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18 mars 2007 7 18 /03 /mars /2007 21:20

 

 

Cette page se trouve dans le sommaire général
de Maths En Poche* niveau 3ème

dans le

Descriptif des 429 exercices du niveau 3e

(elle n'est isolée ici que pour des raisons pratiques)

 Faire de préférence les exercices

 

en vert pour le soutien
en bleu pour l'approfondissement

 



Chapitre 3N2 : Racines carrées

Série 1 : Prendre un bon départ (3N2s1)
3N2s1ex1 :
carrés et calcul mental
Calcul sans étape ni calculatrice de carrés d'entiers et d'entiers dont le carré est donné. 10 questions.
Questions impaires de la forme 5² = ?
Questions paires de la forme ?² = 144. Pour ces questions, le signe « - » est inactivé.
3N2s1ex2 :
carrés et relatifs
Calculer le carré d'entiers relatifs, ou l'opposé de carrés d'entiers. 10 questions.
Effectuer ou choisir dans une liste la valeur de nombres du type -a², (-a)², a².
3N2s1ex3 :
décomposer en produit à facteurs carrés
Décomposer un nombre en un produit de facteurs dont l'un est un carré d'entier. 10 questions.
q1-q6 : type 32 = 2 x ... ²
q7-q10 : type 75 = ... x ... ²
3N2s1ex4 :
calculatrice et racines carrées
A l'aide de sa calculatrice personnelle, l'élève doit donner une valeur approchée d'un calcul faisant intervenir des radicaux. 10 questions.
La précision demandée varie à chaque question. L'aide propose la méthode pour différents types de calculatrices.

Série 2 : Définitions, propriétés (3N2s2)
3N2s2ex1 :
découverte, définition, notation
Découverte et définition de la racine carrée d'un nombre. Elision du signe « x » devant un radical. 10 questions.
q1-q4 : Existe-t-il 0,1 ou 2 nombres dont le carré vaut 36 ; 0,25 ; 0 ; -9 ?
q5-q8 : La définition étant affichée, choisir parmi une liste la racine des nombres utilisés dans les q1 à 4.
q9 & q10 : explication et application de l'élision du signe x devant un radical.
3N2s2ex2 :
carré d'un radical
Quand et comment peut-on calculer le carré d'un radical sans calculatrice. 10 questions.
q1 : calcul direct.
q2-q4 : appel à la définition.
q5 : rac(a)² = ...
q6 : rac(a).rac(a) = ...
q7-q10 : les propriétés de q5 et q6 étant affichées, voir si elles peuvent s' appliquer pour calculer par exemple rac(7)² ; rac(2,1).rac(2,1) ; rac(1/3)² ; rac(-9)².
3N2s2ex3 :
radical d'un carré
Quand et comment peut-on calculer la racine carré d'un carré sans calculatrice. 10 questions.
q1 : calcul direct.
q2-q4 : appel à la définition.
q5 : si a est positif, rac(a²) = ...
q6 : donc si a est positif rac(a.a) = ...
q7-q10 : les propriétés de q5 et q6 étant affichées, voir si elles peuvent s' appliquer pour calculer par exemple rac(7²) ; rac((-8)²) ; rac((1/3)²) ; rac(-9²).
3N2s2ex4 :
radicaux et additions ou soustractions (conjectures)
Conjectures sur l'égalité de la somme (ou différence) de racine et de la racine de la somme (ou différence). 10 questions.
q1-q8 : question impaire : calcul d'une somme de radicaux et du radical de la somme (puis différences). Questions paires : les résultats trouvés sont-ils égaux ou non ?
q9 : conjecturer pour les sommes et les différences dans le cas général, exprimées algébriquement.
q10 : conjecturer pour les sommes et les différences, exprimées en français.
3N2s2ex5 :
radicaux et multiplications ou divisions (conjectures)
Conjectures sur l'égalité du produit (ou quotient) de racine et de la racine du produit (ou quotient). 10 questions.
q1-q8 : question impaire : calcul d'un produit de radicaux et du radical du produit (puis quotient). Questions paires : les résultats trouvés sont-ils égaux ou non ?
q9 : conjecturer pour les produits et les quotients dans le cas général, exprimés algébriquement.
q10 : conjecturer pour les produits et les quotients, exprimés en français.
3N2s2ex6 :
radical et produit
Calcul de radicaux, de produit et démonstration de la propriété rac(a.b) = rac(a).rac(b). 10 questions.
q1-q5 : Compléter un tableau avec des données variées, à l'aide d'une calculatrice virtuelle type scientifique.
q6-q10 : démonstration de la propriété.
3N2s2ex7 :
radical et quotient
en cours de rédaction

