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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

12 mars 2011 6 12 /03 /mars /2011 22:23

 

 

 


Dans cet exercice du matou matheux, il te faudra dire si la fraction considérée est plus grande (supérieure) ou plus petite (inférieure) que 1.

 

 

(si tu veux commencer tout de suite l'exercice, clique sur cette image)

 

 

Il n'est pas inutile ici de se rappeler la définition d'une fraction en rapport avec la notion de division et donc de quotient.

 

 

 

 

D'après ce rappel de cours la fraction "a sur b" est le résultat d'une division (quotient de a par b).

 

Si on se souvient de la question de la division on saura dire immédiatement si le résultat est inférieur ou supérieur à 1.

 

En effet, la question de la division de a par b est "en b combien de fois a"


Dans l'exemple donné par l'exercice (où a est 8 et où b est 1) il s'agit de savoir si

"en 8 il va une fois 11" (ou moins, ou plus)

 

On voit ici qu'en 8 "il y a moins d'une fois 11"

et donc

que la fraction correspondante au résultat de cette division

est inférieure à 1 (qui s'écrit "... < 1").

 

 

D'où la réponse à l'exercice

 

 

 

 

On peut donc énoncer la rêgle correspondante :


Si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1,

dans le cas contraire la fraction est inférieure à 1.

 

(Tu retrouveras cette règle à la rubrique "fraction propre"

dans l'aide mémoire de Récréomath consacré aux fractions.)

 

 

Le cas intermédiaire existe, il correspond à l'égalité à 1

 


 

C'est le cas correspondant à la question ci-dessous :

 

(Pour accéder à l'exercice, clique sur cette image)

 

 

 

 


 

Quelques exercices de  Maths En Poche  en rapport avec ce thème

 

 

1. Enoncer une fraction
2. Ecrire sous forme de fraction
3. Vocabulaire
4. Des parts aux fractions
5. Des fractions aux parts
6. Lire une abscisse fractionnaire
7. Placer une abscisse fractionnaire
8. De l’écriture fractionnaire à la fraction

 

 

 


 

Sur le site du matou matheux

Multiplier une fraction par un entier

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12 mars 2011 6 12 /03 /mars /2011 18:52

 

 

 

 

Pour cet exercice de Maths En Poche   

 

 

clique sur l'image pour accéder à l'exercice

 

 

 

un petit rappel de cours devrait suffire

tout d'abord avec le manuel sesamath sixième

 

 

 

 

puis en utilisant deux petits programmes exercices du site euler (académie de Versailles)  qui te feront réviser le vocabulaire utilisé pour les fractions

 

 

Déterminer un nombre connaissant son rapport avec un nombre donné

 

Traduire le rapport entre deux nombres en langage naturel
                   

 


 

 


 

Mais si tu as quelques difficultés à obtenir la première réponse, l'exemple ci-dessous devrait te mettre sur la piste.

 

clique sur l'image pour accéder à l'exercice

 

 

 

 

 


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12 mars 2011 6 12 /03 /mars /2011 00:06

 

Exercice issu du manuel sésamath 3ème

 

 


 

 






a) La méthode la plus simple et la plus sure pour calculer le PGCD de deux nombres
est la méthode des soustractions successives




(pour voir l'aide de Mathenpoche à propos de cette méthode, clique sur le cadre vert)

Utilise cette méthode pour répondre à la question a)

puis vérifie ton résultat en utilisant ce petit programme
Calcul du PGCD
La méthode utilisée ici est celle de l'algorithme d'Euclide




Tu peux aussi vérifier le PGCD que tu as calculé
en utilisant le petit tableau de calcul ci-dessous.
clique sur le tableau pour y accéder


Bien sur, pour la question b) tu peux te servir de ta calculatrice
pour obtenir la fraction simplifiée.

Mais si tu veux obtenir les points correspondant à la rédaction de la solution
il faut que tu montres que tu sais utiliser le PGCD de deux nombres pour simplifier
la fraction correspondante qui a l'un au numérateur et l'autre au dénominateur.

