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17 février 2011 4 17 /02 /février /2011 22:26

Pour poursuivre la révision entamée sur le thème du théorème de Pythagore, je vais te proposer une page d'exercice.

 

Mais avant quelques précisions concernant cet outil précieux.

 

Utilité

Le théorème de Pythagore sert

Lorsqu'un triangle est rectangle et qu'on connait la longueur de deux d'entre eux

à calculer la longueur du côté inconnu.

(Remarque : si on connait un côté et un angle, on utilisera la trigonométrie. Calculs de côtés)

 

Rédaction

 


 

Triangle ABC rectangle en C avec les notations AB=c, AC=b et BC=a.

 

 

 

AB = 13cm , BC = 5cm.

Calculer la longueur de AC

 

 

 

 

 

 

 

(Tu commenceras bien sur par donner les conditions nécessaires à l'utilisation du théorème )

 

"Le triangle ABC est rectangle"  (en C et son hypoténuse est AB)


(Tu donneras ensuite le NOM du théorème que tu utilises )

Je peux donc utiliser le théorème de Pythagore


(Tu donneras alors l'égalité que donne ce théorème)

Qui permet d'écrire l'égalité

(D'abord avec les lettres de l'énoncé)

AB² = BC² + AC²

(puis en remplaçant les valeurs données dans l'énoncé)

13² = 5² + AC²

 

 

(Alors tu traîteras l'équation obtenue comme tu l'as appris )

(En commençant par isoler la valeur inconnue ... qui ici est AC²)

13² - 5² = AC²

AC² = 169 - 25

AC² = 144

AC = 12

(racine carrée de 144)

 


Rappelle toi cela lorsque tu feras les exercices de la feuille
lors de ton épreuve de brevet blanc et surtout .. fin juin.

 


Une feuille d'exercice sur le théorème de Pythagore
(dont tu peux obtenir la correction lorsque tu les auras faits en cliquant sur correction en haut à droite)

 

 

 

clique sur le triangle pour accéder aux exercices.

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Deux autres exercices corrigés ici

 

 

 

 


 

Sur Maths En Poche

Appliquer le théorème de Pythagore

attention, ici, la rédaction est simplifiée

elle ne comporte pas toutes les étapes que je t'ai indiquées

(et qu'il vaut mieux écrire dans un examen comme le brevet)

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16 février 2011 3 16 /02 /février /2011 23:55

Parmi les indispensables

notamment pour

l'utilisation du théorème (direct) de Pythagore
(équation du type X² = A² + B² ou A² = X² +B²
)

ou

l'utilisation du théorème (direct) de Thalès
(équation du type X/A = B/C ou A/X = B/C)

il est indispensable que tu maitrises les équations de base :

Celles qui concernent une seule opération

x  + b = a ; x - b = a ; x * a = b et x / a = b

Celles qui en combinent plusieurs

ax + b = c  ou ax + b = cx + d

 

 

Pour cela, un petit entrainement s'impose sur Maths En Poche

 

Formes ax=b et x+a=b

 

Forme ax+b=c

 

Forme ax+b=cx+d

 

Développements, simplification

 

Courage !

Après ce petit travail le traîtement des équations

des situations de Pythagore et Thalès

ce sera de la rigolade

 

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16 février 2011 3 16 /02 /février /2011 16:15

Le contrôle de ce jour portait sur les fonctions affines et linéaire et plus précisément sur la représentation graphique de ces fonctions.


Le sujet est accessible ici aux formats open office , pdf , word

 

La plupart des questions reprend le type d'exercice que propose Maths En Poche   et qui étaient présenté dans l'article 

Troisièmes : Tracer le graphique d'une fonction affine

 

Il est vivement conseillé à ceux qui ont eu des difficultés avec ce contrôle de s'entrainer encore un peu sur ces exercices (et de revoir l'article cité, où l'on revient sur le cours et la méthode correspondante).

