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Philippe Mercier

 

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10 février 2011 4 10 /02 /février /2011 23:30

  (Pour aller tout de suite au calcul de l'antécédent, saute cette partie
   elle peut cependant t'être utile pour ne pas confondre antécédent et image)

 



 

 

Le calcul de l'image d'un nombre donné (par exemple -7) par une fonction affine donnée par son expression (par exemple : f(x) =  -3x + 5 ) est assez aisé.

 

Il suffit de "faire fonctionner" la fonction. C'est à dire de remplacer x par la valeur correspondante (dans notre exemple, cela donne f(-7) = -3 x (-7) + 5 = 21 +5 = 26 )

 

 

 

Ici l'exemple donné dans le manuel Sesamath, suite à la méthode correspondante.


Pour avoir la correction pas à pas, clique sur "Solution"

 

( L'aide animée qui complête cet exemple )

 

 

 

 

Pour vérifier ta compréhension du calcul de l'image sur Maths En Poche

Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine

 

 


 

 

 

La détermination de l'antécédent d'un nombre est moins évidente.

 

Il s'agit en effet de "revenir en arrière" de l'image vers la valeur qui a donné ce résultat (l'antécédent).

 

A partir de l'expression de la fonction, il y a deux possibilités d'obtenir ce résultat.

 

- 1 - La première consiste à "défaire ce que fait la fonction"

 

Une fonction affine est équivalente à un programme de calcul à "deux pas"

En effet, toute fonction affine peut être définie par

(image de x, ou ) f(x) = ax + b

On obtient donc l'image de x, notée f(x) en multipliant  par a, puis en additionnant b au résultat.

Pour retrouver la valeur de  x qui a donné une certaine valeur, il suffit de "revenir en arrière" c'est à dire de commencer par retrancher b (le contraire de  + b)  à la valeur image, puis à diviser le résultat par a (le contraire de xa)

 

 

- 2 - Dans la seconde méthode, on écrit mathématiquement que l'image d'un nombre inconnu donne une certaine valeur. Ce qui donne une équation (du premier degré) qu'il faut résoudre (c'est à dire pour laquelle il faut trouver la valeur qui la satisfait   


Ici l'exemple donné dans le manuel Sesamath, suite à la méthode correspondante.


 

 

Pour avoir la correction pas à pas, clique sur "Solution"

 

( L'aide animée qui complête cet exemple )

 

 

 

 

 

Pour vérifier ta compréhension du calcul de l'antécédent sur Maths En Poche

Calculer des antécédents par une fonction affine

 

 

 

 


Remarque : d'après les résultats précédents, on pourrait apprendre par coeur la formule qui permet d'obtenir l'antécédent de la valeur y pour une fonction f défine par f(x) = ax + b

Cet antécédent, obtenu en "défaisant" ce qu'a fait f, serait    x   = (y - b) / a

 

Mais il est inutile de retenir cette formule que l'on retrouve assez facilement sur chaque cas particulier.

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10 février 2011 4 10 /02 /février /2011 23:11

Ce petit tableau sous excel te permettra d'obtenir l'antécédent d'une valeur donnée (à l'initialisation cette valeur est 7 )  pour une fonction affine dont tu auras précisé la valeur des coefficients a et b (à l'initialisation a = -5 et b = 3)

 

En cas de fausse manipulation, tu peux toujours recharger le tableau.

 


 

 

Pour charger le tableau, cliquer sur son image

 

 


Avec ce tableau de calcul, Mathilde, par exemple, pourra vérifier si les antécédents qu'elle a obtenus pour la fonction affine donnée en classe, correspondent aux bonnes valeurs.