Ici tu diviseras donc le numérateur et le dénominateur de la fraction
par le PGCD de ces deux nombres pour obtenir la fraction simplifiée.

( un autre outil pour obtenir directement le résultat )



Pour la suite de la réponse à la question b.
il te faudra calculer la différence des deux fractions

Ce calcul, ta calculatrice en donnera le résultat directement
mais toi tu devras montrer comment on l'obtient,
à partir de deux fractions qui ont le même dénominateur.

(petit rappel de la méthode sur un exemple)



 ( un autre outil pour obtenir directement le résultat )



La réponse à la question c. nécessite que tu saches faire la différence entre
un nombre entier
un nombre décimal
un nombre rationnel

Dès lors, la réponse est immédiate.

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11 mars 2011 5 11 /03 /mars /2011 22:46

 

 

 

 

 

Rappel du cours, voir en fin d'article


 

 

Sur Euler, site de l'académie de Versaille, un exercice guidé propose de déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine connaissant deux entiers relatifs et leur image entière.
                   

(Ne te rapporte aux détails de l'exercice ci-dessous, que si tu ne parviens pas à te débrouiller sans aide)

 

 

 

 

L'expression algébrique d'une fonction affine est connue dès qu'on connait les deux coefficients a et b.

Les renseignements donnés dans l'énoncé permettent d'écrire deux égalités

en effet de f(x) = ax + b

 

 

 

 

 

= -4

 

= 1

 

 

 

On peut déduire que 

(ces deux égalités, vérifiées en même temps forment un système que l'on va résoudre pour obtenir les valeurs de a et de b qui conviennent)

 

Pour déterminer a, on procédera comme indiqué dans le cours (méthode de substitution

De la première équation on déduit que

 b = -4 - 5a

Que l'on reporte dans la seconde (en remplaçant b par son expression en fonction de a) pour obtenir

 3a + ( -4 -5a) = 1

3a - 4 - 5a = 1

-2a = 1 +4

-2a = 5

d'où

 

En reprenant l'expression   b = -4 - 5a et en remplaçant a par sa valeur on déduit l'égalité  :

b = -4 - 5 x (-5)/2

b = -4 + 25/2

 

Le graphique de la fonction f étant 

où l'on retrouve que f(3) = 1 (point de coordonnée (3;1) )

et f(5) = -4 (point de coordonnées (5;-4)

 

 

 

Tu retrouveras tous les éléments de ce développement dans l'exercice en cliquant ici

 

 

Ici encore, tu pourras utiliser le programme de Roland

Fonctions affines, graphiques : voir (avec deux points quelconques)

 

qui permet de placer les points correspondant aux renseignements de l'énoncé (image de deux valeurs) pour vérifier tes résultats

 

Pour cela tu pourras cliquer ici

 

 


 

 

Pour un rappel du cours complet sur la détermination de l'expression d'une fonction connaissant l'image de deux valeurs (ou deux points de la courbe  ... ce qui revient au même)

 

 

 

 

 

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11 mars 2011 5 11 /03 /mars /2011 01:42

L'outil (de Roland Dassonval) que j'ai présenté dans

Troisième - Système d'équations à deux inconnues -
Exercice guidé par Roland Dassonval

peut aussi être utilisé d'une autre manière

(et Roland a fait un outil ouvert pour permettre tout type d'utilisation)

 

Ainsi il permet de tracer le graphique de deux fonctions affines et de déterminer un encadrement  du point d'intersection des droites correspondantes.

