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29 décembre 2008 1 29 /12 /décembre /2008 11:56

            
Rappelons tout de même avant de commencer, que la chasse aux nombres premiers peut-être plus rentable (mais moins nourrisante immédiatement) que la chasse au canard.

En effet, certains sont prêt à payer très cher en échange de très grands nombres premiers. pour leurs utilisations dans le domaine de la
  Cryptographie à clé publique*
 
  Précision pour modérer l'enthousiasme des chasseurs :
En 2008 (découvert en aout), le plus grand nombre premier connu est 243 112 609-1, qui comporte près de 13 000 000 chiffres en écriture décimale.
 






Dans notre traque des nombres premiers, il peut nous venir l'idée d'en fabriquer à partir des opérations simples que nous connaissons.

Par exemple, on peut se demander si en élevant un nombre N au carré, puis en lui soustrayant 1, on ne peut pas obtenir des nombres premiers (mieux qu'en les cherchant au hasard) et, si c'est le cas, quelle densité de nombres premiers on trouve dans ce type de résultat ? (fréquence des nombres premiers comme résultats de ces calculs)

Bien sur, il serait inutile de se lancer dans cette recherche si l'on s'apercevait que TOUS les nombres construits de cette manière sont des résultats de produits.

Ce qui est d'ailleurs le cas des premiers (excepté 2) puisque

Pour N = 1  ;   N² = 1 et donc N² - 1 = 0
qui est multiple de tous les entiers**

Le résultat n'est pas premier



Pour N = 2  ; le résultat est premier, puisque N² = 4 et donc N² - 1 = 3
qui est un nombre premier

Pour N = 3  ;   N² = 9 et donc N² - 1 = 8  qui est multiple de 2 et 4

Pour N = 4  ;   N² = 16 et donc N² - 1 = 15  qui est multiple de 3 et 5

Pour N = 5  ;   N² = 25 et donc N² - 1 = 24  qui est multiple de 4 et 6

Pour N = 6  ;   N² = 36 et donc N² - 1 = 35  qui est multiple de 5 et 7

Pour N = 7  ;   N² = 49 et donc N² - 1 = 48  qui est multiple de 6 et 8

Apparemment notre quête n'est pas très fructueuse
...
Je t'en donne quelques uns et te laisse regarder plus loin si cela s'améliore
...
... à toi de jouer !




Remarque :
En regardant un peu les résultats obtenus, on s'aperçoit d'une certaine régularité dans les diviseurs que nous avons trouvés (il y en a bien sur d'autres mais ceux là sont les deux plus proches, parmi les plus grands, pour chacun des N choisis.)

Je te laisse observer pour trouver ce résultat tout à fait remarquable à propos des nombres N² - 1 et de leurs diviseurs les "plus proches parmi les plus grands".

Il y a là peut-être une conjecture ... à démontrer ? ***



* De plus, elle est ouverte toute l'année, et le braconnage (pose de pièges divers et variés) est conseillé.


** puisque toutes les multiplications comportant 0 pour l'un des facteurs donnent comme résultat 0

*** Si tu as vu les Identités Remarquables, alors le travail est grandement facilité !
merci sésamath

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28 décembre 2008 7 28 /12 /décembre /2008 20:50
Si tu désires voyager du coté, non pas de la ville chantée par Henri Salvador mais en ces terres étranges de la conjecture de Syracuse un peu au-delà de ce que j'ai pu en dire précédement, je te propose un tableau sous open office (liberté oblige)*

Il permettra de voir les suites que génèrent des nombres choisis, et par exemple de voir la grande irrégularité des résulats puisque, jusqu'à 27, aucune suite ne dépasse 24 nombres.

ici de 3 à 15


le record est obtenu
par 9 pour ce qu'on nomme dans le langage des spécialistes de la conjoncture de Syracuse, la durée de vol c'est à dire le temps (nombre de valeurs) que la suite met pour atterrir (à 1) qui est pour 9 de 19 (19 valeurs)  
et
par 15 pour ce qui est appelé la hauteur, c'est à dire la valeur la plus élevée, qui est pour 15 la valeur 160.
ici de 3 à 15

Mais tout change avec 27



qui atteint le sommet de 9232
 


et le record de vol de 110 valeurs.