On peut aussi regarder les formules pour comprendre comment l'on trouve l'antécédent d'un nombre donné - ici 7 - quand on connait les deux coefficients de la fonction affine - ici a = -5 et b = 3 )

Il peut aussi servir à ceux qui n'ont pas compris le cacul de l'antécédent. Ceux-là peuvent en effet s'en servir "brutalement" pour trouver la réponse à un exercice du type (question c)

Ils peuvent ensuite vérifier que l'image de ce nombre (par exemple l'antécédent obtenu pour 24) par la fonction donnée (ici celle qui à x fait correspondre h(x) = -6x) est bien la valeur qu'ils ont entré dans le tableau (ici 24)

C'est à dire

Si l'antécédent de 24 est ... ce nombre a pour image 24.

 

------------
Pour obtenir l'image du tableau correspondant à l'exercice
clique sur l'exercice.
Tu pourras lire sur le tableau la solution de la question
"Quel est l'antécédent de 24 par la fonction ?"

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9 février 2011 3 09 /02 /février /2011 23:15

Les instruments de géométrie permettent une certaine précision (par exemple : 1mm pour la règle, 1° pour le rapporteur)

Les figures que l'on construit avec leur aide permettent de donner une valeur approchée du résultat réel d'une construction géométrique donnée.

 

 

photo

Le but des figures à main levée est bien différent.

Loin de chercher à obtenir des mesures d'angles ou de longueur, ces figures permettent de réfléchir sur une situation donnée de manière à prouver une propriété ou à calculer une mesure, sans prétendre utiliser des instruments de mesure, puisque la figure n'est pas fidèle à la réalité.

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9 février 2011 3 09 /02 /février /2011 23:10

 

 

 

 

 

Fichier:Quads.jpg

 

 

 

 

 

 

 

* Remarque :  Quadrilatère se prononce "couad" comme dans "Quad" (qui signifie "quatre"  pour un véhicule à quatre roues motrices) . Le U se prononce ici ou comme dans la langue d'où provient le mot "quatro" qui a donné le radical "quad"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

La famille des quadrilatères est vaste, elle comporte toutes les figures fermées à quatre côtés.

 


En arrivant en classe de sixième tu  connais déjà un certain nombre de quadrilatères remarquablesparmi ceux qui figures sur ce qui ressemble à un arbre généalogique.

 

 

(Le diorthotétragone a été oublié, mais tu n'en auras pas vraiment besoin cette année)

 

 

 

Ils sont remarquables parce qu'ils possèdent des propriétés particulières, notamment du point de vue de leurs angles (égalité), de leurs côtés (égalité, parallélisme, orthogonalité) ou même de leurs diagonales.

 

 

 

Les principaux sont les trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés et cerfs-volant.

 

 

 

 

 

 

 

 

Grâce à un programme informatique réalisé par Vince Joly, tu vas pouvoir réaliser simplement la plupart de ces figures en utilisant leurs propriétés.

 

Pour cela tu vas définir quelles propriétés possède le quadrilatère que tu désires tracer.

En fonction de ses propriétés (cotés, diagonales, parallèles ou perpendiculaire) tu obtiendras différentes figures et tu tenteras de dépalacer les sommets pour voir

- ce qui change dans la figure

- ce qui demeure comme propriété

 

Tu pourras ainsi nommer ces figures en te servant de leur définition et des propriétés qu'elles posèdent.

 

Quelques exemples de résultats (on voit dans la fenêtre de droite les propriétés que l'on a données à la figure)

 

 

 

 

 

Attention, ajouter certaines propriétés n'ajoute parfois rien de plus à la figure.

 

En effet, par exemple, un quadrilataire qui possède trois angles droits (trois côtés perpendiculaires à un autre côté) et un quadrilatère qui possède quatre angles droits, sont tous les deux un rectangles.

Car dans un quadrilatère, la somme des angles fait 360°.

Donc un quadrilatère qui possède trois angles droits ... en a quatre.

 

 

 

Pour accéder au programme de Vince Joly, clique sur la dernière image.

 

 

 

 


 

Le quadrilatère qui nous intéresse tout particulièrement en sixième est celui qui possède un axe de symétrie.