 

Soient par exemple les deux fonctions affines

f définie par f(x) = -2x + 8      ( y (image de x par f) -2x + 8)

et

g défine par g(x) = 3x - 2     ( y (image de x par g) 3x - 2)

 

Les graphiques associés à ces fonctions affines sont des droites d'équations respectives :

( y (image de x par f) -2x + 8)

et

  ( y (image de x par g) 3x - 2)


Pour la fonction   f  cette droite passe par le point (0,8) (ordonnée à l'origine)

et a comme coefficient directeur -2 (le coefficient de x)

elle passe donc aussi par le point (1,6) ( quand on ajoute 1 à l'abscisse l'ordonnée augmente de -2, c'est à dire diminue de 2 ce qui donne à partir du point de coordonnée (0,8)  le point de coordonnée (0+1;8-2) et donc  (1;6)  )

 



(Tu peux vérifier que la droite qui passe par ces deux points en utilisant le petit utilitaire qui se trouve ici

 

-clique sur l'image si tu désires accéder à l'utilitaire qui donne l'équation d'une droite connaissant deux de ses points-

 

 Il te faudra saisir pour chaque fonction les deux points dont nous avons calculé les coordonnées)


 

Pour la fonction   g cette droite passe par le point (0,-2) (ordonnée à l'origine)

et a comme coefficient directeur 3 (le coefficient de x )

elle passe donc aussi par le point (1,1) ( quand on ajoute 1 à l'abscisse l'ordonnée augmente de 3, ce qui donne à partir du point de coordonnée (0,-2)  le point de coordonnée (0+1;-2+3) c'est-à-dire (1;1)  )

 

 

Le programme de Roland te permettra d'ajuster la position des deux points qui définissent la droite, (et donc, la fonction correspondante )

 

Tu remarqueras que les équations des droite ne sont pas données sous la forme habituelle:

y = -2x + 8 (ou encore y + 2x = 8)    pour la première 

mais sous une forme équivalente : y + 2x - 8 = 0

 

 

(Les deux points verts sont les points qui nous ont permis de tracer le graphe de la fonction f 

 Les deux points bleus sont les points qui nous ont permis de tracer le graphe de la fonction g)

 


 

 

Prenons comme exemple d'application un exercice du livre sesamath troisième .

 

 

 

Ce qui est écrit dans l'énoncé revient à dire que le graphique de la fonction g (qui, tu le sais maintenant, est une droite) passe par les points de coordonnée (3;8) et (-1;-12)

 

Bien sur, tu vas d'abord chercher seul l'équation de cette fonction

en utilisant la méthode que tu as appris en cours

(ici un petit rappel du livre sesamath)

 

 

 

Une fois que tu as obtenu la valeur des coefficient a et b de la fonction affine g tu n'as plus qu'à utiliser le programme de Roland pour vérifier si tes résultats sont exacts.

 

(clique sur l'image pour y accéder)

 

 

(C'est la droite en vert que tu dois obtenir si tu as correctement placé les deux points donnés par l'énoncé

 Alors tu obtiendras l'équation de la droite, mais donnée sous une forme que tu devras transformer pour obtenir l'expression de la fonction g . Puisqu'il te faudra l'écrire sous la forme y = ax + b

Remarque : ici la droite bleue ne correspond à aucune donnée de l'énoncé. )

 

 


 

Bien sur, Roland a prévu le cas où l'on étudie une seule fonction.

 

Dans la version ci-dessous du programme, tu auras une véritable révision des notions essentielles en rapport avec les fonctions affines.

A savoir les notions de :

 

coefficient directeur (avec l'explication de son mode de calcul à partir des coordonnées de deux points de la droite) qui correspond au coefficient de x, a

ordonnée à l'origine qui correspond à la constante b

 


 

 

(clique sur l'image pour y accéder)

 

 

(Tu auras davantage de détails sur la manière dont on calcule les coefficient a et b en utilisant un autre programme de Roland :

Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine : laquelle ?

Tout y est expliqué pas à pas et tu peux modifier les paramètres de l'exemple.)

 

Pour t'entrainer à l'utilisation de ce programme, tu peux t'en servir pour répondre rapidement aux questions d'un exercice de mathenpoche sur ce thème

 

Déterminer l'expression d'une fonction affine (système)

 

 

 (le programme de Roland  te donnera la solution de la seconde question, mais pas de la première. Pour cette question, il te suffira d'écrire ce que veut dire par exemple

sachant que f(x) = ax + b 

puisque la fonction f étudiée dans l'exercice est affine.

