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Philippe Mercier

 

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Des rubriques et des lieux

2 avril 2011 6 02 /04 /avril /2011 11:30

99999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

9999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

99999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

999999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

9999999999 ne peut pas être écrit comme somme de trois carrés

 


 

Un exemple suffit pour prouver qu'un théorème est faux

 

Alors que des milliards d'exemples ne prouvent rien

 

     
    

 

Théorème : tout nombre supérieur à 100 dont l'écriture décimale ne comporte que des 9 ne peut être écrit comme somme de trois carrés.
     
     

 

A toi de jouer ...

 


 

 

 

 

*

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31 mars 2011 4 31 /03 /mars /2011 20:04

Suite au travail

 

 

Le contrôle prévu pour le 1er Avril

(fichier complet du devoir en cliquant sur cet extrait)

 

et ce n'est pas un poisson des îles d'Havre*.

 

 

 

 


 

*Appelé aussi "poisson d'Havr'îles"

 


 

--


--

 


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30 mars 2011 3 30 /03 /mars /2011 16:22

 

Petite révision à propos : 


du calcul des volumes des solides courants (+ ceux de l'an passé)

du coefficient d'agrandissement d'un solide et de ses conséquences sur son volume

 

 

 

Mais d'abord un rappel des formules

 

sur le site Euler (de l'Académie de Versailles)

 

Volume d'un cône
Volume d'un cube
Volume d'un cylindre
Volume d'un parallélépipède rectangle
Volume d'une pyramide

 

 

 

sur le manuel Sésamath (cinquième, quatrième et troisième)

 

 

 

 

 

 

 

 

Volume d'un cylindre de révolution et d'un prisme droit

 

 

 

 

Volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution

 

 

 

Aire d'une sphère et volume d'une boule

 

 

 

 

 

 

 

Déterminer le rapport d'agrandissement ou de réduction

de deux parallélépipèdes rectangles de volumes donnés

 

 

 

 

 

 

 


Calculer le volume d'une boule de rayon donné
                   

 

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 


 

 

 

 

 

 

 


En anglais

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30 mars 2011 3 30 /03 /mars /2011 05:47

 

Un outil bien pratique (ici) nous donne cette analyse du nombre du jour :

 

 

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28 mars 2011 1 28 /03 /mars /2011 22:35

http://farm3.static.flickr.com/2702/4170048190_e387ef08d5.jpg

 

 

 

 

Rappelons une règle importante qui aura des conséquences dans le calcul littéral et notamment dans la justification des résultats qui vont suivre cette règle :

 

Pour additionner deux quantités, il faut qu'elles aient une unité commune

La somme de deux quantités aura comme unité l'unité commune


Le produit de deux quantités aura comme unité le produit des unités


 

Ainsi :

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x

et

5x x 3x = 5 x 3 x x x x = 15x²

 


Les règles d'addition de deux fractions et de multiplication de deux fractions sont des conséquences directes de ces règles

trois quarts plus deux quarts est égal à trois plus deux, quarts

trois quarts fois deux quarts est égal à trois fois deux, seizièmes (1/4 x 1/4 = 1/16)

 

 

Et donc :

On ne peut additionner ou soustraire des fractions que lorsqu'elles ont le même dénominateur

 

 
 

 




(sur le manuel sesamath 4ème  - une toute nouvelle version vient de sortir, elle est présentée ici)

 

 

Et pour la multiplication (règle vue en cinquième)

Pour obtenir le produit de deux fractions on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

 


(sur le manuel sesamath 5ème  - une nouvelle version vient de sortir, elle est présentée ici)

 

 

 

 

http://farm4.static.flickr.com/3086/3154199628_1acf84e9ca_o.jpg

 

 

Quelques applications en version papier, avec le corrigé détaillé (que tu obtiendras, après avoir rédigé tes réponses sur feuille pour une série, en cliquant sur l'exercice)

 

Additions de fraction

 

 

Soustractions de fraction

 

 

 

 

Multiplications de fraction I

 

 

 

 

Multiplications de fraction II

 

  Le document complet

 

 

 

 

L'image « http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/tableaux/notation-croix-fractions.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

 

 

 

 

 

Les exercices de Maths En Poche  sur l'addition et la soustraction des fractions

(si tu es au point, passe tout de suite aux exercices 7,8 et 9, en cas de difficulté, revient sur les premiers exercices)

 

 

1. Règles d'addition et de soustraction
2. Un dénominateur est multiple des autres
3. Dénominateur commun à deux fractions
4. Dénominateur commun à deux fractions (bis)
5. Dénominateur commun à plusieurs fractions
6. Sommes, différences, cas général (nombres positifs)
7. Sommes, différences, cas général (niveau 1)
8. Sommes, différences, cas général (niveau 2)
9. Sommes, différences, cas général (niveau 3)