 



Associations formule/graphique
Associer une fonction, donnée par son expression, à son graphique

Tracer la représentation graphique
Tracer la représentation graphique d'une fonction affine
connaissant l'image d'une (si elle est linéaire) ou deux valeurs
ou a partir d'un tableau de valeurs (ce qui revient au même)

Tracer la représentation graphique
Compléter un tableau de valeur pour une fonction f donnée par son expression

puis tracer la représentation graphique correspondante

 


 

 

 

Ceux qui désirent se perfectionner sur le thème des fonctions affines et linéaires peuvent s'entrainer à reconnaître des graphiques en utilisant par exemple le grapheur  du CDDP 92

clique sur l'image pour accéder
à l'utilitaire de tracé d'un graphique

 

Il te faudra ensuite cliquer sur le dessin identique pour accéder à l'outil qui te permettra de traer le graphique d'une fonction affine (dans un repère comme ceux que tu utilises en cours) en donnant ses coordonnées.

 

Une fois chargé, l'écran se présente comme ci-dessous

 

 

Si une fonction est déjà définie, appuie sur la remise à zéro

Puis écris dans le cadre de saisie (clique sur le 0 qui se trouve à droite de f(x) = )

la définition de ta fonction, comme dans l'exemple ci-dessous

avant saisie, après avoir cliqué sur le zéro le cadre de saisie s'affiche

La fonction a été définie
Attention : il faut indiquer la multiplication par le signe "*" et la division par "/"

 

 

En cliquant sur

 
on obtient le graphique de la fonction définie
Pour celle que j'ai donnée en exemple le résultat est
La fonction a une pente positive ( 2 ) elle est donc croissante ("ça monte")
l'ordonnée à l'origine (l'image de 0 ) est 0,5 (=1/2)
     
         
Concours
Celle ou celui (le premier) qui me donne en commentaire
la pente et l'ordonnée à l'origine

et qui en déduit
l'expression de la fonction correspondant au graphique ci-dessous
a un bonus de 1 point sur le prochain contrôle.
         
     


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15 février 2011 2 15 /02 /février /2011 16:04

Ceci est la suite du travail fait pour montrer la différence entre l'aire et le périmètre d'une figure géométrique.

Sixièmes - Carré et rectangle - Périmètre et aire

 

 

 

L'unité de mesure des périmètres est l'unité de mesure des longueurs : le mètre (m)

 

Pour le passage des mètres aux  centimètres (cm), il suffit de se souvenir que "centi" signifie "cent fois plus petit" (comme dans centième ou centimes)

 

L'unité de mesure des périmètres est l'unité de mesure des longueurs : le mètre carré (m²)

 

Pour le passage des m² aux cm² il faut remarquer que sur le côté d'un carré de 1m², on peut mettre 100 carrés de 1cm²

Le carré de 1m² contient 100 x 100 cm²  = 10 000 cm²

 

Ce qui explique la règle de conversion des unités d'aire.

 

http://a7.idata.over-blog.com/0/04/35/24/figures/aires/cm--et-mm-.jpg 

Dans un m² il y a 100dm²  - Dans un dm² il y a 100cm² -

donc

dans un m² il y a 10 000cm²

 


 

 

Le rectangle est une figure géométrique à quatre côté (quadrilatère ou tétragone) l'espace intérieur est sa surface, dont la mesure est l'aire
la ligne qui la délimite est son contour, dont la mesure est le périmètre.

L'un est donc un multiple d'une unité de longueur (le mètre, ses multiples et sous-multiples)
L'autre est un multiple d'une unité d'aire (mesure de la surface, le mètre carré, ses multiples et sous-multiples).

on peut visualiser ces unités,
la première étant relative à un segment



La seconde à une surface.


clique sur la figure pour voir apparaître les deux mesures relatives au carré unité tracé ici
à savoir
la longueur de son côté
et
 son aire



Je te propose ici de mesurer le périmètre et l'aire de quelques rectangles
en comptant à l'oeil
ou,
à partir des mesures de ces figures
par un calcul (formules que tu connais peut-être)




Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.





Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.