 

L'exemple en image te montre la forme de la réponse à donner)


(Ici le programme de Roland  te donnera le résultat final à savoir les valuer de a et b - ce qui est déjà pas mal, mais insuffisant dans un contrôle - à toi de découvrir les calculs qui permettent d'obtenir  ces valeurs)

 

L'exemple en image te montre la forme de la réponse à donner. Et sur la droite, la correstion te rappelle la formule à utiliser.)


Pour finir, un exercice guidé sur ce thème (site Euler de l'académie de Versaille)

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10 mars 2011 4 10 /03 /mars /2011 00:53

 

 

Un petit exercice pour visualiser des situations où l'on se sert de calculs à trou (on dira plus tard "d'équations")

 

 

x représente une longueur (toujours la même) que l'on ne connaît pas.

 

Il s'agit dans cet exercice de déterminer la mesure de tous les côtés de la figures.

 

(On peut procéder par tâtonnement, c'est-à-dire en testant une valeur, en vérifiant si elle convient. Et si ce n'est pas le cas, en testant une valeur voisine qui donne un meilleur résultat)

 

 

 


Source du document :

 

 

...


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8 mars 2011 2 08 /03 /mars /2011 23:41

Ceux qui veulent commencer à résoudre un système de deux équations à deux inconnues (du premier degré), en étant guidé le long de la méthode pas à pas, vont apprécier ce que propose Roland ici.

 

 

(Remarque : si rien ne se passe après avoir saisi une donnée c'est que la proposition de réponse est fausse. Dès que dans la case remplie la valeur est exacte, le programme continue.)

 

 

 

Tout d'abord en utilisant la méthode par substitution

 

(clique sur cette image pour accéder à l'exercice de résolution guidé)

 

(Ce que je donne ici est un exemple qui te familiarisera avec l'écran que tu rencontreras et complèteras.)

 



Continuons avec Roland par la méthode par combinaison

(le plus souvent c'est ce que tu obtiendras dans cet exercice)

 

 

 

 

 

(sur cette page tu pourras déplacer les deux points bleus et les deux points verts pour définir les deux droites qui correspondent aux deux équations)

 

(clique sur cette image pour accéder à l'exercice de résolution guidé)


 

 

 

 

(La suite des images  que je donne ici correspond à  un exemple qui te familiarisera avec l'écran que tu rencontreras et complèteras. Mais tu peux très bien commencer sans lire cette partie. )

 

 

 


 

 

 

 

 

Lorsque tu auras donné un encadrement de l'abscisse et de l'ordonnée du point d'intersection des deux droites - c'est à dire du couple solution du système - tu pourras passer à la résolution en appuyant sur la flèche grise en bas de l'écran.

 

 

 

 

 

 

Ici on te propose de déterminer, dans un premier temps, les nombres qui permettent d'éliminer la variable y, Pour cela, regarde bien le résultat vers lequel te guide le programme (il s'agit de trouver le même nombre de y dans les deux équations, avec un signe - dans la seconde pour que par addition ces quantités s'annulent. 

On peut alors déterminer la valeur de l'inconnue qui reste ( x).

 

 

 

 

 

 

 

Ici on te propose de déterminer, dans un second temps, les nombres qui permettent d'éliminer la variable x, Pour cela, regarde bien le résultat vers lequel te guide le programme (il s'agit de trouver le même nombre de x dans les deux équations, avec un signe - dans la seconde pour que par addition ces quantités s'annulent.

On peut alors déterminer la valeur de l'inconnue qui reste ( y).

 

 

 

 

Le graphique qui permet un encadrement des valeurs solutions  x et  y permet de vérifier que les solutions obtenues correspondent à l'intersection des deux droites (le point I dont l'abscisse et l'ordonnée sont les deux valeurs  x et  y ).