 

 

Les exercices de Maths En Poche  sur le produit de fractions

(même consigne)

 

1. Règle du produit
2. Signe
3. Simplifications (sans signe)
4. Simplifications (avec signe)
5. Simplifications
6. Carré d'une fraction
7. Simplifications complexes

 

 

Les exercices de Maths En Poche  sur le quotient de fractions

(même consigne)

 

1. Inverse d'un nombre
2. Inverse d'un nombre fractionnaire
3. Inverses
4. Multiplier par l'inverse
5. Divisions de fractions, lien avec le produit
6. Divisions de fractions (à trous)
7. Divisions de fractions (à trous, bis)
8. Divisions de fractions
9. Notation en ligne et notation frationnaire

 

 

 

 


L'image « http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/calculs/table-d--addition-de-un-quart.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

 

 

 

 

 

 

 

 



 

Voir aussi

Fractions et Pourcentages - travail visuel sur tableur


 

 


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28 mars 2011 1 28 /03 /mars /2011 06:01

 

En anglais, un outil qui permet de vérifier les solutions obtenues pour une équation.

 

Sur un exemple :

 

On saisit au clavier

 

 

 

 

 

Après avoir cliqué sur l'égalité en fin de ligne, on obtient l'écriture classique de l'équation :

 

 

 

 

 

 

En dessous de cette écriture, le programme donne la solution en développant (si on le demande) la méthode .

 

 

 

 

 

 

Une interprétation graphique est ensuite proposée qui montre que la solution de l'équation correspond à l'intersection des deux courbes définies par chacun des deux membres de l'équation.

 

 

 

 

 

 

 

Tu peux tester ce programme ici

 

Equations du premier degré à une inconnue


 

 

 

Tu pourras également vérifier tes résultats des exercices de Maths En Poche 
 

(à condition d'ouvrir l'exercice dans une nouvelle fenêtre)

 

 

 

1. Ax+b=c
2. Ax+b=cx+d
3. Avec des parenthèses
4. Fractions (niveau 1)
5. Fractions (niveau 2)
6. Synthèse

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26 mars 2011 6 26 /03 /mars /2011 14:43

 

 

 

 

Ce nombre que l'on trouve, un peu partout dans les documents qui évoquent la magie, est aussi un nombre remarquable du point de vue mathématiques

( voir ici et )

 

Les multiples propriétés (plus ou moins capillotractées ) peuvent se trouver ici et

 

 

Une (au moins) des propriétés semble manquer (à moins d'une inattention de ma part)

 

Si considère les nombres 6 premiers consécutifs : 

 19 (3x6 +1*) ; 23; 29 ; 31 ; 37 et 41

le produit du premier par 1

additionné au produit du second par 2

...

additionné au produit du sixième par 6

donne

 

Résumé en écriture mathématique, cela s'écrit

1 x 19 + 2 x 23 + 3 x 29 + 4 x 31 + 5 x 37  = 666

 

 

 


 

 

En marge, une démonstration facile :  

"Aucun nombre premier n'est à plus d'une unité d'un multiple de 6"

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25 mars 2011 5 25 /03 /mars /2011 23:33

 

Source : The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

 

 

 

 

 

N. J. A. Sloane, Table of n, prime(n) for n = 1..10000

N. J. A. Sloane, Table of n, prime(n) for n = 1..100000

M. Agrawal, N. Kayal & N. Saxena, PRIMES is in P, Annals of Maths., 160 no.2 (2004) pp. 781-793

M. Agrawal, N. Kayal & N. Saxena, PRIMES is in P

M. Agrawal, A Short History of "PRIMES is in P"

P. Alfeld, Notes and Literature on Prime Numbers

Anonymous, Prime Number Master Index (for primes up to 2*10^7)

Anonymous, Primzahlenliste(Prime List Generator)