Pour donner une idée de l'irrégularité des résultats que l'on obtient, il suffit de regarder du côté des très grands nombres.

Par exemple en partant de 11 111 111 111  (environ onze  millards)
la longueur du vol n'est que le double de celle de 27
et l'altitude maximale atteinte n'est pas extraordinaire puisqu'elle n'est qu'un peu plus de 7 fois la valeur de départ.

On l'atteint dans les premières valeurs.

Je te conseille d'essayer un nombre beaucoup plus grand, comme par exemple
111 111 111 111 111

Puis un chiffre de plus
...
pour voir la confiance (méfiance) que tu peux accorder à un tableur.




Remarque : pour des raisons pratiques de lisibilité, j'ai stopé la série lorsqu'on arrive à 1

Il faudrait en réalité repartir vers 3 x 1 + 1 qui donne 4  puis 2 puis 1
et qui est d'après la conjecture la seule boucle existant dans les séries de nombres générés

Le travail pour démontrer la conjecture passe d'ailleurs par la démonstration de l'unicité de cette boucle.


Comme dirait F. la démonstration est assez jolie, mais je n'ai pas assez de place pour la mettre dans la marge*







*(sourire)²

Il y a quelque chose ici sur cette questin de la boucle (mais attention, c'est assez complexe)

Voir aussi l'excellent article de Gérard Villemin  ici


exceptionnellement, sous excel ici  mais il est plus encombrant (fichier plus lourd)

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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 23:59



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Mots Clés :  Droite, plan courbe, ligne courbe, point.

 


Mots Clés  
  Droite, plan courbe, ligne courbe, point.


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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 23:58




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Mots Clés :  figure plane, figure de l'espace - surface, boule sphère - volume - demi-droite - segment de droite, extrémités - ligne brisée - polygones, nom des polygones - angles, sommets, côtés - angles égaux, perpendiculaire.

 


Mots Clés  
  figure plane, figure de l'espace - surface, boule sphère - volume - demi-droite - segment de droite, extrémités - ligne brisée - polygones, nom des polygones - angles, sommets, côtés - angles égaux, perpendiculaire.  Droite, plan courbe, ligne courbe, point.

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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 23:57




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Mots Clés :  perpendiculaires, angles droits - distance, longueur, angle obtu, angle aigu - droites parallèles, perpendiculaire commne - triangles, hauteur, perpendiculaire abaissée sur un côté.

 


Mots Clés  
  perpendiculaires, angles droits - distance, longueur, angle obtu, angle aigu - droites parallèles, perpendiculaire commne - triangles, hauteur, perpendiculaire abaissée sur un côté.

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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 23:56




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Mots Clés :  Triangle rectangle, hypoténuse - triangle isocèle - triangle équilatéral - quadrilatère, côtés opposés, diagonales - trapèze, base - trapèze rectangle - parallèlogramme - rectangle.

 


Mots Clés  
  Triangle rectangle, hypoténuse - triangle isocèle - triangle équilatéral - quadrilatère, côtés opposés, diagonales - trapèze, base - trapèze rectangle - parallèlogramme - rectangle.



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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 23:55




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Mots Clés :  Losange, diagonale - carré - circonférence (cercle), ligne courbe - cercle (disque), rayon, diamètre, centre, corde - couronne.

 


Mots Clés  
  Triangle rectangle, hypoténuse - triangle isocèle - triangle équilatéral - quadrilatère, côtés opposés, diagonales - trapèze, base - trapèze rectangle - parallèlogramme - rectangle.

Entre parenthèse, je donne ici la dénomination actuelle.

On a dit un temps circonférence pour "cercle", le mot cercle désignant alors l'ensemble des points intérieurs à la ligne. C'est à dire ceux qui sont à une distance du centre inférieure au rayon.
Cela n'a pas duré très longtemps.

A présent le cercle désigne à nouveau l'ensemble de tous les points qui sont à une distance donnée du centre, distance que l'on nomme rayon (ici le mot rayon désigne à la fois le segment et sa longueur).
Le mot circonférence étant parfois utilisé pour désigner le périmètre du cercle.