Une fois que tu auras déterminé le périmètre et l'aire du rectangle
clique sur la figure pour vérifier ta réponse.




Pour t'entrainer un peu avec Maths En Poche sur ce thème

Périmètre


1. Unités de longueurs
2. Compter les unités de longueurs
3. Compter les unités de longueur (bis)
4. Reconnaître les figures de même périmètre


Aire

1. Unités d'aire (1)
2. Unités d'aire (2)
3. Unités d'aire (3)
4. Compter les unités d'aire
5. Reconnaître les figures de même aire

 

 

 


Dictionnaire du matou matheux  périmètre  et aire

 

La méthode de sésamath à propos du calcul des aires

clique sur la page pour l'agrandir


Le formulaire de sésamath :  Périmètre et Aires
clique sur la page pour l'agrandir



Pour finir
s'il te reste un peu d'énergie
Un exercice du type de celui fait en classe
à faire sur une feuille
(ou sur ton cahier)

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14 février 2011 1 14 /02 /février /2011 23:09

Deux exercices corrigés sur le thème du théorème de Pythagore

 

Calcul d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant la longueur des deux autres.

 

 

exercice-de-calcul-de-cote.jpg

clique sur l'exercice si tu veux agrandir le texte

 

 

Je te conseille de faire une figure (sans que les dimensions soient nécessairement conformes à l'énoncé) pour t'aider à voir la situation de l'exercice.

Corrigé de l'exercice N°1.

 

 

 

exercice-de-calcul-de-cote-.jpg

clique sur l'exercice si tu veux agrandir le texte

 

 

 

Je te conseille ici aussi, de faire une figure (sans que les dimensions soient nécéssairement conformes à l'énoncé) pour t'aider à voir la situation de l'exercice.

Corrigé de l'exercice N°2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Rappel de la méthode
(sur le manuel sesamath)

 

 

1011-1.gif
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p. 135 Narrations Sujet 1 - Sujet 2
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p. 140 Méthodes méthode 1 - ex. 1 - ex. 2
méthode 2 - ex. 3
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méthode 6 - ex. 10 - ex. 11
p. 144 Exercices 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11
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p. 152 Exercices 1 - 2
p. 153 Fin de chapitre QCM - La fourmi - La chenille
p. 154 Fin de chapitre Avec l'escargot de Pythagore - Le carré - Avec des carrés d'aire 1 cm2 - Une très longue corde - La couronne
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14 février 2011 1 14 /02 /février /2011 22:28

 

 

 

Image du chapitre Equation et Ordre
du  manuel Sesamath de quatrième

 

 

 

Avant de commencer à étudier les méthodes de transformation et de résolution des équations, un petit travail préalable s'impose sur   Maths En Poche

pour mémoriser le vocabulaire

apprendre à tester une équation (c'est à dire à vérifier si une valeur donnée de l'inconnue satisfait l'équation) ,

comprendre ce qu'est une  solutions d'une équation

et pour finir, voir ce qu'il est possible de faire pour conserver une Egalité (tout en faisant agir sur elle des opérations)

 

 

 

        Bon travail préparatoire !

(clique sur les mots surlignés pour accéder aux exercices)

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

attracteur étrange.

article "équation"

 

wikipedia

 

 

 

 

 


des animations de R Dassonval pour mieux comprendre les équations

 

Ce qu'on fait pour résoudre l'équation du type  x + a = b

 

En changeant la lettre de l'inconnue ... la technique est la même

 

L'équation du type x - a = b

 

L'équation du type a x x = c

L'équation du type ax + b = cx + d

 

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14 février 2011 1 14 /02 /février /2011 14:53

 

 

 

Une fonction affine f correspond à une situation de proportionnalité ... à un décalage près (le coefficient b)

 

Bien sur, cette manière de dire est approximative, mais elle permet de comprendre pourquoi le graphique d'une fonction affine est une droite.

 

Pour tracer une droite, deux points suffisent.