Le travail sur la symétrie est en effet un des acquis principaux de l'année.

 

Un quadrilatière ABCD qui possède un axe de symétrie doit nécessairement avoir des diagonales perpentidulaires.

Puisque si (AC) est l'axe de symétrie, alors [BC] doit être perpendiculaire à [AC]

Si I est le point d'intersection de [AC] et [BC], on doit de plus avoir BI = IC puisque  B étant le symétrique de C, (AC) axe de symétrie de la figure doit être la médiatrice de BC.

 

Cela, le programme de Vince Joly, ne permet pas de l'obtenir.

 

Mais des Cerf-volants (quadrilatère possédant un axe de symétrie qui passe par deux de de ses sommets) on peut en trouver un peu partout ...

 

 

 


 

Construction d'un Cerf-volant, avec "trace en poche"

Construction de figures géométriques - Le cerf-volant

 

.

 

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8 février 2011 2 08 /02 /février /2011 18:05

 

Sur Maths En Poche tu peux t'entrainer aux différentes actions élémentaires qu'il est nécessaire de maîtriser dans un petit problème de mathématiques.

 

 

 

 

 

 

http://accel16.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/brevet-/2007/tg-1-correction-1a.jpgN'oublie pas cependant que lorsque tu rédiges tes réponses sur une feuille,
l'objectif est de permettre, à quelqu'un qui ne sait pas résoudre le problème, de comprendre comment parvenir à la solution et pourquoi on a fait chacun des calculs qui ont permis de trouver le résultat.

 

 

 

Pour cela je te rappelle les étapes de ta rédaction

 

 

(L'exemple que je donne correspond à l'énoncé : 
 
Paul et Jean sont deux frères. Paul, le cadet, a 11 ans. Il a trois ans d'écart avec Jean.
Quel est l'âge de Jean ?)

 

 

  1. Reprendre les données de l'énoncé et, quand c'est possible, les traduire par un schémas



    exemple :  avec des segments représentant les différentes quantités données dans l'énoncé. L'âge de Paul, l'âge de Jean et les 3 ans d'écart.
    Ici on peut traduire l'énoncé en écrivant
    Age de Paul = Age de Jean - 3 ans    ( Car Paul est le plus jeune)

  2. Dire ce que l'on va calculer et écrire en ligne ce calcul en écrivant d'abord, non pas les nombres mais ce qu'ils représentent
    exemple : Age de Jean = Age de Paul + 3 ans.
    Avec éventuellement l'explication : l'addition est l'opération contraire de la soustraction


  3. Ecrire ensuite ce calcul avec les valeurs correspondantes de l'énoncé.
    exemple : Age de Jean = 11 ans + 3 ans
                                        =  14 ans
  4. Terminer en rédigeant une phrase reprenant la question qui présente la réponse en soulignant le résultat demandé
    exemple : l'Age de Jean est 14 ans

 

 


 

 

Pour te perfectionner avec le matou matheux

 

Compréhension de problèmes (1)

 Compréhension de problèmes (2)

 Problèmes imagés

 Problèmes "littéraires"

 38 problèmes à résoudre

première série troisième série
deuxième série quatrième série

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7 février 2011 1 07 /02 /février /2011 23:01

 

Une fonction linéaire associe à un nombre son produit par un coefficient constant.


Une fonction linéaire  traduit une situation de proportionnalité

 

Le coefficient a est le coefficient de proportionnalité.
L'image de tout nombre x est a fois plus grande que
x.

 

Fichier:Droites lineaires.png

 

 

Une fonction affine  traduit une situation de proportionnalité

...

à une constante près.

 

On pourrait dire qu'une fonction affine f est une "fonction linéaire décalée".

 

Ce "décalage" est le nombre b

Il correspond à l'image de 0 par la fonction f

(si on remplace x par 0 dans ax + b on obtient  f(0) =  a x 0 + b = b)

Le coefficient b est nommé "ordonnée à l'origine"

(Le point b est l'ordonnée du point d'intersection de la droite représentant la fonction f, avec l'axe des ordonnées.)