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26 décembre 2008 5 26 /12 /décembre /2008 21:40
En mathématiques on nomme conjecture une affirmation qui n'a pas été ni infirmée ni démontrée.

Une des plus célèbre est celle dite "de Syracuse" qui est en rapport avec des calculs relativement simple et à la portée du premier venu.



Exemple : N = 15
N est impair donc la valeur suivante est 3 x 15 + 1 = 45 + 1 = 46
Cette valeur est pair, la valeur suivante est donc  46 / 2 = 23
Cette valeur
est impaire donc la valeur suivante est 3 x 23 + 1 = 69 + 1 = 70.
Cette valeur est pair, la valeur suivante est donc  70 / 2 = 35
Cette valeur est impaire donc la valeur suivante est 3 x 35 + 1 = 105 + 1 = 106
et ainsi de suite pour obtenir les valeurs suivantes
53; 160 ; 80 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 et enfin 1

La
conjecture de Syracuse est précisément l'affirmation que ces suites aboutissent toujours à la valeur 1.

Ci-dessous, le graphique des valeurs qu'on obtient pour N = 127
(version compressée de la suite)Fichier:Syracuse127.png

(voir les jolis graphiques que donne la chasse ici : http://syracuse-collatz.blogspot.com/
A TOI DE JOUER ... (personne ne l'a encore démontrée)

Je te propose une conjecture encore plus simple :

Il n'existe pas de nombre N s'écrivant 21....1
tel que N soit premier.

Un outil qui peut toujours servir pour vérifier les premières valeurs
ici

(Mais à partir de 100 chiffres, il rame un peu
...
tout de même, il vaut mieux ne pas déduire trop vite
encore à ce jour, une centaine* d'exemples ne valent pas démonstration !)
.



Une démonstration tout à fait bancale de la conjecture de Syracuse

Si N "monte" (voir le langage des spécialistes de ce problème) c'est que N est de la forme 2k +1 (impair)
à l'étape suivante le nombre obtenu sera donc : 3 x (2k + 1) + 1 = 6k + 4

Ce nombre va donc "redescendre" à l'étape suivante et donner  3k +2
Le comportement à l'étape qui suivra dépend donc de la parité de k,
La probabilité qu'il soit pair étant de 1/2 , un nombre qui est "monté" a donc une probabilité de 3/4 de descendre deux fois.
Or, quand un nombre monte, il le fait d'un facteur inférieur à 4 et quand il descend d'un facteur 2, ce qui donne un pas moyen inférieur à 1/4 x 4 - 3/4 x 2 = 4/4 - 6/4 = -2/4

en moyenne, le mouvement se fait davantage (valeur absolue) vers le bas que vers le haut.
...
Quelque soit le nombre N il existe donc une séquence


cherchez l'erreur !


* 10 mille milliards de milliards non plus d'ailleurs.

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25 décembre 2008 4 25 /12 /décembre /2008 23:59





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Mots Clés : Plans, Droites perpendiculaires à un plan, Plan perpendiculaire à une droite, Distance d'un point à un plan, Fil à Plomb, Plan horizontal, Droite verticale, Droite horizontale, Droite parallèle à un plan, Niveau à bulle.

 


Mots Clés  Plans, Droites perpendiculaires à un plan, Plan perpendiculaire à une droite, Distance d'un point à un plan, Fil à Plomb, Plan horizontal, Droite verticale, Droite horizontale, Droite parallèle à un plan, Niveau à bulle.

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25 décembre 2008 4 25 /12 /décembre /2008 23:58




Géométrie dans l'espace 28cliquer sur la page pour l'agrandir


Mots Clés : Plans parallèles,
Droite parallèle dans l'espace, Polyèdre, Prisme oblique ou droit, Parallélépipiède oblique ou droit Parallélépipiède rectangle , Cube, Arète, Face latérale.
 


Mots Clés
Plans parallèles, Droite parallèle dans l'espace, Polyèdre, Prisme oblique ou droit, Parallélépipiède oblique ou droit Parallélépipiède rectangle , Cube, Arète, Face latérale.

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