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22 mars 2019 5 22 /03 /mars /2019 20:39

L'énoncé de la demande d'aide :

Bonjour la consigne de mon devoir est la suivante Le triangle est équilatéral, de côté 1 . Les trois sommets sont les centres des arcs de cercles . Trouver l'aire de la figure limitée par les arcs de cercle Il y a un dessin en bas que vous pourrez voir mais ca bug donc l'image ne veut pas se mettre . Le dessin c'est un triangle équilatéral de côté 1 avec 3 arcs de cercle autour du triangle

Il manque une donnée de l'énoncé : le rayon des arcs de cercle.

On peut cependant faire un dessin dynamique (avec geogebra) dans lequel le rayon varie et regarder quels sont les cas intéressants qui pourraient correspondre à l'énoncé.

Pour que les arcs de cercles délimitent une aire, il faut qu'ils délimitent un contour, et donc qu'ils se coupent, ou à la limite qu'ils se touchent (cercle tangents)

Ils sont tangents pour un rayon de 0,5 unité

La somme des angles d'un triangle est égale à un angle plat. (mesure de 180°)

Un triangle qui a trois angles égaux (équilatéral) a donc des angles de 180° / 3 = 60°

La part du cercle correspondante est donc 60°/ 360° = 1/6
La part de l'aire du triangle recouverte par un cercle est donc 1/6 x aire du cercle.

Pour un rayon égal à 0,5 unité de longueur cela donne :

1/6 x  π x (0,5 unité de longueur)² = 1/6 x  π  x 0,25 unité d'aire
 soit 0,25π / 6 unité d'aire.

Pour l'aire du triangle équilatéral on peut calculer valeur de la hauteur en utilisant le théorème de Pythagore (raccourcis ... qui donne)  3 /2.
D'où une aire de (hauteur x côté / 2)
1 unité de longueur x  3 /2  /2unité de longueur.
3 /4 unité d'aire

L'aire délimitée par les trois arcs de cercle est donc égale à 
 3 /4 unité d'aire - 0,25π / 6 unité d'aire x 3
=  3 /4 unité d'aire - 0,25π / 2 unité d'aire
= (3  - 0,5π) / 4 unité d'aire

Si les cercles se coupent le calcul est bien trop difficile pour la classe de troisième car il faut calculer la part des aires des cercles à ne pas compter deux fois. 

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