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Philippe Mercier

 

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21 décembre 2008 7 21 /12 /décembre /2008 18:40
Le rectangle est une figure géométrique à quatre côté (quadrilatère ou tétragone) l'espace intérieur est sa surface, dont la mesure est l'aire
la ligne qui la délimite est son contour, dont la mesure est le périmètre.

L'un est donc un multiple d'une unité de longueur (le mètre, ses multiples et sous-multiples)
L'autre est un multiple d'une unité d'aire (mesure de la surface, le mètre carré, ses multiples et sous-multiples).

on peut visualiser ces unités,
la première étant relative à un segment



La seconde à une surface.



clique sur la figure pour voir apparaître les deux mesures relatives au carré unité tracé ici
à savoir
la longueur de son côté
et
 son aire



Je te propose ici de mesurer le périmètre et l'aire de quelques rectangles
en comptant à l'oeil
ou,
à partir des mesures de ces figures
par un calcul (formules que tu connais peut-être)




Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.





Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.






Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.




Pour t'entrainer un peu avec Mathenpoche sur ce thème

Périmètre


1. Unités de longueurs
2. Compter les unités de longueurs
3. Compter les unités de longueur (bis)
4. Reconnaître les figures de même périmètre

Aire

1. Unités d'aire (1)
2. Unités d'aire (2)
3. Unités d'aire (3)
4. Compter les unités d'aire
5. Reconnaître les figures de même aire


Pour utiliser le programme qui m'a permis de générer les différents rectangles
(rappel : le carré est un rectangle particulier)
clique ici

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20 décembre 2008 6 20 /12 /décembre /2008 16:17
Ci-dessous la famille des nombres DN dont l'écriture décimale est limitée, mais dont personnellement je ne sais pas pronostiquer le nombre des décimales de ces membres.  






Plus le calcul de ces décimales fait apparaître autre chose que la série de zéros nécessaire pour clore l'écriture de DN et plus la probabilité pour que le prochain chiffre soit le dernier diminue.

Alors, que conjecturer à propos du nombre de décimales de cette famille de nombres.
Ou même concernant deux nombres
DN générés par des entiers différents consécutifs ou non ?


La calculatrice de Wim's est tout indiquée pour étudier ces nombres
elle permet en effet des écritures jusqu'à 1000 décimales.

Ce qui autorise le calcul des 10 premières décimales



Remarque :
1)  Il n'y a que 10 débuts différents puisque le nombre N générant le chiffre des unités détermine la suite et qu'il n'y en a que 10 possibles. Mais ce n'est pas pour autant que les nombres générés correspondants sont les mêmes puisque le nombre N détermine la condition pour la dernière décimale.
2) Soit un nombre DN si N est pair alors si les premières décimales de cos(N) et de cos(N+1) sont égales alors  DN = DN+1
pour le reste ...

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17 décembre 2008 3 17 /12 /décembre /2008 22:42


Pour manipuler plusieurs cubes, les assembler et composer des ensembles plus ou moins compliqués
mais aussi pour comparer le volume d'un pavé droit à celui d'un cube unité,

clique sur la figure.


Pour faire apparaître un cube supplémentaire tu cliqueras sur le petit cube jaune
Le curseur permet d'agrandir l'ensemble du dessin
En cliquant et maintenant la touche enfoncée puis en bougeant la souris, tu peux faire bouger tout l'ensemble.
Pour assembler un cube il suffit de le présenter devant la face à laquelle il doit se coller, lorsqu'elle est en rouge on l'y applique.

Proposition d'activité :

Faire (assembler) un cube dont l'arête est double du cube unité
 (le volume est donc de .... cubes unité.)
Agrandir ce cube d'un facteur 3
par quel nombre a été multiplié le volume ?


 


  

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16 décembre 2008 2 16 /12 /décembre /2008 20:59


  L'addition de deux quantités ne peut s'effectuer que si celles-ci sont exprimées avec la même unité de mesure.  
     




Si l'on considère les quantité  1cm et 1dm
Celle-ci ne sont pas exprimées dans la même unité

On peut également les écrire un centième de mètre et un dixième de mètre 


D'où :  1cm + 1dm = 1/100 m  + 1/10 m    

or 1/10 = 10/100
d'où
1cm + 1dm = 1/100 m  + 1/10 m 
=
1/100 m  + 10/100 m
= 11/100 m 

Où l'on voit que la règle d'addition des fractions est cohérente avec celle que l'on a donné pour les quantités
la fraction étant un "nombre de" (le numérateur)
si on considère que l'unité est 1/dénominateur



  L'addition de deux fraction ne peut s'effectuer que si celles-ci sont exprimées avec le même dénominateur.  
     