 

 

 

 

 

 


Comme le précise Roland, si dans l'une ou l'autre des équations,  l'un des deux coefficients de x ou de y est 1, alors il vaut mieux utiliser la méthode par substitution

(il te faudra ajuster les points pour obtenir ce cas. Tu pourras dans un premier temps essayer celui que te propose l'exemple ci-dessous. Mais tu peux très bien commencer sans lire cette partie. )

 

(clique sur cette image pour accéder à l'exercice de résolution guidé
à condition de placer les points pour obtenir un des coefficients de x ou de y à 1 )

 

Dans L'exemple, c'est le coefficient de x dans la seconde équation qui est à 1

remarque : cette équation pourrait aussi s'écrire 1 x+9y = 41

 

 

 

(Ici encore, la suite des images  que je donne correspond à  un exemple qui te familiarisera avec l'écran que tu rencontreras et complèteras. Mais tu peux très bien commencer sans lire cette partie.)

 

 

 

On te propose ici de donner un encadrement des valeurs x et  y en te servant des deux droites

En effet la solution correspond  au point d'intersection (il vérifie les deux équations) et donc à ses coordonnées.

(Lorsque l'encadrement que tu proposes est exact, tu passes à la résolution. Si ce n'est pas le cas, il faut corriger ta proposition jusqu'à ce qu'elle soit juste. Ici, la valeur manquante est 5 ).

 

 

 

Cet écran te prévient ici que la méthode choisie sera la méthode par substitution

 

 

 

 

 

 

 

On choisit donc d'isoler x dans l'équation où son coefficient est 1 (ici c'est la seconde)

Le programme te demandera de compléter l'égalité.

 

 

 

 

On remplace  x par sa valeur en fonction de y dans l'autre équation que l'on résoud pour obtenir y ... 

Le programme te demandera de compléter toutes ces phases.

 

 

 

 

 

Le graphique qui rend possible un encadrement des valeurs solutions  x et  y permet de vérifier que les solutions obtenues correspondent à l'intersection des deux droites (le point I dont l'abscisse et l'ordonnée sont les deux valeurs  x et  y ).

 

 


Pour relancer l'exercice, il te suffit à la fin d'appuyer sur la touche  F5  de ton clavier

 

 


 

 

Et merci encore à Roland

(Chez qui il y a plein d'autres choses à picorer)

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7 mars 2011 1 07 /03 /mars /2011 21:58

 

 

(En bas de la page l'outil de Daniel Mentrard, plus complexe mais beaucoup plus complet que ceux proposés ci-dessous)

 


 

 

Bien sur cet outil doit être utilisé surtout pour vérifier les résultats qu'on a obtenu

(par exemple dans les exercices de
 Troisième - Système de deux équations à deux inconnues - exercices )

soit par la méthode de substitution

(Le cours)

soit par la méthode de combinaison

  (Le cours)

 

Ce solveur de système donne les solutions dès lors qu'on lui entre les coefficients des inconnues x et  y des deux équations ainsi que leur second membre.

 

 

 

Par exemple pour le système d'équations

 

On saisira les coefficients comme ci-dessous (attention à ne pas oublier le signe)


 

Le solveur donne le couple solution sous la forme de nombres décimaux et donc sous la forme de résultats approchés. (Il ne permet donc pas de déterminer les solutions fractionnaires mais permet de les vérifier en en donnant une valeur approchée

Ces solutions sont ici ( -5/14 ; 20/21 ) )

 

 

(-0,357142 est la valeur approchée de -5/14 et 0,952380 celle de 20/21)

 

Pour accéder au solveur d'équations clique ici



 

 

Pour un autre outil qui propose une approche graphique ici

(il faut cliquer sur le bouton click here to start   )

 

Pour un autre outil qui donne les valeurs en proposant une solution détaillée par combinaison ou par substitution ici

(il faut descendre dans l'écran jusqu'au paragraphe 3° L'aplette résolvant les systèmes )

 

 


L'excellent outil de Daniel Mentrard qui, sous la forme d'une feuille de calcul, propose la résolution et donne la solution de tout système de deux équations à deux inconnues du premier degré. (méthode par combinaison)

Il suffit de saisir le système puis de donner les coefficients multiplicateurs qui permettent d'éliminer une des deux inconnues.

