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12 janvier 2008 6 12 /01 /janvier /2008 11:25
La résolution de l'équation
x² = a 
est très "maltraitée" en quatrième

En effet, dans cette classe, le chapitre concernant le théorème de Pythagore oblige à un passage furtif du côté de cet objet qui se retrouve dans un contexte qui n'est pas le sien (la géométrie)

Cela donne par exemple*

Dans le triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore me permet d'écrire

 AB² + AC² = BC²
je remplace avec les valeurs connues (AB = 4 ; AC = 3)

4² + 3² = BC²
16 + 9 = BC²
BC² = 25

Ici l'élève se sert de ce qu'on lui a appris
 1  "Pour trouver le nombre qui au carré donne 20 (ou sa valeur approchée) j'appuie sur la touche "racine carrée" de la calculette"

Il appuie et trouve
BC = 5

Ainsi, implicitement, cet élève a résolu l'équation évoquée au début de l'article, à savoir
x² = a 

Qu'en reste-il-dans sa tête ?

Probablement un peu de
"si je vois qu'une valeur convient, c'est que j'ai la solution"

Ce qui revient à confondre
"tester une valeur" dans une équation, pour "voir si elle convient"
avec
"résoudre l'équation"
c'est à dire transformer la question sans en perdre une miette jusqu'à la conclusion
(plus mathématiquement "procéder par équivalence")

Méthode rigoureuse, qui évite d'oublier en route des solutions.

Par la suite, il est probable que ce pli restera, et que, lorsqu'il s'agira de résoudre par exemple, l'équation
x² = 0,16

Cet élève ne comprendra pas pourquoi sa conclusion directe
x = 0,4

N'est pas acceptée comme telle, et pire, est jugée comme incomplète.

Il finira bien sur par admettre que la valeur -0,4 convient aussi
Mais il ne comprendra pas trop d'où elle vient (et il aura raison !)
ni même, son utilité.
grrr ! il pinaille le prof" !!!!

Peut-être qu'avant d'utiliser cette conclusion abrupte ( 1 ) un petit travail rigoureux serait nécessaire pour construire les bases qui risquent de manquer à l'équation évoquée et éviter le "réflexe" qui conduit à appuyer sur un bouton pour obtenir ce qui est censé être LA solution.

La proposition que je fais nécessite la connaissance d'une identité remarquable que l'on ne voit qu'en troisième, mais qui pourrait très bien être abordée en quatrième lors d'un travail concernant le développement d'expression littérale.

Si on sait donc que a² - b² = (a - b)(a + b)  
2 **

Alors si nous avons deux nombres, x et y,  dont le carré vaut N (positif***)
Alors x² =

D'où  x² - y² = 0
en utilisant  on en déduit que
(x - y)(x + y) = 0

Pour que ce produit soit nul, il faut que l'un de ses termes soient nul

Nous avons donc deux possibilités

(x - y) = 0 qui donne x = y
ou
(x + y) = 0 qui donne x = -y


Conclusion si deux nombres ont le même carré alors, soit ils sont égaux, soit ils sont opposés.

Cela permet d'affirmer que l'équation
x² = a

Possède deux solutions opposées.

A partir d'ici, il est possible d'en venir
aux petites touches qui donnent l'une des deux solution

Si donc, je "vois" que l'équation
x² = 0,16

a pour solution
(que me donne ma calculette ou mes capacités de calcul)
x = 0,4

     J'en déduis que
x = -0,4 convient également

Bien évidemment, le contexte peu me conduire à écarter une des deux solutions.

Par exemple
celle qui est positive, si je sais qu'il s'agit de déterminer une température sur Mars.
ou celle qui est négative, dans le cas de l'utilisation du théorème de Pythagore, puisqu'il s'agit alors de longueurs.





* Un exemple sur
Maths En Poche

** Que l'on obtient en développant
(a + b)(a - b)  = a x a + a x b - b x a - b x b
= a² - ab + ab - b²
= a² - b²



*** La règle des signes de la multiplication permet d'affirmer qu'un carré est toujours positif.
Donc si x² = a et que a est négatif, alors aucune valeur de x (connue) ne convient.

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commentaires

jeannin 21/01/2008 18:40

6.6 pour l'exercice de proportionalite

Comeau-Montasse 21/01/2008 22:24

Ce n'est pas assezil faudrait que tu me montres les endroits où tu as eu du malMais tout d'abord, de quel exercice s'agissait-il ?

poline typhaine 6 °3 21/01/2008 18:09

J AI EU DU MAL

Comeau-Montasse 21/01/2008 22:21

Pour quel exercice ?

philippe 21/01/2008 13:34

j'ai fais l'exo de proportionnalité 8.5/10

Comeau-Montasse 21/01/2008 22:19

Bien mais lequel  ?et là tu n'es pas sur le bon commentaire