Bien sur, pour la multiplication
il en va tout autrement
Pour les quantités en général
comme pour les fractions.

puisque
1dm (la largeur d'un carré moyen) x 1cm (largeur d'un petit carré )
correspond à une surface que l'on peut nommer le
centimètre (multiplié par) décimètre
et qui est (comme on le voit sur la figure) un rectangle de 1cm sur 1dm

Unité que l'on peut convertir en centimètre
(multiplié par) centimètre
c'est à dire cm²
puisque
1dm
x 1cm = 10 cm x 1 cm
= 10 cm²

On vérifiera
qu'il y a effectivement 10
petits carrés (cm²)  dans un rectangle de 1cm sur 1dm

ou en
(largeur du grand carré )
= 10
x 1/100 m x 1/100 m
= 10
x 1 /10 000 m
= 1/1000m

On vérifiera
qu'il y a effectivement 1000 rectangles de 1cm sur 1dm dans le grand carré

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15 décembre 2008 1 15 /12 /décembre /2008 17:59
Le mathématicien averti manque parfois d'étonnement
c'est à dire de recul sur sa propre matière.

C'est une bonne chose parce que c'est grâce à cela qu'il a un peu d'assurance face à ses élèves.

Le revers est que parfois, l'origine de ce qui est difficulté pour l'élève lui est totalement étranger.

Stella Baruk n'a eu de cesse de montrer que les mots que nous utilisons sont parfois, en eux-même, cause de confusion chez l'élève.
C'est le cas assurément du mélange des mots construits à partir du latin ou du grec, comme le sont par exemple
les quadrilatères (figures fermées ayant quatre côtés) dont les composés (quadri et latère) viennent du latin
et pentagone (figures fermées ayant cinq côtés) dont les composés (penta et gones) viennent eux du grec, le premier terme évoquant dailleurs les côtés (latère) et le second les angles (gones)

C'est aussi le cas dans la famille des triangles où l'adjectif qui qualifie les triangles qui ont deux côtés égaux est isocèle ("deux jambes égales") alors que son "homoglote" désignant le triangle dont les trois côtés sont égaux est équilatéral ("côtés égaux") qui a détrôné on ne sais pourquoi (merci si quelqu'un connait l'origine de cette prise de pouvoir) le terme en provenance du grec isopleure
Totalement oublié à ce jour, mais qu'on retrouve ici ou là



(construction du triangle isopleure (équilatéral) au compas)
pour l'article de vikidia, cliquer sur l'image

Donc, un peu d'indulgence si l'élève a du mal ... à passer sans cesse du latin au grec
et par exemple ne connait pas le sens du mot
diorthotétragone*.



*
Pour construire un diorthotétragone

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14 décembre 2008 7 14 /12 /décembre /2008 15:36
En provenance des écrits de Charles de Bouelles,
 nourri au berceau des éléments d'Euclides,
ce petit morceau de poème qui évoque les arts utiles
en rapport avec la raison raisonnante
que sont l'arithmétique et la géométrie.


(illustration extraîte de l'ouvrage)

Sur tous les arts qui sont dicts libéraux
Servans à tous tant doctes que ruraux
Le principal, après l'arithmétique,
est le Sçavoir appellé géométrique.
Tous artisans et gens mercuriaux
Qui ont désir trouver secrets nouveaux
De mesurer faut qu'ayent la pratique
Sur tous les arts.



Du même auteur, une liste du vocabulaire de la géométrie







Au passage, une petite définition du point qui montre qu'au temps de l'auteur
1 n'était pas considéré comme un nombre.

Ici Charles de Bouelles établit un parallèle souvent utilisé
entre les êtres élémentaires de l'arithmétique et ceux de la géométrie
(Mais ce n'est pas celui auquel nous sommes habitués, puisqu'il considère en particulier que la droite est à associer au nombre 2 deux, le plan au nombre 3 et l'espace au nombre 4.)





(ce qui règle d'une certaine manière la question de savoir s'il est premier ou non
mais est cause de soucis supplémentaires)


Pour terminer, une situation où l'on applique le théorème de Thalès.




Si l'on connait la profondeur du puits, sans corde pour mesurer, il est possible de savoir quelle hauteur d'eau il contient.

(Introduction possible au Cosinus d'un angle ? ...)
.


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13 décembre 2008 6 13 /12 /décembre /2008 23:05



Un très beau travail de Jean Delerue

qui propose d'étudier la somme des points obtenus lorsqu'on lance


... ses* deux dés.








Fichier:Craps.jpg




Cliquer sur l'image que j'ai emprunté à son travail, pour y accéder





* C'est à dire les deux dés qui correspondent à son programme.