Anonymous, prime number

D. J. Bernstein, Proving Primality After Agrawal-Kayal-Saxena

D. J. Bernstein, Distinguishing prime numbers from composite numbers

P. Berrizbeitia, Sharpening "Primes is in P" for a large family of numbers

A. Booker, The Nth Prime Page

F. Bornemann, PRIMES Is in P:A Breakthrough for "Everyman"

A. Bowyer, Formulae for Primes

B. M. Bredikhin, Prime number

R. P. Brent, Primality testing and integer factorization

J. Britton, Prime Number List

D. Butler, The first 2000 Prime Numbers

C. K. Caldwell, The Prime Pages

C. K. Caldwell, Tables of primes

C. K. Caldwell, The first 10000 primes

C. K. Caldwell, A Primality Test

M. Chamness, Prime number generator (Applet)

P. Cox, Primes is in P

P. J. Davis & R. Hersh, The Mathematical Experience, The Prime Number Theorem

J.-M. De Koninck, Les nombres premiers: mysteres et consolation

J.-P. Delahaye, Formules et nombres premiers

J. Elie, L'algorithme AKS ou Les nombres premiers sont de classe P

L. Euler, Observations on a theorem of Fermat and others on looking at prime numbers

W. Fendt, Table of Primes from 1 to 1000000000000

P. Flajolet, S. Gerhold and B. Salvy, On the non-holonomic character of logarithms, powers and the n-th prime function

J. Flamant, Primes up to one million

K. Ford, Expositions of the PRIMES is in P theorem.

L. & Y. Gallot, The Chronology of Prime Number Records

P. Garrett, Big Primes, Factoring Big Integers

P. Garrett, Naive Primality Test

P. Garrett, Listing Primes

N. Gast, PRIMES is in P: Manindra Agrawal, Neeraj Kayal and Nitin Saxena (in French)

D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz and C. Y. Yildirim, Small gaps between primes and almost primes A. Granville, It is easy to determine whether a given integer is prime (alternate link)

P. Hartmann, Prime number proofs

ICON Project, List of first 50000 primes grouped within ten columns

N. Kayal & N. Saxena, Resonance 11-2002, A polynomial time algorithm to test if a number is prime or not

M.-H. Kim, Unsolved Problems In Number Theory

J.-M. De Koninck, Nombres premiers: mysteres et enjeux

E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, vol. 1 and vol. 2, Leipzig, Berlin, B. G. Teubner, 1909.

D. N. Lehmer, Table of the First 2500 Prime Numbers, Carnegie Institute of Washington,1914.

W. Liang & H. Yan, Pseudo Random test of prime numbers

J. Malkevitch, Primes

MathIsFun.com, Prime Numbers Chart

Mathworld Headline News, Primality Testing is Easy

K. Matthews, Generating prime numbers

Y. Motohashi, Prime numbers-your gems

J. Moyer, Some Prime Numbers

C. W. Neville, New Results on Primes from an Old Proof of Euler's

L. C. Noll, Prime numbers, Mersenne Primes, Perfect Numbers, etc.

J. J. O'Connor & E. F. Robertson, Prime Numbers

M. Ogihara & S. Radziszowski, Agrawal-Kayal-Saxena Algorithm for Testing Primality in Polynomial Time

P. Papaphilippou, Plotter of prime numbers frequency graph (flash object) [From Philippos Papaphilippou (philippos(AT)safe-mail.net), Jun 02 2010]

J. M. Parganin, Primes less than 50000

I. Peterson, Prime Pursuits

O. E. Pol, Numeros primos

O. E. Pol, Illustration of initial terms.

Prime-Numbers.org, Prime-Numbers.org (Prime Tester & List Server)

Primefan, The First 500 Prime Numbers

Primefan, Script to Calculate Prime Numbers

Project Gutenberg Etext, First 100,000 Prime Numbers

C. D. Pruitt, Formulae for Generating All Prime Numbers

R. Ramachandran, Frontline 19 (17) 08-2000, A Prime Solution

W. S. Renwick, EDSAC log.

F. Richman, Generating primes by the sieve of Eratosthenes

J. Barkley Rosser and Lowell Schoenfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers (scan of some key pages from an ancient annotated photocopy)

S. M. Ruiz and J. Sondow, Formulas for pi(n) and the n-th prime.

S. O. S. Math, First 1000 Prime Numbers

A. Schulman, Prime Number Calculator

M. Slone, PlanetMath.Org, First thousand positive prime numbers

A. Stiglic, The PRIMES is in P little FAQ

Tomas Svoboda, List of primes up to 10^6 [Slow link] (From R. J. Mathar, Jul 23 2009)

J. Teitelbaum, Review of "Prime numbers:A computational perspective" by R.Crandall & C.Pomerance

J. Thonnard, Les nombres premiers(Primality check; Closest next prime; Factorizer)

J. Tramu, Movie of primes scrolling

A. Turpel, Aesthetics of the Prime Sequence

G. Villemin's Almanac of Numbers, Primes up to 10000

S. Wagon, Prime Time: Review of "Prime Numbers:A Computational Perspective" by R. Crandall & C. Pomerance

M. R. Watkins, unusual and physical methods for finding prime numbers

S. Wedeniwski, Primality Tests on Commutator Curves

E. Wegrzynowski, Les formules simples qui donnent des nombres premiers en grande quantites

Eric Weisstein's World of Mathematics, Prime Number.

Eric Weisstein's World of Mathematics, Prime Power

Eric Weisstein's World of Mathematics, Almost Prime.

Eric Weisstein's World of Mathematics, Prime-Generating Polynomial

Eric Weisstein's World of Mathematics, Prime Spiral.