Série 3 : Calculs (3N2s3)
3N2s3ex1 :
calcul mental
Effectuer mentalement le calcul d'une expression contenant la racine du carré d'un entier. 10 questions.
q1-q4 : calculer mentalement une somme algébrique dont un des termes est la racine du carré d'un entier inférieur à 15.
q5 : même chose avec un produit.
q6-q10 : somme dont un terme est un produit. En cas d'erreur, la correction est détaillée.
3N2s3ex2 :
calculs liés à la définition
Reconnaître si l'écriture d'une expression contenant un radical a un sens et si oui la calculer. 10 questions.
Choisir entre deux propositions : l'expression donnée a un sens ou n'en a pas. Si elle en a, calculer mentalement sa valeur. Il s'agit de la racine du carré d'un entier, de son opposé, de l'opposé du carré de la racine d'un entier, de la racine de l'opposé du carré d'un entier ou de la racine du carré de l'opposé d'un entier.
3N2s3ex3 :
carrés de produits
Calculer le carré d'un produit contenant un radical. 10 questions.
Calculer le carré du produit d'un entier par la racine d'un entier. Dans les 4 premières questions, il faut compléter les égalités à trous en utilisant la propriété « le carré du produit est égal au produit des carrés ». Dans les questions suivantes, donner directement le résultat. La calculatrice est disponible; en cas d'erreur, la solution détaillée est affichée.
3N2s3ex4 :
carrés de quotients
Calculer le carré d'un quotient contenant un radical. 10 questions.
Calculer le carré du quotient de deux nombres.
q1-q4 : l'un des nombres est la racine d'un entier ou son opposé, les étapes sont à compléter comme dans l'exo n°3.
q5-q8 : l'un des nombres est le produit d'un entier par une racine.
q9-q10 : les deux sont des produits. La calculatrice n'est pas disponible; en cas d'erreur, la solution détaillée est affichée.
3N2s3ex5 :
radicaux complexes
Reconnaître si l'écriture d'une expression contenant un (ou plusieurs) radical(ux) a un sens et si oui la calculer. 10 questions.
Exercice plus difficile de type QCM nécessitant une bonne compréhension de la définition d'une racine carrée. Il faut calculer la valeur d'expressions plus complexes, si elles existent : racine de la racine du carré d'un carré parfait, carré de la racine d'une somme de deux termes dont l'un contient un radical, carré d'une racine qui n'a pas de sens (rac(rac(3) -5) par exemple. Il faut choisir entre « n'existe pas » et trois valeurs données.
3N2s3ex6 :
radicaux et produits
Calculer la racine d'un produit ou le produit de deux racines dont le résultat est entier. 10 questions.
q1-q3 : calculer mentalement la racine du produit de deux carrés parfaits.
q4-q6 : calculer le produit des racines de deux nombres du type rac(a) x rac(ab²).
q7-q10 : produit de 3 ou 4 facteurs nécessitant un brouillon. En cas d'erreur, la solution détaillée est affichée
3N2s3ex7 :
radicaux et quotients
Calculer la racine d'un quotient ou le quotient de deux racines. 10 questions.
q1-q5 : calculer mentalement la racine du quotient de deux carrés parfaits.
q6-q10 : calculer le quotient des racines de deux nombres (le quotient de ces deux nombres est un carré parfait). En cas d'erreur, la solution détaillée est affichée.
3N2s3ex8 :
synthèse (produits et quotients)
Simplifier l'écriture d'expressions contenant produits et quotients 10 questions.
10 calculs du type 7rac(48)/rac(12) ou rac(7/50) x rac(40/35) .En utilisant les propriétés du produit et du quotient de deux racines, un papier et un crayon, on peut simplifier les calculs. La calculatrice est disponible.

