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4 mars 2007 7 04 /03 /mars /2007 20:48

 

Cette page se trouve dans le sommaire général
de Maths En Poche* niveau 3ème

dans le

Descriptif des 429 exercices du niveau 3e

(elle n'est isolée ici que pour des raisons pratiques)

 Faire de préférence les exercices

 

en vert pour le soutien
en bleu pour l'approfondissement



Chapitre 3N7 : Fonctions affines

Série 1 : Prendre un bon départ (3N7s1)
3N7s1ex1 :
quantité en fonction d'une autre
Un graphique représente les variations d'une grandeur physique Y en fonction d'une grandeur X. L'élève doit dire si le graphique représente Y en fonction de X ou l'inverse. Un rappel des notations usuelles des fonctions est proposé. 5 questions.
q1 : poids=f(masse) => f linéaire
q2 : hauteur de la chute=f(durée) => f quadratique
q3 : volume liquide=f(température) => f affine
q4 : aire trapèze=f(base) => f affine
q5 : glycémie=f(temps) => f type « courbe de Gauss »
3N7s1ex2 :
fonction et proportionnalité
Une situation de proportionnalité concrète (prix en fonction de la quantité) est définie à l'aide d'un tableau. Il s'agit de passer du langage concret à la formulation fonctionnelle ou l'inverse. 10 questions.
q1 : mise en place de la situation, calcul du coefficient.
q2 : le coefficient est l'image de 1
q3-5 : passage du langage concret à la notation f(a)=b et vice-versa ; a ou b figurent dans le tableau fourni.
q6-9 : idem questions précédentes mais a ou b doivent être calculés en utilisant les données.
q10 : introduction de la variable x désignant la quantité => écriture f(x)=kx.
3N7s1ex3 :
expressions de fonctions
Une fonction f de x est définie à l'aide de la description de l'image de x en utilisant les mots double, moitié, triple, ... et les expressions « augmenté de », « diminué de ». Il s'agit d'écrire f(x) en fonction de x. 10 questions
toutes les fonctions sont linéaires ou affines, les tirages des paramètres a et b de f(x)=ax+b sont aléatoires.
3N7s1ex4 :
fonction linéaire (découverte)
Une fonction linéaire est définie dans un contexte concret. L'élève place quelques points de sa représentation graphique, constate l'alignement des points. On exploite ensuite le graphique pour travailler image, antécédent. Suit un travail d'observation sur l'interprétation graphique du coefficient. 10 questions
q1 : mise en place de la situation, choix d'une valeur de la variable, l'image se calcule automatiquement, l'élève doit placer le point correspondant dans le repère.
q2 : choix d'une 2ème valeur placement du point correspondant.
q3-4 : 2 valeurs et leurs images sont fournis, il faut placer les 2 pts correspondants.
q5 : la droite passant par les 4 pts précédents est tracée, il faut ajuster la position d'un point mobile de la droite de façon à donner l'image d'une valeur fixée.
q6 : idem q5, on demande l'antécédent.
q7 : a et b sont donnés, on fait varier le coefficient k de façon que f(a)=b ; (k>0)
q8 : idem q7 avec k<0
q9-10 : idem questions précédentes, mais il faut faire passer la droite par un point donné.
3N7s1ex5 :
fonction affine (découverte)
Une fonction affine est définie dans un contexte concret. L'élève place quelques points de sa représentation graphique, constate l'alignement des points. On exploite ensuite le graphique pour travailler image, antécédent. Suit un travail d'observation sur l'interprétation graphique des paramètres de la droite. 10 questions
q1 : mise en place de la situation, choix d'une valeur de la variable, l'image se calcule automatiquement, l'élève doit placer le point correspondant dans le repère.
q2 : choix d'une 2ème valeur placement du point correspondant.
q3-4 : 2 valeurs et leurs images sont fournies, il faut placer les 2 pts correspondants.
q5 : la droite passant par les 4 pts précédents est tracée, il faut ajuster la position d'un point mobile de la droite de façon à donner l'image d'une valeur fixée.
q6 : idem q5, on demande l'antécédent.
q7 : a et b sont donnés, on fait varier le coefficient directeur de la droite de façon que f(a)=b ; coeff >0
q8 : idem q7 avec coeff<0
q9-10 : idem questions précédentes, c'est l'ordonnée à l'origine qui varie.