Fichier:Linear functions2.PNG

Le coefficient a représente, le coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire associée,

c'est à dire de la fonction "non décalée", celle qui n'a pas de terme b

(ou pour laquelle b = 0)

 

Pour une fonction linéaire comme pour une fonction affine, le coefficient a a également un sens géométrique.

Il est en effet en rapport avec la pente de la droite correspondant à la fonction.

 

Cette pente, que les cyclistes qui gravissent le mont Ventoux connaissent bien, est

la quantité dont augmente l'image lorsque l'antécédent augmente de 1.

(Pour une pente à 10%*, c'est à dire à 0,1 , lorsqu'on avance de 100m - abscisse - on monte de 1m - ordonnée )

 

Pour la calculer il suffit de calculer n'importe quelle différence du type

f(x+1) - f(x)

Par exemple

f(7+1) - f(7) =  (a x 8 + b) - (a x 7 + b) = 8a + b - 7a - b = a

 

Dans le cas général, si on connait par exemple f(11) et f(18)

Il suffit de calculer    ( f(18) - f(11) ) / (18-11)    c'est-à-dire ( f(18) - f(11) ) / 3

(18 - 11 = 3 est ici l'écart des deux valeurs de départ)

 

Pour tracer quelques fonctions affine ou linéaire et voir sur des exemples le sens des coefficients a et un traceur de fonction (affines linéaires ou autres)

 

Par exemple pour répondre avec aisance à ce petit exercice du cahier mathenpoche

 

__________________

* En réalité ce n'est pas x le second terme du rapport, mais l'hypoténuse du triangle rectangle de côté x et y. Parce que ceux qui font les panneaux et ceux qui les lisent sont plus intéressés par "le nombre de m que l'on a parcouru (hypoténuse) que le nombre de m dont on a avancé horizontalement (qui est x).

 


 

 

 

µ

 

diagonales

 


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7 février 2011 1 07 /02 /février /2011 22:58

 

 

 

 

 

     
 

Il habite fidèlement
son anagramme 

 
     

 

 

qui est-ce ?

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

solution 

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6 février 2011 7 06 /02 /février /2011 22:45

 

 

Pour télécharger le sujet et ses trois parties.

 

Version pdf

 

Thèmes abordés 

Travaux numériques : Factorisation et développement (double) ; équation produit ; réduction d'expressions littérales ; fonctions (notions générales) ; pourcentages.

 

Travaux géométriques : Solides (calculs de volumes, réduction, coefficient d'agrandissement) ; théorème de Thalès (réciproque) ; théorème de Pythagore ; calcul d'aire (carré, quart du disque)

 

Problème : Théorème de Thalès, fonctions (notions générales, calculs simples, lecture sur un graphique donné, variations d'aires, recherche d'une valeur satisfaisant une répartition donnée), problème simple utilisant la division.

 

 


Une version de cette correction est téléchargeable

(avec les outils utilisés, et des liens vers des rappels de cours)

au format open office - word - pdf

 

 

 

Première partie : Travaux Géométriques

 

 

 


 

 

 


 


 


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6 février 2011 7 06 /02 /février /2011 21:06

 

 

 

 

 

 

 

 

     
 

Quand sa taille diminue
souvent son odeur augmente

 

 
     

 

 

qu'est-ce ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

solution 

 


 

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6 février 2011 7 06 /02 /février /2011 19:10

 

 

A voir en cliquant sur cette figure empruntée au site

Merci à Stéphane de la liste Maths au collège

 

 

 

 

 

Extraits de la bibliothèque d'objets impossibles

cliquer sur l'image

 

 

 

 

 

 

 

 

Se déplacer à 360° dans le monde d'Escher

cliquer sur l'image

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