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13 novembre 2009 5 13 /11 /novembre /2009 20:27
Cette propriété des triangles est une des acquisitions nouvelles des élèves dans leur classe de cinquième.

Cette "inégalité triangulaire" peut aussi se dire plus simplement
"inégalité quand il y a un triangle".

Elle n'a pas beaucoup changé de formulation dans le temps, ce qui me permet ici de donner sa rédaction en provenance d'un livre de 1900 *

L'image « http://accel10.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/inegalite-triangulaire.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

En fait, il y a ici pléonasme, puisqu'on pourra voir que le
"est plus grand que leur différence"
est une conséquence de
"est plus petit que la somme des deux autres"

Pour démontrer une propriété il est nécessaire de s'appuyer sur une définition.

Celle dont nous avons présentement besoin est celle qui concerne "la ligne droite" que nous appelons à notre époque "segment de droite".

Un segment de droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

C'est à dire

Le segment de droite [AB] est le plus court chemin qui relie le point A au point B

Que donne le livre cité sous la forme ancienne


inégalité triangulaire démonstration


L'énoncé mathématique de la dernière ligne
(qui n'est que la traduction de la phrase qui précède ... donc même pas une déduction.
Traduction qui suffit parfois à résoudre un exercice)
prouve la vérité de la première phrase de l'inégalité triangulaire.

Si ABC est un triangle (c'est à dire si A, B et C ne sont pas alignés)
alors
Un côté est plus petit que la somme des deux autres

Ce que le manuel Sésamath exprime donne sous la forme

(Pour la suite de la démonstration
"la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres"**

cliquer sur la petite image
L'image « http://accel6.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/inegalite-triangulaire---demonstration-2.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.

Inégalité triangulaire
(pour les exercices de sesamaths cliquer ici)***

On donne parfois un exercice assez difficile qui est présenté dans le livre de monsieur Bos.

L'image « http://accel17.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/inegalite-triangulaire---corollaire.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.
Inégalité triangulaire



Ou ici dans sa version Chronomath (Serge Mehl) tout à fait similaire
(ces maths là **** en plus de 100 ans, n'ont pas pris une ride)

Comme souvent, dans les démonstrations mathématiques qui ne sont pas immédiates, il est nécessaire de complêter la figure pour parvenir au résultat final.

C'est la raison d'être du point I et du pointillé sur la figure.

Pour une démonstration complête cliquer sur la petite image
L'image « http://accel11.mettre-put-idata.over-blog.com/0/04/35/24/cours/cinqui-mes/inegalite-triangulaire---corollaire---demonstration.jpg » ne peut être affichée, car elle contient des erreurs.
Autre exercice (plus qu')intéressant qui utilise l'inégalité triangulaire dans ses derniers retranchements ici ****

Pour finir, revenons au point de départ.

Assurément, on se souviendra bien de cette inégalité "triangulaire"
sous la forme
"Faire un détour rallonge toujours le chemin"

("Pour aller de A à B, si je passe par C qui n'est pas sur le trajet  ******,
   mon chemin est plus long")

et donc
Si A, B et C ne sont pas alignés, alors AB < BC + CA
(et même chose en partant de BC et de AC)

Rien donc de très révolutionnaire, mais une relation utile qui permet de se sortir de quelques problèmes épineux

dont celui ci
exercice 1) IMEL inégalité triangulaire

Plutôt orienté recherche cet autre
exercice 2) IMEL inégalité triangulaire



* Géométrie élémentaire H. Bos 1900 publié par la librairie Hachette
à destination des quatrièmes, troisièmes, secondes et philosophies.
(je recommande cet ouvrage à celui qui veut apprendre les mathématiques selon la méthode Jacotot, à savoir "aidé par les conseils de quelqu'un qui n'y connaît rien" )

**  On économisera le "toujours"
En mathématiques il n'y a pas de temporalité.
Ce qui est vrai l'est toujours ce qui est faux le reste à jamais
La précision est donc tout à fait inutile.
Mais pour les petites classes, bien sur, même si elle relève d'une incorrection du type "écrire des nombres avec des zéros inutiles"
elle peut aider à faire comprendre le sens.
En fait, elle remplace le "Pour tout triangle" ...

*** Jean-Louis Kahn faisait remarquer l'intérêt de cette propriété
"dont la réciproque est fausse ce qui n'est finalement pas si fréquent dans nos beaux programmes de collège."


**** si le lien ne fonctionne pas cliquer ici

***** Ne pas confondre avec Matelas

****** "Pas sur le trajet direct" ... "pas aligné

Article de Wikipédia "inégalité triangulaire"



(corrections le 25/09/2007 - Merci J-L-K)                                                     geombre

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