les autres angles de la figure EFG'H'
figure dont tous les côtés sont égaux à
hypoténuses du triangle rectangle.

Cette figure qui a quatre côtés égaux et quatre angles droits est bien un carré

On en déduit que pour un triangle rectangle dont les petits côtés ont les longueurs a et b et le grand la longueur c
a² + b² (somme des aires des carrés construits sur les deux petits côtés)
égale
c² (aire du carré construit sur le grand côté du triangle rectangle)

Cette relation qui caractérise le triangle rectangle (à démontrer) s'écrit

                a² + b²  = c²  
     



 


Autres démonstrations du théorème :

Chez Thérèse Eveilleau une animation similaire :
http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/pythagor/textes/pytha2.html

Qui utilise les triangles semblables (proportionnels)
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore6.swf

Par transformation des deux carrés à (aire constante)
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore1.swf

Par découpage
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore5.swf
(qui reste à démontrer par la suite)

Autre découpage
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore4.swf

Utilisant la translation
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore3.swf

Où l'on retrouve celle qui a été utilisée ici
http://mathsp.tuxfamily.org/IMG/swf/pythagore2.swf
 




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15 octobre 2008 3 15 /10 /octobre /2008 06:10

Je te propose de tracer deux figures qui vont nous servir pour des comparaisons d'aires

Pour cela, commence par ouvrir 
Trace en Poche  dans un nouvel onglet.

1) La figure ABCD est un carré.
    On connait les coordonnées de deux de ses points
A(-4;4)  et B(4;4)

    Place les autres points pour obtenir la figure 1
    et donne sur ta feuille leurs coordonnées

figure 1




2) A partir de la même figure ABCD
   
    Place les autres points de cette figure 2)
        et donne sur ta feuille leurs coordonnées

figure 2

Voir * pour une aide à la construction des figures

3) Sur la
figure 1 il y a deux carrés,
         calcule leur aire pour AB = 8cm et AE = 2cm
         
         Calcule la somme de ces aires.
   
4) Sur la figure 2 il y a un carré,
         calcule son aire pour AB = 8cm et AE = 2cm
(ici tu ne pourras pas faire le calcul direct, parce que tu ne connais pas la mesure du côté de ce carré. une petite astuce est indispensable)

5) Que remarques-tu ?
    Pouvait-on prévoir ce résultat ?
    Est-il vrai quelles que soient les mesures de AB et AE


* Aide :
les scripts des deux figures sont ici



   Pour voir une démonstration animée de cette propriété, des carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle, clique sur cette figure.

(attention le chargement est assez long)


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15 octobre 2008 3 15 /10 /octobre /2008 06:00
Dans cette séance, je te propose une activité qui part d'un carré et se propose de comparer les mesures de deux carrés, l'un étant déduit de la construction de l'autre.

A1A2A3A4 est un carré

Ecris tes réponses sur ta feuille en notant simplement le numéro de la question.
(Mais en faisant une phrase pour que l'on comprenne bien cette réponse)

Pour obtenir la figure, utilise 
Trace en Poche    (à ouvrir dans un autre onglet)
puis recopie le script suivant (au bon endroit)


@figure;
  A1 = point( -4 , 4 )  { fixe };
  A2 = point( 4 , 4 )  { fixe };
  A4 = point( -4 , -4 )  { fixe };
  A3 = point( 4 , -4 )  { fixe };
  sA1A2 = segment( A1 , A2 );
  sA2A3 = segment( A2 , A3 );
  sA3A4 = segment( A4 , A3 );
  sA1A4 = segment( A1 , A4 );
  A11 = milieu( sA1A2 );
  A12 = milieu( sA2A3 );
  A13 = milieu( sA3A4 );
  A14 = milieu( sA1A4 );
  sA14A11 = segment( A14 , A11 );
  sA11A12 = segment( A11 , A12 );
  sA12A13 = segment( A12 , A13 );
  sA14A13 = segment( A14 , A13 );


(on valide le script en cliquant sur le petit triangle sous le cadre du script)

1) D'après le script de la figure, que peut on dire des figures
A11A2A12 A12A3A13 A13A4A14 et A14A1A11    ?

2) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère A11A12A13A14 ?

Un carré peut être regardé comme un losange.
(Il a en effet 4 côtés égaux)
Image:Rhombus.svg

3) Tu peux donc calculer l'aire du quadrilatère A11A12A13A14 en utilisant la formule utilisée pour l'aire d'un losange.

(il y a un lexique en haut à droite de ce blog où tu trouveras la formule utile.)


D'après les dimensions de la figure, (regarde les coordonnées des points on suppose les mesures en cm) quelle valeur obtiens-tu  ?

4) Si c est la mesure en cm de la longueur du côté du carré A11A12A13A14 ,
que peut on en déduire pour ?

5)Si l'existe un nombre décimal dont la valeur est égale à c,  son chiffre le plus à droite peut-il être
un 1 ?
(pense à poser l'opération qui doit donner le résultat de )
un 2 ?
un 3 ?
un 4 ?
un 5 ?
un 6 ?
un 7 ?
un 8 ?
un 9 ?
6) Que peux-tu en déduire à propos de l'existence d'un nombre décimal tel que son carré serait égal à   ?



*



Il n'y a pas effectivement pas de notation décimale pour le nombre
c  ton manuel te donnera celle que l'on utilisera et qui permet de faire des calculs avec des nombres que l'on ne sait pas écrire de façon décimale.
(Notation qui s'ajoute à la notation fractionnaire et qui a ses règles de calcul particulières)


 

Tu es prêt à présent à faire quelques exercices de  Maths En Poche
concernant les racines carrées.

Première série :  Définitions Propriétés

                    1. Découverte, définition, notation
  2. Carré d'un radical
  3. Radical d'un carré
  4. Radicaux et additions ou soustractions (conjectures)
  5. Radicaux et multiplications ou divisions (conjectures)
  6. Radical et produit
  7. Radical et quotient



Seconde série : Calculs


                    1. Calcul mental
  2. Calculs liés à la définition
  3. Carrés de produits
  4. Carrés de quotients
  5. Radicaux complexes
  6. Radicaux et produits
  7. Radicaux et quotients
  8. Synthèse (produits et quotients)



*


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13 octobre 2008 1 13 /10 /octobre /2008 18:39
Pour exercer l'oeil à reconnaître les défauts dans la symétrie de deux figures,
je te propose ici quelques dessins façon Vasarely
dans lesquelles les figures sont symétriques ... à quelque chose près.

Dans cette première série il s'agit d'une symétrie axiale (toujours la même)
(Il y a donc un axe de symétrie à trouver à chaque dessin.)

Pour chaque image, le nombre de paires de cases non symétriques est indiqué
(si une case n'est pas symétrique d'une autre ... cela fait deux bien sur, mais on ne les compte qu'une fois)
Il faut donc retrouver l'endroit où se trouvent ces cases
(Une seule sur la première figure)

Tu peux te servir des coordonnées (lettre et chiffre) des cases pour noter tes réponses.

   
     
   
     
        
     
   
     
   
     






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Pour ceux qui souhaiteraient une copie du fichier (tableur) permettant de générer ce type de figures
il suffit de me faire la demande en commentaire.

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