Série 2 : Affine (lecture) (3N7s2)
3N7s2ex1 :
reconnaître par le graphique
Choisir le type de fonction : fonction linéaire, affine ou quelconque au vu de sa représentation graphique.. 10 questions.
Après avoir coché la bonne réponse, on voit apparaître une justification de celle-ci sous la forme : la représentation graphique est une droite qui passe par l'origine, ou qui ne passe pas par l'origine ....
3N7s2ex2 :
variations en géométrie
En déplaçant un point, on fait varier un élément géométrique ( hauteur, rayon, côté, angle.) et on observe sur un graphique la variation correspondante d'une fonction de cet élément (volume d'une pyramide, d'un cylindre, aire d'un triangle..) ; il faut alors choisir le type de fonction : fonction linéaire, affine ou quelconque. . 10 questions.
Les fonctions sont choisies aléatoirement parmi celles-ci : aire d'un triangle dont la base est fixe en fonction de sa hauteur et inversement ; volume d'une pyramide ou d'un cylindre dont la base est fixe en fonction de sa hauteur ; volume d'un cylindre dont la hauteur est fixe en fonction de son rayon ; cosinus d'un angle ; aire d'un prisme dont la base est fixe en fonction de sa hauteur, aire d'un carré en fonction de son côté ; aire latérale d'une pyramide dont la base est fixe en fonction de sa hauteur ; périmètre d'un rectangle dont un des côtés varie. A chaque déplacement, un point du graphique apparaît ; après le choix de la fonction, une justification s'affiche pour confirmer ce choix.
3N7s2ex3 :
image par une fonction affine
Sur le graphique d'une fonction affine il faut lire et écrire l'image d'un nombre donné, ou le nombre dont on donne l'image. 10 questions.
Pour lire le graphique, on peut déplacer un point du graphique avec les flèches gauche et droite. Cet exercice fait également utiliser la notation de l'image f(..) =...
3N7s2ex4 :
eléments caractéristiques
Lire sur le graphique d'une fonction affine l'ordonnée à l'origine ou le coefficient directeur. 10 questions.
q1-q6 : Le repère est orthonormé.
q7-q10 : Il faut faire attention aux unités choisies sur chaque axe. Après avoir coché la bonne réponse, on voit apparaître, en justification de celle-ci, l'ordonnée à l'origine et la pente de la droite sur le graphique.
3N7s2ex5 :
associations formule/graphique
Associer à un graphique la fonction affine correspondante et réciproquement en choisissant parmi trois solutions.. 10 questions.
Après avoir coché la bonne réponse, on voit apparaître, en justification de celle-ci, l'ordonnée à l'origine et la pente de la droite sur le graphique.
q1-q4: Il faut choisir l'expression de la fonction représentée parmi trois expressions.
q5-q6: Il faut cocher le bon graphique parmi trois.
3N7s2ex6 :
déterminer l'expression
Ecrire l'expression de la fonction affine représentée sur un graphique. 10 questions.
Après avoir coché la bonne réponse, on voit apparaître, en justification de celle-ci, l'ordonnée à l'origine et la pente de la droite sur le graphique.
q1-q6 Le repère est orthonormé.
q7-q10:Il faut faire attention aux unités choisies sur chaque axe.
3N7s2ex7 :
tracer la représentation graphique
Tracer la représentation graphique d'une fonction affine en plaçant deux points avec le crayon. 5 questions.
q1-q3 et q5 : On donne deux nombres et leurs images (la présentation de ces données varie: tableau, phrase).
q4 On donne l'ordonnée à l'origine ainsi qu' un nombre et son image.
3N7s2ex8 :
résolution graphique d'une équation
Résoudre graphiquement une équation. 10 questions.
q1-q3 : La fonction est appelée f; il faut donc résoudre f(x)=..
q4-q5 : La fonction est définie, il faut donc résoudre 3x+8 = -3 (par exemple)
q6-q8 : Deux fonctions f et g sont représentées ; il faut résoudre f(x)=g(x).
q9-q10 : Les fonctions affines représentées sont définies ; il faut donc résoudre - 3x +4 = 5 x -2 (par ex).

