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18 décembre 2007 2 18 /12 /décembre /2007 20:56
J'ai reçu une lettre sympathique d'un ancien élève dont j'extrais une petite partie ici.

Bonsoir,

 (...)

Je viens de rentrer de Fabert  (Lycée où K. est en maths sup et fait des étincelles notamment en maths. Je n'y suis pas pour grand chose, il était déjà très fort quand je l'ai eu en quatrième et troisième) et on a eu avec ma soeur et mon père, une discussion mathématique (sourire).

Et malgré tous mes efforts, impossible de leur faire comprendre un certain résultat. Je me rends compte à quel point c'est difficile d'expliquer simplement une notion que l'on a assimilé depuis longtemps !

Je voulais avoir des conseil à ce niveau, et j'en profite pour donner un peu de nouvelles.

 

J'ai voulu leur "prouver" intuitivement que la série 1/k² converge.
Donc je leur ai proposé le problème :
"Imaginez un tonneau vide, le premier jour vous y versez 1/4 de litre, le deuxième jour 1/9, le troisième 1/25 et ceci pendant des années.
Pensez-vous qu'un jour le tonneau débordera ?
".

Je leur ai bien fait comprendre que bien qu'on ajoute chaque jour une certaine quantité (pour illustrer la croissance de la série) celle-ci est de plus en plus infime, ils étaient bien d'accord là dessus.
Mais leur argument était  :
"Oui mais à force de remplir un moment ça déborbe forcément non ?"
Et en insistant sur la quantité toujours plus petite qu'on ajoute ils ont rétorqués :
"Si on fait ça pendant des millards et des milliards d'années, un jour le tonneau sera plein !".
Et là je suis un peu pris au dépourvu, car si je commence à sortir une des démonstrations de la convergence ça risque d'être encore plus flou (à ce propos le sujet d'analyse du capes de l'an dernier est génial, il propose diverses méthodes de résolutions).
Bref, comment avoir le dernier mot face à un public qui n'a pas de notion de mathématiques ?
Car ils restent focalisés sur la croissance de la série !
En plus j'ai eu le malheur de leur parler de la série harmonique qui elle aussi croît très lentement mais diverge...

(...)

Bonne soirée,

K.

PS : Ma soeur est prête à me donner 15 euros si j'arrive à la convaincre que le tonneau ne débordera jamais (sourire)²

 

Beau challenge que d'expliquer la notion de limite d'une somme de termes en nombre infini.

J'ai eu envie, après lui avoir envoyé mes propositions, de les déposer ici, parce qu'il me semble qu'elles disent "des choses" des quantités et éclaircissent un certain nombre de notions très élémentaires étudiées par ailleurs.


Un grand nombre de problèmes que l'on se pose ont une illustration simple qui s'appuie sur la notion, fondamentale en maths, de nombre et en particulier sur l'écriture décimale que nos mathématiques ont (majoritairement) choisis.

C'est le sens de la première proposition :

"Tu  peux attaquer avec un moyen très simple et très puissant : les nombres décimaux

si un récipient fait un litre
- que tu ajoutes 9 dixièmes (rang de la première décimale)
de litres le premier jour

- que tu ajoutes ensuite 9 centièmes (rang de la deuxième décimale)
de litres le second jour

- que tu ajoutes 9 millièmes (rang de la troisième décimale) de litres le troisième jour
...
- ... 9 au rang de la milliardième décimale le milliardième jour

Le seau ne sera jamais rempli !


Tout simplement parce que on ne peut pas faire des dixièmes avec moins de dix centièmes
et ainsi de suite
(mais cela se voit bien mieux en écrivant le nombre)

On peut même dire ce qu'il manquera le milliardième jour
à savoir cette milliardième décimale.
 

Ici nous avons la base d'une des erreurs les plus fréquentes chez les élèves de sixièmes, lorsqu'ils comparent des nombres décimaux.

Certains considèrent que 0,35 est plus petit que 0,349
parce qu'ils entendent
 "trente cinq" et "trois cent quarante neuf"

Or, quelque soit les décimales que l'on ajoute après le chiffre des dizaines, elles ne permettent pas de rattraper un retard qui se trouve à ce niveau
ainsi
0,35 est plus grand que 0,34
et donc
tout nombre qui s'écrit 0,34...
(les pointillés mis à la place du reste de l'écriture décimale)
est nécessairement plus petit que 0,35

On peut donc ajouter à un nombre une infinité d'autres nombres sans jamais que le résultat ne dépasse une certaine quantité.

Ce qui est le cas pour
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,000 9 + ... + 0,000 000 000 000 ... ... ... 9
qui, quelque soit le nombre de terme que l'on ajoute
est toujours inférieur à 1
(on peut même dire "ce qu'il lui manque pour aller à 1")



Cet exemple suffit à démontrer ce que dont K. voulait persuader son père et sa soeur.

Tout de même, je voulais m'approcher un peu plus de son exemple en donnant également une somme de fraction en très grand nombre, qui ne dépasse jamais une certaine valeur.