 

Ainsi, pour tracer le graphique d'une fonction affine f, il suffit de calculer l'image par la fonction f de deux valeurs (x1 et x2 ) , de placer dans le repère les points correspondants  :  M1 ( x1 ; f(x1)  et M2 ( x2 ; f(x2) )
(On pourra bien sur calculer les coordonnées d'un troisième point pour vérifier qu'il est bien aligné avec les deux autres)

 

Remarque : pour une fonction linéaire un seul point suffit. On sait en effet qu'elle correspond à une situation de proportionnalité. La droite correspondante passe donc par O (0;0)

 





Des exercices directement liés à ses points de cours
sur
  Maths En Poche

Associations formule/graphique
Associer une fonction, donnée par son expression, à son graphique

Tracer la représentation graphique
Tracer la représentation graphique d'une fonction affine
connaissant l'image d'une (si elle est linéaire) ou deux valeurs
ou a partir d'un tableau de valeurs (ce qui revient au même)

Tracer la représentation graphique
Compléter un tableau de valeur pour une fonction f donnée par son expression
puis tracer la représentation graphique correspondante

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13 février 2011 7 13 /02 /février /2011 16:26

 

 

 

Une commune loue un car pour une excursion au prix forfaitaire de 723,6 euros. Au moment du départ, on enregistre une défection de trois participants, chacune des personnes présentes doit alors payer 4,02 euros de plus.


 

Quel est le nombre de participants à cette excursion ?

 

 


 


 

 

 

 

Un tableau de calcul utile pour cet exercice

 

 

 


D'autres propositions d'ajustement de l'énoncé reçues de participants à la liste mathcollège

(merci à eux)


(Yves)

Une autre correction possible est de passer à 9 désistements.
45 personnes à 16.08€ puis 36 personnes à 20.10€ font toujours 723.6€.


(François)

Si on met le voyage à 737EUR tout rond ça marche mieux :
25 personnes à 29,48EUR
ou 22 personnes à 33,50EUR ce qui fait bien 4,02EUR de plus.


(JC)

avec 24 participants le supplément serait ≈4,30 € par participant
avec 25 participants le supplément serait ≈3,95 € par participant


(Alain)

c'est peut-être 40,2€ (au lieu de 4,02) que chacun doit ajouter. 6 passagers au lieu de 9, ce serait un minibus!


(Yves qui propose une généralisation de son ajustement)

Si x est le nombre de désistement, le nombre de
personnes au départ doit être:
n = x/2 + 1/2 racine ( x^2 + 720 x )

x et n doivent être des entiers, j'ai fait tourner un peu pour avoir les
réponses satisfaisantes. Voici la liste des désistements et des nombres
de départ possibles (Pari/GP), en ajoutant comme condition que le prix
prévu au départ doit être rond en centimes:
? f(x) = x/2+sqrt(x^2+720*x)/2
? for( i = 1,1500,a=f(i);b=floor(a);if (a-b == 0 && (72360%a == 0)
,printp(i," ",b, " ", b-i)))
2 20 18
6 36 30
9 45 36
15 60 45
30 90 60
48 120 72
90 180 90
162 270 108
240 360 120
405 540 135

Pour le dernier il fallait avoir prévu un bus de 540 personnes pour
avoir finalement 135 départs seulement..

 

(le même Yves, qui peaufine)

Pas de quoi mais ma solution, si elle est fonctionnelle, ne me plait
pas: trop bourrin.

J'en ai une autre, dont voici les principes:

J'appelle X le nombre de désistements. Le nombre d'inscrit au départ
est la racine positive de l'équation d'inconnue n (X supposé connu):
n^2 - Xn - 180X = 0

Ici n et X doivent être des nombres entiers. On cherche donc des racines
entières: deux diviseurs de (-180X) dont la somme est -X.