Série 3 : Affine (calcul) (3N7s3)
3N7s3ex1 :
reconnaître par la formule
Choisir la nature d'une fonction définie algébriquement parmi trois possibilités : « linéaire », « affine » ou « quelconque ». Dans les cas « linéaire » et « affine », la correction explicite les éléments caractéristiques. 10 questions.
Un seul essai possible.
Certaines expressions sont sous forme fractionnaire, d'autres utilisent le nombre π.
Les fonctions « quelconques » sont des polynômes du second degré, sous forme développée ou non.
3N7s3ex2 :
reconnaître par la formule (bis)
Réduire (et parfois développer au préalable) l'expression algébrique d'une fonction pour choisir sa nature : « linéaire » ou « affine ». 5 questions.
3N7s3ex3 :
problèmes générateurs (tarifs)
Calculer, puis exprimer en fonction de x des quantités obtenues à partir d'un modèle linéaire ou affine. 10 questions.
q1-q5 : calculer un montant (en euros) suivant un modèle proportionnel ou affine.
q6-q10 : exprimer un montant (en euros) en fonction d'une quantité x suivant un modèle proportionnel ou affine.
3N7s3ex4 :
problèmes générateurs (pourcentages)
Exprimer en fonction de x une quantité mettant en jeu un pourcentage, avec une augmentation ou une diminution éventuelle. 10 questions.
Une explication détaillée est affichée à la correction.
q1-q5 : exprimer en fonction de x une quantité de la forme « on prend p% de x ».
q6-q10 : exprimer en fonction de x une quantité de la forme « on augmente ou on diminue x de p% ».
3N7s3ex5 :
problèmes générateurs (géométrie)
Exprimer (forme développée) en fonction d'une dimension x le périmètre, l'aire ou le volume d'objets géométriques. 10 questions.
q1 : périmètre d'un rectangle en fonction d'une des dimensions.
q2 : aire d'un rectangle inséré dans un autre rectangle.
q3 : aire d'un triangle en fonction de la hauteur.
q4 : aire d'un trapèze en fonction d'une base.
q5 : aire d'un trapèze en fonction de la hauteur.
q6 : volume d'un prisme droit à base triangulaire (rectangle) en fonction de la hauteur.
q7 : volume d'une pyramide à base rectangulaire en fonction de la hauteur.
q8 : volume d'un solide constitué d'un pavé droit surmonté d'une pyramide en fonction de la hauteur de la pyramide.
q9 : volume d'un cylindre en fonction de sa hauteur (et de π).
q10 : volume d'un solide constitué d'un cylindre « creusé » d'un cône en fonction de la hauteur du cône (et de π).
3N7s3ex6 :
image par une fonction affine
L'expression algébrique d'une fonction linéaire ou affine étant donnée, calculer l'image d'un nombre donné. 10 questions.
q1-q2 : le calcul de l'image est guidé (pour une fonction linéaire, puis une fonction affine).
q3-q10 : le calcul n'est plus guidé, on demande parfois la notation de l'image, la fonction est aléatoirement linéaire ou affine.
3N7s3ex7 :
eléments caractéristiques
Calculer le coefficient directeur ou l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine.
Dans l'aide, pour le coefficient directeur, on applique directement la formule : (y2 – y1)/(x2 – x1).
10 questions.
q1-q3 : connaissant deux nombres et leur image par une fonction affine f, calculer le coefficient directeur de la droite représentative de f.
Dans q2, ce sont les coordonnées de deux points sur la R.G. de f qui sont donnés, et on demande de calculer la pente de la droite.
q4-q5 : même travail qu'en q1, mais les résultats sont rationnels non décimaux.
q6-q10 : connaissant le coefficient directeur de la fonction affine ainsi qu'un nombre et son image par cette fonction, calculer l'ordonnée à l'origine de la fonction.
3N7s3ex8 :
tracer la représentation graphique
L'expression algébrique d'une fonction affine étant donnée sous la forme « f(x) = ax+b », compléter un tableau de valeurs (deux colonnes) puis tracer la représentation graphique de la fonction. 10 questions.
q1-q2 : les deux valeurs de x sont déjà choisies.
q3-q5 : les deux valeurs de x sont à choisir par l'élève.
q6-q10 : « a », qui était jusque-là entier ou décimal devient rationnel (non décimal).
3N7s3ex9 :
déterminer l'expression (système)
Déterminer une fonction affine, connaissant deux nombres et leur image par cette fonction. 10 questions.
La forme f(x) = ax+b est imposée.
Les questions vont par paire : à la première, il faut écrire le système de deux équations à deux inconnues ; à la deuxième, il s'agit de résoudre le système.
L'expression de la fonction est donnée en conclusion.
Les coefficients sont des entiers relatifs.
3N7s3ex10 :
déterminer l'expression (formule)
Déterminer une fonction affine, connaissant (alternativement) deux nombres et leur image par cette fonction ou les coordonnées de deux points de sa représentation graphique. 5 questions.
La forme f(x) = ax+b est imposée.
Il faut appliquer de manière détaillée les formules a = (y2 – y1)/(x2 – x1) et b = y1 – ax1 (ou y2 – ax2), puis calculer les valeurs de a et b.
L'expression de la fonction est donnée en conclusion.
Les coefficients sont des entiers relatifs aux trois premières questions.
3N7s3ex11 :
equations et fonctions affines
En résolvant une équation au brouillon, déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine ou l'abscisse du point d'intersection des représentations graphiques de deux fonctions affines. 10 questions.
La résolution détaillée s'affiche à la correction.
q1-q5 : déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction affine dont l'expression algébrique est donnée. Cet antécédent est entier pour q1 et q2, décimal pour q3 et fractionnaire pour q4 et q5.
q6-q10 : déterminer l'abscisse du point d'intersection des représentations graphiques de deux fonctions affines dont l'expression algébrique est donnée. Cette abscisse est entière pour q1 et q2, décimale pour q3 et fractionnaire pour q4 et q5.