Série 4 : Simplifications (3N2s4)
3N2s4ex1 :
extraction d'un carré d'un radical
Sortir le plus grand entier d'un radical. Le nombre sous le radical est écrit sous forme du produit d'un carré par un entier. Les calculs sont assistés. 10 questions.
q1-q5 : extraire un entier de la racine en utilisant la propriété du produit des racines : le nombre sous le radical est écrit sous forme du produit d'un carré par un entier. Il faut compléter les étapes sur le modèle : r(25.b) = r(a².b) = r(a²).r(b) = a.r(b)
q6-q10 : mêmes questions mais avec un facteur devant le radical sur le modèle : 6.r(25.b) = 6.r(a².b) = 6.r(a²).r(b) = 6a.r(b).
3N2s4ex2 :
simplifications (assistées)
Sortir le plus grand entier d'un radical en commençant par écrire le nombre sous le radical comme produit du plus grand carré possible par un entier. Les calculs sont assistés. 10 questions.
q1-q6 : compléter les étapes en commençant par écrire le nombre sous le radical comme produit du plus grand carré possible par un entier. Si la décomposition est incomplète, la réponse est refusée.
q7&q9 : écrire le nombre sous le radical sous forme du produit d'un carré par un entier.
q8&q10 : simplifier le produit d'un facteur par un radical donné dans la question précédente. La calculatrice est accessible.
3N2s4ex3 :
simplifications (à trous)
Sortir le plus grand entier d'un radical en deux étapes. 10 questions.
Ecrire le nombre sous le radical comme produit du plus grand carré possible par un entier puis donner la réponse. Si la décomposition est incomplète, la réponse est acceptée et il faut donner ensuite la réponse la plus simple. La calculatrice est accessible.
3N2s4ex4 :
simplifications
Sortir le plus grand entier d'un radical sans étapes intermédiaires. 10 questions.
Sortir le plus grand entier d'un radical, sans calcul intermédiaire.
q1-q6 : du type simplifier r(162).
q7-q10 : même question mais avec un facteur devant le radical.
3N2s4ex5 :
produits et simplifications
Simplifier l'écriture du produit de deux facteurs contenant des radicaux. 10 questions.
Simplifier l'écriture du produit de deux facteurs contenant des radicaux.
q1-q5 : les deux radicaux sont identiques.
q6-q8 : les deux radicaux sont des produit d'un même facteur; par ex : r(56).r(21).
q9-q10 : même question avec des coefficients devant les racines.
3N2s4ex6 :
suppression du radical au dénominateur
Écrire un quotient sans radical au dénominateur. 5 questions : écrire un quotient sans radical en suivant pas à pas la procédure détaillée.
q1-q3 : le numérateur est entier.
q4-q5 : le numérateur contient aussi un radical.