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11 décembre 2008 4 11 /12 /décembre /2008 12:07
Une conséquence du théorème de Thalès, ce procédé pour équi-partitionner un segment.

Si une famille de droites sont parallèles et rejoignent une droite qu'elles coupent en segment égaux, alors toute autre droite qu'elles couperont sera également divisée en segments égaux.

   
   


La variante dans cette présentation, avec le procédé généralement donné* ,qui suppose la construction des parallèles, utilise la propriété caractéristique du parallélogramme à savoir que s'il y a équipartition de [AC] et de [BD] alors les droites sont parallèles.

Attention : contrairement à l'autre méthode, il faut un segment de moins (en B et A) que de parties que l'on souhaite définir sur le segment [AB].




Voir la solution habituelle
ici sur l'île des maths  http://www.ilemaths.net/forum-sujet-56534.html

Ou sur le site de Dominique Pernoux qui fourmille de ressources (une animation qui donne la construction pas à pas) ici http://dpernoux.free.fr/Essai/partage.htm

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10 décembre 2008 3 10 /12 /décembre /2008 18:33
Un livre de 1676 est entièrement par Bernard Frénicle consacré aux triplets de nombres entiers en rapport avec le théorème de Pythagore.



Cet ouvrage étudie les groupes de trois nombres entiers auquels correspond un triangle rectangle et qui satisfont donc à la relation que donne le manuel Sesamath de quatrième sous la forme



Et que présente ainsi le "Manuel élémentaire de géométrie" de Hugo Boss

(Cette démonstration très rapide suppose des connaissances
que l'on ne voit plus au collège, en rapport avec la notion de "projection")



L'auteur commence par y donner la définition de ces triplets auxquels il donne le nom (curieux) de "triangle rectangles en nombres"

 









                                      


La contraposée du théorème de Pythagore a donc un énoncée particulier du point de vue des nombres entiers.
 









                                  
Ce qui peut se traduire  part :
Si la somme des carrés de deux nombres n'est pas un carré, il n'existe pas de triangle rectangle dont deux les deux côtés de l'angle droit auraient pour mesure ces deux nombres
et qui serait associé à un triangle rectangle en nombre.
   


La propriété n'est qu'une conséquence directe de la contraposée (la contraposée générale, c'est à dire celle qui ne concerne pas que les nombres entiers) du théorème de Pythagore.

si AB² + BC² n'est pas un carré (parfait)

Alors il ne peut pas exister de triangle dont le carré l'hypoténuse serait un carré parfait puisque cette valeur d'après Pythagore vaut
AB² + BC².

Dans la suite, l'auteur affirme que si l'on multiplie par un même nombre entier des "triangles rectangles en nombre" les valeurs obtenues ont la même propriété.

Démonstration assez aisée car si

AB, BC et AC sont entiers et que

AB² + BC² = AC²
et que n est un nombre entier, alors

    (nAB)² + (nBC²) = nAB x nAB + nBC x nBC
             = n²AB² + n²BC²
            = n²(AB² + BC²)
= n²AC²
or ce nombre est le carré parfait de nAC

Ce qui n'est qu'une conséquence de la proportionnalité
Puisqu'en multipliant par un même nombre les trois côtés d'un triangle
on obtient un triangle semblable au premier
et donc rectangle si le premier l'était.   



Pour terminer voici quelques définitions de l'auteur parmi lesquelles on trouve l'hypoténuse (défini comme le grand côté) et étrangement l'aire du triangle défini sans explication comme le demi produit des deux côtés de l'angle droit.



 









                                  
   





Roland Dassonval chasseur de triplets de Pythagore (ceux que l'auteur nomme "Triangles rectangles en nombre") nous propose une carte (la chasse est ouverte toute l'année) indiquant les endroits giboyeux.



Clique sur son image pour y accéder

Pour les rechercher à la main : un autre outil de la même production ici   (merci Roland)





(en marge)


La suite A144965   permet de générer des triplets de nombres qui ont cette propriété

Elle est définie par  :
a(n)= 4n(4xn²+1).

Et donne une famille infinie de ces triplets que Frénicle nomme
"triangle rectangle en nombre"

a(n)²(na(n)+1)² et  racine carrée de (a(n)² + (na(n)+1)²)

Si on choisit par exemple

n = 180
On obtient les trois nombres
 9487658017172660980    et  17172923069

Pour lesquels le triangle associé est rectangle
(mais difficile à construire, car presque "plat" )






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2 décembre 2008 2 02 /12 /décembre /2008 20:36






Cliquer sur l'image pour l'agrandir

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