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4 février 2008 1 04 /02 /février /2008 19:15
Au collège la question de savoir si la conclusion contient toutes les solutions de la question commence à se poser .

Si l'on demande de trouver les nombres tels que :
"leur moitié augmentée de 2 soit inférieure à 3"

peut-on se contenter de dire

"c'est zéro"

et de vérifier qu'effectivement
0/2 + 2 < 3

?

Bien sur, cela ne suffit pas !

Mais alors, qu'est-ce qui manque dans notre manière d'arriver au résultat ?

Pour approcher cette interrogation
je propose de réponde à quelques question

Condition nécessaire condition suffisante condition nécessaire et suffisante
(clique pour agrandir la vue)

Ici, on se pose la question de savoir

"Quand la somme de deux nombres est-elle nulle ?"
Diverses propositions sont faites

1) "Quand les deux nombres sont nuls"

2) "Quand l'un est égal à -3 et l'autre à 3"

3) "Quand l'un est l'opposé de l'autre"


La proposition 1) est vraie
(alors que par exemple "les deux nombres sont égaux à 1" est faux)
Mais on peut avoir une somme de deux nombres nulle dans d'autres cas.
Donc cette condition n'est pas obligatoire.

Ainsi le cas donné par la proposition 2) convient aussi
puisque 3 + -3 donne effectivement un résultat nul 
Mais ici encore la condition donnée n'est pas obligatoire (en math on dit nécessaire) pour que la somme de deux nombres soit nulle.

En effet la proposition
2bis) "Quand l'un est égal à 4,15 et l'autre à -4,15" est vraie également.

Ce qui différencie la troisième proposition des autres
3) "Quand l'un est l'opposé de l'autre"
c'est que
si elle n'est pas vérifiée, alors ce que l'on désire
(que "la somme des deux nombres" soit "nulle" )
ne peut être vrai.

Nous avons trouvé avec 3) la condition minimale pour pour l'égalité
a + b = 0
soit vraie.

Pour que la somme de deux nombres soit nulle
il faut et il suffit
que l'un soit l'opposé de l'autre.

On voit ici que dans le cas de l'équation
a + b = 0

Il y a une infinité de valeurs qui conviennent
mais qui sont associées l'une à l'autre

a = 2 et b = -2 ; a = -0,142857 et b = 0,142857
...

La même étude des conditions pour qu'un produit soit nul conduirait à un nombre beaucoup plus réduit de solutions.

Mais tu peux voir cela seul(e)

Il s'agit de réfléchir aux conditions pour

a x b = 0

...

et tu obtiendras de même la condition minimale correspondante :

Pour que le produit  de deux nombres soit nul
il faut et il suffit
que ..................................


solution ici
(mais pas d'urgence,  tu la reverras plus tard)

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