 

 

 

 

 

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25 mars 2011 5 25 /03 /mars /2011 20:11

 

Cette aide est personnelle, et répond à une demande postée par E.,

mais elle peut également servir à tout élève qui désire faire le point sur les équations du second degré que l'on peut résoudre en troisième

ainsi que sur les procédés de factorisation qui permettent de résoudre ce type d'équation, notamment en liaison avec les identités remarquables.

 


(Les couleurs indiquent le niveau de difficulté de l'équation)

 


 

1)

E. propose d’évoquer les équations d’un genre qui lui pose encore problème, à savoir :

9x² + 21 –9 = 0

 

Cette équation peut encore se réduire

Elle est en effet équivalente à

9x² + 12 = 0

 

Sous cette forme, on voit qu’il s’agit d’une équation du second degré

(le terme en x est au carré d’où le qualificatif de second degré)

 

On ne peut résoudre une équation du second degré qu’en factorisant

A moins qu’une particularité de l’équation permette de conclure par un raccourci.

 

Ici, c’est le cas puisque

 9x²  est un nombre positif ou nul

 12 est un nombre positif

La somme de ces deux nombres ne peut être nulle

 

Il n’y a donc aucune solution à cette équation.

 

Il est possible qu’E. ait pensé à un autre type d’équation lorsqu’elle a fait sa proposition

et ait voulu écrire

2)

9x² + 21x –9 = 0

qui est une équation du second degré bien plus difficile à résoudre.

 

En effet, personne ne lui demandera (pas même au brevet) de résoudre une telle équation en classe de troisième.

Car comme je l’ai écrit précédemment

"On ne peut résoudre une équation du second degré qu’en factorisant"

Or, en classe de troisième, on ne sait pas factoriser le premier membre de l’équation.

Dans cette classe, on ne sait factoriser ce type d’écriture ( de forme générale ax² + bx + c  que lorsqu’on y reconnaît l’écriture d’une des identités remarquables.

Et aucune des trois identités remarquables comporte 3 membres avec un terme négatif pour c (le c de la forme générale)

 

Si l’équation était

3)

9x² + 21x + 9 = 0

on serait plus proche du terme

a² + 2ab + b² qui, comme on le sait, est égal à (a + b

9x² correspondant à a² (et donc 3x à a)  et  9 correspondant à b² (et donc 3 à b)  

mais, le terme du milieu (le double produit) qui devrait alors être 2ab (2 x a x b) c’est-à-dire ici 2 x 3x x 3 =  18x est 21x

On ne sait donc pas (en classe de troisième) factoriser, et donc résoudre cette équation.

 

Mais si E. avait eut à résoudre

4)

9x² + 18x + 9 = 0

elle aurait pu factoriser et obtenir (le carré d'une somme)

(3x + 3)² = 0  c’est-à-dire (3x + 3)(3x + 3) = 0

 

Et en se souvenant que

« Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul »

elle aurait pu conclure que

soit (3x + 3) = 0  qui donne 3x = -3 et donc 3x = -1  (premier facteur nul)

soit (3x + 3) = 0  qui donne la même valeur (dans un devoir on pourrait ne pas le préciser)

La solution (double, parce qu'on l'obtient deux fois) de cette équation est donc

3x = -1

 

 


Cinq exercices papier corrigés de type brevets sur le thème de l'équation produit nul

(avec les habituelles questions introduisant l'équation produit : développement, factorisation ...)

 

Conseil : choisir l'un des exercices, le traiter par écrit et envisager la solution des 4 autres mentalement avant de la vérifier avec la correction.

 

Pour la correction,

après avoir rédigé la solution sur feuille

cliquer sur l'image

 

 

 

Pour la correction,

après avoir rédigé la solution sur feuille

cliquer sur l'image

 

 

 

Pour la correction,

après avoir rédigé la solution sur feuille

cliquer sur l'image

 

 

 

 

Pour la correction,

après avoir rédigé la solution sur feuille

cliquer sur l'image

 

 

 

 

 

Pour la correction,

après avoir rédigé la solution sur feuille

cliquer sur l'image

 

 

 

 

 

 


En liaison avec le manuel sésamath troisième,

 

L'ensemble des aides pas à pas sur ce thème

 

 


Sur
Maths En Poche 


 

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24 mars 2011 4 24 /03 /mars /2011 22:22

 

 

Il existe des diorthotétragones sans axe de symétrie dont les côtés et une diagonale ont des longueurs commensurables, c'est à dire s'exprimant sous la forme de quantités entières.

 

C'est le cas notamment de ABCD tel que

AB = 1 033 296 572 ; BC = 1 730 099 355 ; CD = 1 257 873 435 et DA = 1 574 388 772

 

 

Le diorthotétragone BEDF (et sa construction)

ce n'est pas celui qui est évoqué au-dessus

 

Si tu en doutes, tu peux facilement vérifier avec ... le théorème de Pythagore.

 


 

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