Série 5 : Réductions de sommes (3N2s5)
3N2s5ex1 :
le principe
Calculs assistés de réductions de sommes avec radicaux. 10 questions.
q1-q2 : réduction d'une somme algébrique de deux termes ayant le même radical. La factorisation est assistée pas à pas.
q3-q4 : réduction d'une somme algébrique de deux termes ayant le même radical.
q5-q6 : réduction d'une somme algébrique de trois termes ayant le même radical.
q7-q8 : réduction d'une somme de quatre termes avec des radicaux différents.
q9-q10 : réduction d'une somme de quatre termes ou plus dont certains termes sont des entiers.
En cas d'erreur, la correction détaillée est affichée.
3N2s5ex2 :
simplifier puis réduire (à trous)
Simplification puis réduction assistées de sommes algébriques de 2 à 3 termes tous multiples d'un même radical. 10 questions.
Simplification de radicaux et réduction assistées pas à pas.
q1-q2 : somme de la forme r(a) +/- r(b) où a et b sont les produits d'un carré par un même nombre.
q3-q4 : somme de la forme r(a) +/- r(b) où a est le produit d'un carré par b.
q5-q6 : somme de la forme a.r(b) +/- r(c) où b et c sont les produits d'un carré par un même nombre.
q7-q10 : somme algébrique de 2 ou 3 termes de la forme a.r(b) où les nombres sous les radicaux sont tous le produit d'un carré par un même nombre.
3N2s5ex3 :
sommes algébriques (niveau 1)
Simplification et réduction de sommes algébriques à mettre sous la forme a.r(b) ; le radical est donné dans l'énoncé. Seul le résultat final est demandé. 10 questions.
q1-q3 : somme de deux termes dont seulement un doit être simplifié.
q4-q5 : somme de 2 termes à simplifier.
q6-q7 : somme de 3 termes dont 2 à simplifier.
q8-q9 : somme de 3 termes dont 3 à simplifier.
q10 : somme de 4 termes dont 3 à simplifier.
En cas d'erreur, la correction détaillée est affichée.
3N2s5ex4 :
sommes algébriques (niveau 2)
en cours de rédaction

Série 6 : Développements (3N2s6)
3N2s6ex1 :
distributivité
Développement assisté du produit d'une somme contenant un radical par un radical ou par une autre somme contenant un radical. 5 questions.
q1-q2 : compléter un développement du type r(7).( 3 - r(5) )
q3-q4 : compléter le développement d'un produit de deux sommes du type ( 6 + r(5) ).( r(7) – 4) en complétant la somme des 4 produits et en réduisant chaque produit.
3N2s6ex2 :
distributivité (bis)
Développement du produit d'une somme contenant un radical par un radical ou par une autre somme contenant un radical (faire les calculs au brouillon et choisir la réponse parmi trois expressions). 10 questions.
Compléter un développement comportant un ou plusieurs radicaux; on développe au brouillon et on clique sur le bon résultat; les calculs détaillés sont affichés ensuite.
q1-q5 : les produits peuvent être développés de tête.
q6-q10 : un brouillon s'impose, après avoir développé, il faut simplifier l'écriture d'un radical pour simplifier la somme ; par ex: (r(6) + 6).(r(2) – r(3)). Même chose avec des coefficients dans les trois dernières questions..
3N2s6ex3 :
développements astucieux
Développement d'un produit d'une somme contenant un radical par un radical : les calculs se simplifient : quotient ou produit de deux mêmes radicaux (faire les calculs au brouillon et choisir la réponse parmi trois expressions). 5 questions.
q1-q2 : développer et réduire le produit d'une racine par une somme d'un quotient et d'une racine, où le même radical apparaît au numérateur et au dénominateur, par ex : calculs du type : r(3).(5 / (2.r(3))  -  r(3))
q4-q5 : calculs plus complexes où il faut simplifier les produits pour réduire la somme.
3N2s6ex4 :
identités remarquables (niveau 1)
Développement assisté d'une identité contenant un (ou plusieurs) radical (radicaux). 10 questions.
Compléter le développement d'une identité contenant un (ou plusieurs) radical(aux). Il s'agit d'identités simples qui ne génèrent pas de radical à simplifier.
3N2s6ex5 :
identités remarquables (niveau 2)
Développement assisté d'une identité contenant un (ou plusieurs) radical (radicaux) affecté d'un coefficient. 10 questions.
Même question que dans l'exercice précédent avec des coefficients devant les radicaux.
3N2s6ex6 :
identités remarquables (niveau 3)
Utiliser les identités pour simplifier des calculs. 10 questions.
q1-q5 : on donne deux nombres M et N ( somme et différence de deux radicaux) ; calculer M+N, M-N, M², N² et MxN.
q6-q10 : mêmes questions avec des coefficients.