. (moins immédiat mais beaucoup plus complet que les autres outils proposés)

 

cliquer sur le tableau pour le charger

 

 

 

Pour un résultat correspondant à l'exemple donné plus haut cliquer ici

on y voit comment éliminer une des deux inconnues et calculer la valeur de celle qui reste.

 

On obtient les solutions sous la forme fractionnaire et sous la forme décimale données précédemment.

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6 mars 2011 7 06 /03 /mars /2011 22:48

 

 


 Tout d'abord : quelques conseils pour choisir une ou l'autre des méthodes de résolution

 

 


 

 

Des exercices progressifs

 

 

 

Exercice où l'on propose de résoudre un systèmes de deux équations à deux inconnues du premier degré en utilisant la méthode "par substitution"

L'exercice est  guidé pas à pas    et une correction en est donnée (seconde page).

(C'est l'équivalent papier  de cet exercice de mathenpoche)

 

clique sur la page pour accéder au document

 


 

Exercice où l'on propose de résoudre un systèmes de deux équations à deux inconnues du premier degré en utilisant la méthode "par combinaison"

L'exercice est guidé pas à pas et une correction en est donnée (seconde page).

(C'est l'équivalent papier de cet exercice de mathenpoche)

 

 

 clique sur la page pour accéder au document

 


 

Cinq exercices où l'on propose de résoudre un systèmes de deux équations à deux inconnues du premier degré.

Une correction détaillée est donnée.

(C'est l'équivalent papier de cet exercice de mathenpoche)

 

 

clique sur la page pour accéder au document

 

 

 


 

 

Quatre séries d'exercices où l'on propose de résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues du premier degré.

 

Une correction est proposée qui utilise la méthode par combinaison.

 

           
  série 1 série 2 série 3 série 4  
           

 

 

 

 


 

 

 

Exercices sans corrigé, mais avec les solutions

 

 

         
              
         

Les exercices et les solutions

 

 

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5 mars 2011 6 05 /03 /mars /2011 23:23

 

 

 

Introduction facultative

Avec un renseignement (du type égalité) concernant une donnée inconnue, on peut écrire une équation à une inconnue.

 

Exemple : la somme de sept et  du carré du double d'un nombre fait treize

peut se résumer en écriture mathématiques sous la forme :

 

7 + (4x)² = 13

 

Résoudre une telle équation c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie (ici il y en a deux : x = 0,5 et x = -0,5)

 

Avec deux inconnues, il faut en général deux renseignements (au moins) pour pouvoir résoudre.
Ces deux renseignements donnent deux équations supposées vraies en même temps.

Nous allons traîter ici du cas où ces deux équations sont du premier degré.



 

Sur  Maths En Poche  Vérifier qu'un couple de valeurs est solution d'un système d'équations à deux inconnues

 


Les méthodes

 


 

 


 


voir la présentation de la méthode de résolution par substitution sur le manuel sésamath

 

 

 

 

 

 

Sur  Maths En Poche  la méthode par   Substitution (assisté)  

 

 

 

 

voir la présentation de la méthode de résolution par combinaison sur le manuel sésamath

 


 

Sur  Maths En Poche  la méthode par   Combinaison (assisté)  

 

 

 


 

 

 

Système de deux équations à deux inconnues : interprétation graphique

 

  sur  http://mathematiques3.free.fr 

(Académie de Lille)

 

 

 

cliquer sur l'image

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Sur  Maths En Poche

Exercices de synthèse

 

 

 

 


 

 

 

  sur  http://mathematiques3.free.fr 

(Académie de Lille)

Des situations problèmes dont la solution passe par la résolution d'un système d'équations
(qu'il faudra dans un premier temps trouver)

 





Un cours animé de JP Huerga    
du Collège Chaumié d'Agen

 
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