L'un de ces diviseurs s'écrit -180k/a, où k divise X et k et a sont
premiers entre eux. L'autre sera alors a/k*X et on a:
180k/a - a/k X = X

On simplifie un peu et on trouve:
180 = a(a+k)*X/k^2

k et a sont premiers entre eux, donc a et a+k sont des diviseurs de 180.
Plus qu'à parcourir la liste des diviseurs 180 en formant des couples de
diviseurs différents, et si le produit divise 180, à multiplier le
quotient par leur différence k au carré. On aura un X qui marche, c'est
à dire un nombre de désistement acceptable. On trouve le premier nombre
directement, avec 180k/a.

Notons que cette méthode donne des solutions qui peuvent être non
exactes en nombre de centimes. Par exemple avec les diviseurs 10 et 18,
on trouve X = 64, soit 144 départs prévus puis seulement 80 réels . Ce
n'est pas dans la liste que j'ai envoyé précédemment parce que cela
fonctionne, mais avec des millièmes d'euro:
723.6/144 = 5.025
723.6/80 = 9.045

Avec Avec a=1 et a+k=18 on trouve 3060 départs prévus. Les désistements
sont alors 10 * 17^2 = 2890 soit 170 départs réels. On vérifie:
? 723.6/170
%23 = 4.256470588235294117647058824
? 723.6/3060
%24 = 0.2364705882352941176470588235

La vérification est mieux en centimes et en fractions: 72360/3060 + 402
= 7236/17 = 72360/170

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12 février 2011 6 12 /02 /février /2011 18:20

Cette seconde épreuve commune de l'année s'est déroulée début février.

La note la plus basse a été 3/40 et la note la plus haute 39,5/40

 

Pour télécharger

 

Le sujet du brevet blanc 
aux formats open office , pdf , word

 

 

La correction de la partie I  

(Travaux Numériques : Factorisation et développement (double) ; équation produit ; réduction d'expressions littérales ; fonctions (notions générales) ; pourcentages.)

aux formats open office , pdf , word

 

 

 

La correction de la partie II

 (Travaux géométriques : Solides (calculs de volumes, réduction, coefficient d'agrandissement) ; théorème de Thalès (réciproque) ; théorème de Pythagore ; calcul d'aire (carré, quart du disque) )  

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La correction de la partie III

(Problème Théorème de Thalès, fonctions (notions générales, calculs simples, lecture sur un graphique donné, variations d'aires, recherche d'une valeur (antécédent) satisfaisant une répartition donnée au moyen d'une équation), problème simple utilisant la division. )  

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Je remercie JJ Dhenin pour sa relecture et les informations transmises en retour faites sur la première version de notre projet de brevet blanc

 


Merci d'avance aussi à ceux qui, élèves ou professeurs, feront un retour (en commentaire ou par courriel ) à propos de ce sujet en communiquant leurs impressions relativement à ses difficultés, ou signalant d'éventuelles erreurs.

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11 février 2011 5 11 /02 /février /2011 23:57

Petit exercice qui combine les compétences liées à la résolution de problème aux connaissances concernant les quadrilatères particuliers que sont le carré et le rectangle et notamment le calcul de leur périmètre et de leur aire


 

 

     
    

Enoncé de l'exercice :  On veut tracer un carré et un rectangle ayant un côté commun. On désire également que le périmètre de ce rectangle soit égal au double du périmètre du carré.

(Le choix des dimensions des deux figures est laissé libre)

    
     

 

 

Enoncé de l'exercice :  On désire tracer un carré et un rectangle ayant un côté commun. On désire de plus que le périmètre du rectangle soit égal au double du périmètre du carré.

(Le choix des dimensions des deux figures est laissé libre)

 

 

des propositions de réponses :

 

Clique sur chaque proposition pour l'agrandir

 

Si tu fais partie des élèves de sixième qui n'ont pas pu être en cours ce vendredi, tu peux me proposer en commentaire* la réponse qui te semble juste.

Ainsi qu'une autre réponse possible 
en me donnant les mesures du carré - son côté - et du rectangle - sa largeur et sa longueur

 

 

 


*Pour écrire un commentaire il faut descendre sous l'article et cliquer sur "rédiger un commentaire"

 

 


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