L'occasion de revisiter la notion de moyen et de s'appuyer sur la compréhension que chacun de nous en a.

Et en particulier le fait que

"si toutes les notes sont inférieures ou égale à une note donnée, la moyenne est inférieure ou égale à cette note"

et
que

"si au moins l'une d'entre elle est inférieure à cette note (et les autres égales), alors la moyenne est strictement inférieure à cette note."


"Il y a un autre moyen de montrer que quelque chose peut augmenter tout le temps et pourtant être limité.

Jean a 9 en maths (sourire)² a son premier contrôle
au second il a dix
chacun sera d'accord avec le fait que sa moyenne augmente (d'un demi point)
au troisième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un quart de point ... à vérifier...)
au quatrième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un huitième de point)
...
au 1000ième il a dix, sa moyenne augmente
(d'un sur 2^1000 point
un divisé par deux,  mille fois ou ce qui revient au même, divisé par le produit de mille deux)

Nous savons sans calcul que sa moyenne ne sera jamais supérieure à 10
puisqu'aucune note ne permet de la dépasser
et même qu'elle sera toujours inférieure
puisque toutes ses notes sont identiques sauf une qui est inférieure.


Cet exemple suffit lui aussi à démontrer ce que dont K. voulait mettre en évidence.

Et la notion de moyenne étant assez bien intégrée en général (y compris par les adultes ayant laissé leurs maths loin derrière eux) cette "démonstration" devrait être assez bien acceptée
(ma femme a refait discrètement un calcul sur le coin de la table de la cuisine ... puis m'a dit "c'est vrai ..." à propos de l'évolution de l'écart.)


Incorrigible j'avais aussi envie d'utiliser un moyen qui s'inspire de la forme spécifique du problème de K.
où l'on trouve ce qui peut avoir le sens de l'aire d'un carré (ce 1/4 qui est l'aire d'un carré de côté une demie unité, puis 1/9 aire d'un carré de côté un tiers d'unité ...)

Je me suis alors rappelé le Devoir Maison que j'ai donné à mes cinquièmes ce jour même, et où l'on trouve quelque chose qui se rapproche de cela.

Voir ci-dessous les dessins qui correspondent (cahier d'élève) à la transformation A de leur devoir, et à la Transformation B sur laquelle je vais m'appuyer par la suite.

Transformation A - 1

Transformation A étapes 2 à 5
D'où l'on déduit une transformation qui concerne les aires et qui se nomme Transformation B dans leur devoir

Transformation B
D'où le dernier moyen proposé à K. pour persuader son père et sa soeur.




Dernière  proposition
trace un segment [AB] de longueur 1 et un des carrés qui est construit dessus.
Nommons le ABCD
(c'est drôle, c'est le devoir maison que j'ai donné aux cinquièmes aujourd'hui (sourire)² )

Trace maintenant (la perpendiculaire) [A2D2] (au segment [AB] ) tel(le) que A2 est le milieu de [AB] et D2 est l'intersection des diagonales du carré.
Construit le carré A2BC2D2 (vois le schéma)

En reproduisant le procédé, autant de fois que l'on veut,
on obtient une série de carrés, dont la somme des surfaces n'occupera jamais le premier carré.
...

on peut faire la même chose avec ta série 1/n²

J'espère que l'une de ces preuves (plus que démonstrations) te permettra de convaincre ton père et ta sœur

A plus tard peut-être (j'aurais peut-être d'autres arguments (sourire)²)

Sinon, ai-je ton accord pour évoquer cet échange sur la liste de maths
à propos des dialogues avec des profanes
et de la difficulté des démonstrations ?

Bonne soirée.
(...)



K. m'a donné son accord, je publie donc (partiellement) cet échange

En espérant susciter d'autres propositions permettant d'atteindre l'objectif qu'il s'était fixé (merci d'avance)
et qui est celui de tout humain quand il veut convaincre quelqu'un d'autre ( le mieux étant de démontrer la véracité de ce que l'on dit)
et des professeurs de mathématiques en particulier (sourire)²

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commentaires

µ 19/12/2007 11:59

Je trouve cela fabuleux... Après la question... qu'en a pensé K? Cela lui a-t-il permis de gagner 15 euros?
 
µ

Comeau-Montasse 19/12/2007 15:49

Il ne me l'a pas encore dit...j'ai eu C. en classe ce matin et nous avons fait a la suite d'un contrôle sur les vecteurs(en facultatif)l'exercice sur la moyenne.En fait, cela peut vraiment bien servir à consolider la perception que l'on a de ce concept.Certains élève ont, très brièvement pensé qu'à partir d'un moment la moyenne n'augmentait plus.Un petit retour par une autre énonciation du genre"la note suivante est supérieure à la moyenne"les a vite remis en selle.Un des élèves endormis du dernier rang (en fait, on sait bien qu'ils ne le sont jamais vraiment (sourire)²)a brillamment fait le test et le travail facultatifMerci de ce retour