Série 7 : Géométrie (3N2s7)
3N2s7ex1 :
diagonale d'un carré, d'un cube
Exprimer la diagonale d'un carré et d'un cube en fonction du côté « a » puis utiliser cette formule. 10 questions : démonstration assistée.
q1-q5 : en utilisant le théorème de Pythagore, exprimer la diagonale d'un carré en fonction du côté a, puis utiliser cette formule pour trouver la diagonale ou le côté d'un carré.
q6-q9 : en utilisant le théorème de Pythagore, exprimer la diagonale d'un cube en fonction du côté a, puis utiliser cette formule pour trouver la diagonale ou le côté d'un cube. Les calculs intermédiaires avec simplification de racines du type 6/r(2)=3.r(2) doivent être faits au brouillon.
q10 : connaissant la diagonale d'une face du cube, trouver la diagonale du cube.
3N2s7ex2 :
hauteur d'un triangle équilatéral
Exprimer la hauteur d'un triangle équilatéral en fonction du côté « a » puis utiliser cette formule. 5 questions : démonstration assistée.
q1-q5 : en utilisant le théorème de Pythagore, exprimer la hauteur d'un triangle équilatéral en fonction du côté a, puis utiliser cette formule pour trouver la hauteur ou le côté de triangles équilatéraux. Les calculs intermédiaires avec simplification de racines du type 6/r(3)=2r(3) doivent être faits au brouillon.
3N2s7ex3 :
calculs autour de carrés
Connaissant le côté d'un carré, calculer son aire, son périmètre et/ou sa diagonale. 10 questions.
Le côté d'un carré est donné sous la forme r(b) puis a.r(b) ; calculer alors l'aire, le périmètre du carré et sa diagonale (la calculatrice n'est pas disponible).
3N2s7ex4 :
calculs autour de rectangles
Connaissant les côtés d'un rectangle,calculer son aire, son périmètre, la diagonale du rectangle. 5 questions : les côtés sont donnés sous la forme a . r(b) et c . r(d).
q1-q3 : les calculs intermédiaires avec simplification de racines du doivent être faits au brouillon.
q4-q5 : les côtés sont donnés sous la forme a . r(b) et c + e . r(d), choisir l'aire parmi trois expressions données.
3N2s7ex5 :
triangle, cercle
Connaissant les côtés d'un triangle, montrer que le triangle est rectangle, puis calculer son aire, le rayon du cercle circonscrit, un angle aigu, la hauteur relative à l'hypoténuse. 5 questions : les 3 côtés d'un triangle sont donnés sous la forme r(b) ou a . r(c).
q1 : compléter la démonstration pour montrer que le triangle est rectangle.
q2-q5 : calculer l'aire du triangle, le rayon du cercle circonscrit, la valeur approchée d'un angle aigu, puis choisir parmi trois expressions la hauteur relative à l'hypoténuse ( il est nécessaire alors de supprimer le radical du dénominateur).
3N2s7ex6 :
identités remarquables en géométrie
Trouver l'aire, le périmètre ou une longueur d'un figure (carré, triangle rectangle ou rectangle) en utilisant les identités . 10 questions : utiliser les identités pour faire des calculs d'aire et de longueur. Il faut choisir la solution parmi trois réponses; la solution détaillée est alors affichée.
q1-q3 : le côté d'un carré étant donné sous la forme a + r(b) ; trouver l'aire, le périmètre du carré et sa diagonale.
q4-q5 : les 3 côtés d'un triangle rectangle étant donnés sous la forme a + r(b), a – r(b) et c . r(d) ; trouver l'aire du triangle et son périmètre.
q6-q7 : les 2 côtés d'un rectangle étant donnés sous la forme a + r(b), a – r(b), trouver l'aire, le périmètre et l'hypoténuse du rectangle.
q8-q10 : mêmes questions avec des côtés sous la forme a + c . r(d) et a – c . r(d).