Série 4 : Pour aller plus loin … (3N7s4)
3N7s4ex1 :
exprimer en fonction de x
Exprimer (forme développée) en fonction d'une dimension x l'aire ou le volume d'objets géométriques. 5 questions.
q1 : exprimer l'aire d'une figure composée d'un rectangle évidé d'un triangle en fonction de la hauteur du triangle.
q2 : exprimer l'aire d'un rectangle inséré dans un autre rectangle dont on connaît certaines dimensions.
q3 : exprimer l'aire d'un triangle inséré dans un autre triangle dont on connaît certaines dimensions.
q4 : exprimer le volume d'un prisme droit dont la base triangulaire est un demi-carré de côté x en fonction de x.
q5 : exprimer le volume d'un solide constitué d'un pavé droit à base carrée surmonté d'une pyramide en fonction du côté de la base.
3N7s4ex2 :
représentation graphique (point par point)
A l'aide d'un tableau de valeurs d'une fonction non exprimée, placer des points sur un graphique. A la correction, la courbe apparaît. 5 questions.
Les courbes sont parfois des droites, des paraboles, des sinusoïdes et parfois indéterminées.
A partir de q3, le repère n'est plus forcément orthonormé.
3N7s4ex3 :
image par une fonction (lecture)
A l'aide de la représentation graphique d'une fonction non exprimée, déterminer l'image d'un nombre par cette fonction. 10 questions.
La représentation graphique change à chaque question.
Un curseur manipulable avec les flèches du clavier permet de visualiser les associations « nombre/image ».
3N7s4ex4 :
image par une fonction (calcul)
On donne l'expression algébrique d'une fonction (polynôme de degré 2 ou 3), il faut calculer l'image d'un nombre entier relatif par cette fonction. 5 questions.
q1-q2 : le calcul est guidé.
q3-q5 : on demande directement le résultat.
3N7s4ex5 :
retrouver connaissant l'image
A l'aide de la représentation graphique d'une fonction non exprimée, déterminer un antécédent, les antécédents ou le nombre d'antécédents d'un nombre donné. 10 questions.
La représentation graphique change à chaque question.
Un curseur manipulable avec les flèches du clavier permet de visualiser les associations « nombre/image ».
Tous les antécédents possibles sont donnés graphiquement et littéralement à la correction.
q1, q4, q7, q10 : on demande la valeur d'un nombre ayant pour image un nombre donné.
q2, q5, q8 : on demande le nombre d'antécédents ayant pour image un nombre donné.
q3, q6, q9 : on demande tous les nombres ayant pour image un nombre donné.

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