Série 8 : Substituer,équations (3N2s8)
3N2s8ex1 :
substituer par un radical
Dans une expression algébrique, substituer la lettre par un radical et faire les calculs. 10 questions.
Les expressions sont du second degré, avec ou sans terme de degré 1. Les valeurs à substituer sont du type +/- r(7) ou encore +/- 9 r(5). Le résultat est demandé sous la forme a + b . r(c).
3N2s8ex2 :
substituer et identités remarquables
Dans une expression algébrique du second degré, substituer la lettre par un radical et faire les calculs. 10 questions.
q1-q6 : les valeurs à substituer sont de la forme a +/- r(b).
=>q1-q3 : les expressions sont de la forme x² +/- a.
=>q4-q6 : les expressions sont de la forme a.x² + b.
q7-q10 : les valeurs à substituer sont de la forme a +/- b . r(c) et les expressions sont des polynômes du second degré « généraux ».
3N2s8ex3 :
découverte de x^2=a
Lien entre les nombres dont le carré est a et les solutions de l'équation x² = a. 10 questions.
3N2s8ex4 :
application
Pour une équation du type x² = a, donner le nombre de solution et les écrire, sous forme décimale ou radicale. 10 questions.
3N2s8ex5 :
avec résolution préalable
Pour une équation du type x² + a = b ou a . x² = b, ou encore a.x² +/- b = c.x² +/- d, donner le nombre de solution et les écrire, sous forme décimale ou radicale. 10 questions.
3N2s8ex6 :
equations se ramenant à x^2=a
Pour une équation du type (a.x+b)² = c jusqu'au type (ax+b)²+cx²+dx+c=0, donner le nombre de solution et les écrire, sous forme décimale ou radicale. 5 questions.

Série 9 : pour aller plus loin … (3N2s9)
3N2s9ex1 :
dénominateurs complexes
Découverte de la simplification de dénominateurs avec radicaux. 10 questions.
q1-q3 : qcm sur le résultat de la multiplication d'une fraction à dénominateur contenant un radical avec une expression contenant un radical. Parmi celles-ci, l'expression conjuguée.
q4 & q6 & q8 : qcm sur l'expression à multiplier pour obtenir un dénominateur entier.
q5 & q7 & q9 : on effectue les calculs suggérés aux questions 4,6 et 8.
q10 : synthèse avec une addition de deux fractions ayant des radicaux au dénominateur.
3N2s9ex2 :
racines de racines
QCM sur des calculs d'expressions contenant des racines de racines. 10 questions.
q1 : carrés de r( a + r(b)) et r( a - r(b)) .
q2 : produits des deux radicaux précédents.
q3 : en déduire le carré de la somme des deux radicaux.
q4-q9 : même schéma de trois questions enchaînées.
q10 : en déduire la somme des deux radicaux de la question 7.
3N2s9ex3 :
questions de signes
Découvrir et manipuler la règle r(a²) = -a si a est négatif. Une calculatrice pourra être nécessaire. 10 questions.
q1-q3 : mise en place de la règle r(a²) = -a si a est négatif.
q4-q6 : pour une expression du type 3-pi, déterminer si elle est positive ou négative et en déduire la valeur de r( (3-pi)² ).
q7-q10 : en deux questions successives, on fait choisir entre plusieurs expressions le développement d'un carré type ( r(5) – 5 )² puis on fait choisir entre plusieurs solutions la valeur exacte de la racine du développement trouvé précédemment.
3N2s9ex4 :
nombre d'Or
Vérifier plusieurs propriétés remarquables du nombre d'or et des rectangles d'or. 10 questions.
q1-q4 : calculer étape par étape 1 + 1/phi.
q5-q6 : calcul étape par étape de phi².
q7 : calcul de 1+phi.
On fait remarquer que 1+phi = phi² et que cela pouvait être déduit de 1+1/phi = phi.
q8-q10 : plusieurs calculs guidés sur le rectangle d'or.
3N2s9ex5 :
simplifier avec des lettres
Simplifier des racines carrées avec des lettres dans l'argument du radical. 10 questions.

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